Конечномерные гладкие задачи с равенствами и неравенствами. Принцип Лагранжа

Работа из раздела: «Математика»

Курсовая работа

на тему:

Оглавление

Введение

Постановка задачи

Необходимые и достаточные условия экстремума

Принцип Лагранжа

Необходимое условие экстремума II порядка

Достаточное условие экстремума II порядка

Правило решения

Теорема Вейерштрасса

Примеры

Список литературы

Введение

Теорию задач на отыскание наибольших и наименьших величин называют теорией экстремальных задач.

Слово maximum по латыни означает “наибольшее”, слово minimum - “наименьшее”. Оба этих понятия объединяются словом “экстремум” (от латинского extremum, означающего “крайнее”). Слово “экстремум”, как термин, объединяющий понятия “максимум” и “минимум”, ввел в употребление Дюбуа-Реймон. Ныне раздел анализа, называют теорией экстремальных задач.

Запись задачи в виде означает, что мы должны решить задачу на минимум, и задачу на максимум.

Задачу на максимум всегда можно свести к задаче на минимум, заменив задачу задачей , где , и наоборот. Поэтому в тех случаях, когда формулировки теорем для задач на минимум и максимум различны, мы иногда ограничиваемся рассмотрением задачи на минимум.

Задачи на максимум и минимум изначально формулируются, как правило, на языке той области, в которой они возникают. А исследуют их средствами математического анализа. Для того, чтобы можно было воспользоваться этими средствами, необходимо перевести формулировку задачи на язык математического анализа. Такой перевод называется формализацией.

В общем виде формализованная задача выглядит следующим образом : найти экстремум (максимум или минимум) функции ,определенной на некотором пространстве при ограничении . Кратко записывается так:

Для функции одной переменной , для функции нескольких переменных . В более общих случаях может быть линейным, нормированным или топологическим пространством. Ограничение может быть записано в виде включения, а также в виде уравнений или неравенств. - нумерация (обозначение) задачи (от английского слова problem - задача). Множество допустимых элементов в задаче обозначаем или . Если множество допустимых элементов совпадает со всем пространством , то задачу называем задачей без ограничений.

Решением задачи на минимум является точка такая, что для всех точек . В этом случае мы пишем . Такой минимум называется еще абсолютным, или глобальным. Аналогично определяется абсолютный максимум в задаче . Величина , где - решение задачи, называется численным значением задачи и обозначается или . Множество решений задачи обозначается . если экстремум не достигается, то указывается последовательность точек , на которой значение функции стремиться к величинам и .

В связи с каждой экстремальной задачей возникают вопросы: каковы необходимые условия экстремума, каковы достаточные условия, существует ли решение задачи, как найти решение явно или численно.

Одним из важнейших принципов решения задач с ограничениями является принцип Лагранжа снятие ограничений. Сфера применимости принципа Лагранжа достаточна широка. Иногда нельзя к задаче применить имеющуюся теорему, однако этот принцип, примененный без основания, тем не менее может привести к точкам, среди которых можно выделить решение.

Постановка задачи

Пусть -- функции, n переменных, отображающие пространство Rⁿ в R. Считаем, что все функции обладают определенной гладкостью. Гладкой конечномерной экстремальной задачей с ограничениями тира равенств и неравенств называется следующая задача в Rⁿ:

(P)

В задачах, где имеются ограничения типа неравенств, важно, рассматриваемая задача на минимум или на максимум. Для определенности мы будем рассматривать задачу на минимум.

Необходимые и достаточные условия экстремума

Принцип Лагранжа

Сформулируем необходимое условие экстремума I порядка в гладкой конечномерной задаче с ограничениями типа равенств и неравенств - принцип Лагранжа.

Теорема. Пусть - точка локального экстремума в задаче (Р), а функции непрерывно дифференцируемы в окрестности точки (условие гладкости). Тогда существует ненулевой вектор множитель Лагранжа , такой, что для функции Лагранжа задачи (Р) выполняются условия:

a) стационарности :

b) дополняющей нежесткости:

c) неортицательности:

Точки, удовлетворяющие необходимым условиям локального экстремума, называются критическими. В задаче на максимум

Необходимое условие экстремума II порядка.

Сформулируем необходимое условие минимума II порядка в гладкой конечномерной задаче с ограничениями типа равенств и неравенств.

Теорема. Пусть - точка локального минимума в задаче (Р), функции дважды непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности точки (условие гладкости), векторы линейно независимы (условие регулярности).

Тогда существует множитель Лагранжа с такой, что для функции Лагранжа задачи (Р) выполняются условия экстремума I порядка:

a) стационарности:

b) дополняющей нежесткости:

c) неотрицательности

где - конус допустимых вариаций, а Л - совокупность множителей Лагранжа , для которых выполнены условия a)-c) с .

Мы сформулировали необходимое условие минимума. Необходимое условие максимума формулируется аналогично, за исключением того, что множитель Лагранжа и соответственно в конусе допустимых вариаций

Достаточное условие экстремума II порядка

Сформулируем достаточное условие минимума II порядка в гладкой конечномерной задаче с ограничениями типа равенств и неравенств.

