Застосування теорії ймовірності в сфері економіки

/

Завдання 1

У класі навчається 30 учнів: 12 хлопчиків і 18 дівчаток. З класу навмання вибирають учня. Знайти ймовірність того, що він:

а) хлопчик; б) дівчинка.

Розв'язок:

n = 30 - усього учнів,

m = 12 - учнів хлопчиків,

m = 18 - учнів дівчаток.

а) Нехай А - подія, яка полягає в тому, що вибраний навмання учень хлопчик, тоді:

Р (А) = = = ;

б) Нехай А - подія, яка полягає в тому, що вибраний навмання учень дівчинка, тоді:

Р (А) = = = ;

Завдання 2

Для контролю якості виготовленої продукції відібрано n виробів. Ймовірність того, що взятий навмання виріб є неякісним, дорівнює p. Знайти ймовірність того, що серед вибраних виробів буде не менше m і не більше m неякісних, якщо:

2. n = 600, p = 0,05, m= 25, m= 60;

Розв'язок:

Подія А - виріб є неякісним.

Її ймовірність p=0,05, кількість незалежних випробувань n = 600.

Застосуємо формулу інтегральної теореми Лапласа:

P (m; m) Ф (x) - Ф (x)

x = ; x= ; q = 1 - p

функція Лапласа

Виконуємо обчислення:

х = = = = - 0,93

х= = = = 5,62

P (25; 60) = Ф (5,62) - Ф (-0,93) = Ф (5,62) + Ф (0,93) =0,5000 + 0,3238 = 0,8238

Значення функції Лапласа беруться з відповідної таблиці - таблиці значень інтегральної функції Лапласа.

Завдання 3

Випадкову величину Х, що визначає добовий попит на певний продукт, задано рядом розподілу. Знайти параметр а та числові характеристики цієї дискретної випадкової величини:

а) математичне сподівання М (Х);

б) дисперсію D (Х);

в) середнє квадратичне відхилення .

2.

Розв'язок:

Сума ймовірностей у ряді розподілу дорівнює 1, тому:

р = р+ р+ р+ р+ р

1 = 0,12 + 0,25 + 0,28 + а + 0,17, звідси

а = 1 - 0,12 - 0,25 - 0,28 - 0,17 = 0,18

а) Математичним сподіванням випадкової величини називають число М (Х) =

б) Дисперсією D (Х) дискретної випадкової величини Х дорівнює різниці між математичним сподіванням квадрата цієї величини і квадратом її математичного сподівання:

М (х) = 303

М (х) = 10000 • 0,12 + 40000 • 0,25 + 90000 • 0,28 + 160000 • 0,18 + 25000 • 0,17 = 1200 + 10000 + 25200 + 28800 + 42500 = 107700

D (Х) = 107700 - 303= 107700 - 91809 = 15891

в) Середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини Х називають корінь квадратний з її дисперсії:

= = 126,06

Завдання 4

Для випадкової величини Х, яка має біноміальний закон розподілу з параметрами n, р:

1) записати ряд розподілу цієї величини;

2) знайти математичне сподівання М (Х), дисперсію D (Х), середнє квадратичне відхилення , якщо:

2. n = 3, р = 0,3

Розв'язок:

1) Випадкова величина Х має біноміальний закон розподілу ймовірностей, яка може набувати значення х = k = 1, 2, 3

Імовірність можливих значень для даного завдання визначається за формулою Бернуллі і становить:

,

де р = 0,3 - ймовірність випадання події Х

q= 1 - p=1 - 0,3 = 0,7 - ймовірність не виконання події Х

- ряд розподілу даної величини

2) Математичне сподівання:

М (х) = = 3 • 0,3 = 0,9

Дисперсія

Середнє квадратичне відхилення

Завдання 5

Неперервна випадкова величина Х задана інтегральною функцією розподілу . Записати диференціальну функцію розподілу, знайти параметр а та визначити ймовірність попадання величини Х в інтервал .

2.

Розв'язок:

1) Записати диференціальну функцію

Ймовірність того, що неперервна випадкова величина Х приймає значення, які належать інтервалу дорівнює визначеному інтегралу від диференціальної функції взятому в межах від до .

Завдання 6

Задано вибірку, яка характеризує місячний прибуток підприємців (тис. грн.).

Скласти варіаційний ряд та статистичний розподіл вибірки, побудувати полігон частот. Скласти інтервальний статистичний розподіл вибірки, розбивши проміжок на 4-6 рівних проміжків, та побудувати гістограму частот. Обчислити вибіркові характеристики: вибіркове середнє, вибіркову дисперсію, вибіркове середнє квадратичне відхилення, моду та медіану, якщо:

2) 42, 52, 47, 43, 46, 53, 43, 50, 47, 49, 51, 45, 46, 50, 51, 45, 52, 47, 42, 54.

Розв'язок:

На підставі вибіркових даних складемо статистичний ряд

Обсяг вибірки в прикладі n = 20

Знаходимо відносні частоти:

Побудова варіаційного ряду - розташування варіантів в порядку їх зростання.

Отже, розподіл відносних частот для цієї вибірки має такий вигляд:

теорія ймовірність закон розподіл

Для графічного представлення варіаційного ряду побудуємо полігон відносних частот.

Довжина інтервалу

Висота прямокутників

1) Вибіркове середнє називають число

= (42 • 2 + 43 • 2 + 45 • 2 + 46 • 2 + 47 • 3 + 49 • 1 + 50 • 2 + 51• 2 + 52 • 2 + 53 • 1 + 54 •1) = 47,75

2) Дисперсія:

=

= 2293,55

D = 2293,55 - (47,75) = 2293,55 - 2280,0625 = 13,4875

3) Вибіркове середнє квадратичне відхилення ,

4) Мода - значення ознаки, яке зустрічається найчастіше в даному ряді розподілу, тобто ймовірність його появи буде найбільшою. - мода,

5) Медіана () - середня величина змінюваної ознаки, яка міститься в середині ряду, розміщеного в порядку зростання або спадання значень ознаки.

Якщо дані містять парне число різних випадків, то медіана дорівнює середньому між двома центральними значеннями.

Завдання 7

Використовуючи критерій Пірсона, при рівні значущості перевірити, чи справджується статистична гіпотеза про нормальний розподіл генеральної сукупності Х, за даними вибірки:

2.

Обчислимо:

=

Обчислимо теоретичні частоти, враховуючи n=40, h=6, за формулою

; ;

Значення з таблиці значень функції нормального розподілу Гаусса-Лапласа

Порівняємо емпіричні та теоретичні частоти. Побудуємо розрахункову таблицю з якої знайдемо значення критерія

Сума 40

По таблиці критичних точок розподілу , за рівнем значущості і числу степенів свободи знаходимо критичну точку правосторонньої критичної області

Так, як , то гіпотеза про нормальний розподіл генеральної сукупності справджується.

Список використаної літератури

1. Астахов В.М. Теорія ймовірностей і математична статистика: навчальний посібник / В.М. Астахов, Г.С. Буланов, В.О. Паламарчук. - Краматорськ: ДДМА, 2009. - 64 с.

2. Бугір, М.К. Теорія ймовірності та математична статистика: посібник для студентів економічних спеціальностей вузів / М.К. Бугір. - Тернопіль: Підручники і посібники, 1998. - 176 с.

3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике / В.Е. Гмурман. - М.: Высш. шк., 1979. - 400 с.

4. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика / В.Е. Гмурман. - М:. Высш. шк., 1979. - 479 с.

5. Вентцель, Е.С. Теория вероятностей. / Е. С Вентцель Л.А., Овчаров. - М.: Наука, 1969. - 432 c.