Теорема. Пусть функции , дважды непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности точки (условие гладкости), векторы - линейно независимы (условия регулярности), существует множитель Лагранжа с такой, что для функции Лагранжа задачи (Р)

Выполняются условия экстремума I порядка:

a) стационарности:

b) дополняющей нежесткости:

c) неотрицательности:

с некоторой положительной константой , где - конус допустимых вариаций, а - совокупность множитель Лагранжа , для которых выполнены условия a)-c) с .

Тогда - точка локального минимума в задаче (Р).

Достаточное условие максимума формулируется аналогично, за исключением того, что множитель Лагранжа , соответственно в конусе допустимых вариаций и

Правило решения.

Для решения гладкой конечномерной задачи с ограничениями типа равенств и неравенств следует:

1) Составить функцию Лагранжа

2) Выписать необходимое условие экстремума I

a) стационарности:

b) дополняющей нежесткости:

c) неотрицательности:

3) Найти точки , удовлетворяющие условиям a)-c) (эти точки называются критическими).

При этом отдельно рассмотреть случаи:

a) ;

b) (или любой положительной константе);

c) (или любой отрицательной константе);

В случае a) критические точки могут доставлять и минимум, и максимум в задаче. В случае b) критические точки могут доставлять минимум в задаче. В случае c) критические точки могут доставлять максимум в задаче.

При нахождении критических точек в условиях дополняющие нежесткости для каждого надо рассматривать два случая: и .

4) Исследовать на локальный и абсолютный экстремум найденные точки или, если их нет, найти и указать последовательности допустимых точек, на которых эти абсолютные экстремумы достигаются.

При этом можно пытаться воспользоваться непосредственной проверкой или перейти к исследованию условий экстремума II порядка в каждой критической точке. Отметим, что проверка выполнения необходимых или достаточных условий экстремума в задаче типа равенств и неравенств - непростая задача. Поэтому, как правило, мы будем при исследовании экстремума использовать непосредственную проверку, сравнивая значения исследуемой функции в критической точке с её значениями в близких допустимых точках.

Теорема Вейерштрасса

Теорема (конечномерная теорема об обратной функции). Пусть - непрерывно дифференцируемое отображение некоторой окрестности точки отличен от нуля . Тогда существует обратное отображение некоторой окрестности V точки в окрестность точки такое, что и

с некоторой константой

Пусть - функция n переменных. При исследовании вопроса о достижении функцией n переменных экстремума часто используется следующая теорема.

Теорема Вейерштрасса. Непрерывная функция на непустом ограниченном замкнутом подмножестве D конечномерного пространства (компакте) достигает своих абсолютных максимума и минимума.

Д о к а з а т е л ь с т в о проведем от противного. Пусть функция f (x, y) при изменении (x, y) в D оказывается неограниченной. Тогда для любого n найдется в D такая точка , что

(1)

Из ограниченной последовательности можно извлечь частичная последовательность , сходящуюся к предельной точке

Отметим, что эта точка необходимо принадлежит подмножество D. Действительно, в противном случае точки все были бы от нее отличны, и точка была бы точкой сгущения подмножества D, ей не принадлежащей, что невозможно ввиду замкнутости подмножества D.

В следствии непрерывности функции в точке должно быть

а это находится в противоречии с (1).

Следствие. Если функция f непрерывна на и (), то она достигает своего абсолютного минимума (максимума) на любом замкнутом подмножестве из .

Напомним, что множество A в метрическом пространстве называется компактом, если из всякой последовательности элементов A можно выбрать сходящуюся к элементу из A последовательность или (равносильное определение) если из всякого покрытия A открытыми множествами можно выбрать конечное подпокрытие. Ограниченное и замкнутое множество конечномерного пространства является компактом.

Примеры.

Пример 1.

Решение. Функция Лагранжа:

Необходимые условия локального минимума:

a) стационарности:

b) дополняющей нежесткости:

c) неотрицательности:

Если , то из уравнения пункта a) выводим, что все множители Лагранжа - нули, а этого не может быть.

Поэтому , полагаем .

Предположим , тогда в силу условия b) Выражая из условия a) через и подставляя в уравнения , , получим, что

экстремум равенство теорема вейштрасс

откуда - противоречие с условием неотрицательности c). Значит, в случае критических точек нет.

Пусть. Тогда - единственная критическая точка.

Функция при , значит по следствию из теорем Вейерштрасса решение задачи существует, а в силу единственности критической точки решением может быть только она. Итак,

Пример 2. - симметричная матрица .

Решение 1. Существование решения очевидно из теоремы Вейштрасса, ибо сфера компактна. Функция Лагранжа:

2. Необходимое условие

3. Если ,то а значит , что противоречит уравнению связи . Положим . Тогда . Таким образом, решением является собственный вектор матрицы .

4. Домножив соотношения на , получим, что ; иначе говоря, решением задачи на минимум будет собственный вектор матрицы , соответствующий наименьшему собственному значению.

Пример 3.

Решение. 1. Функция Лагранжа :

2. Необходимое условие:

3. Если , то , значит, из предыдущих уравнений - точка не является допустимой. Полагаем . Тогда , или , или , следовательно, , т.е.

4. По теореме Вейерштрасса существуют решения задач на минимум и максимум. Рассматривая значения функционала в стационарных точках, получаем

Список литературы

1. Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Сборник задач по оптимизации.-1984.

2. Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Оптимизация. - 2000.

3. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3т. Т.1 - 2003.

4. Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Краткий курс теории экстремальных задач. - 1989.