Виды нелинейных дифференциальных уравнений 1-го порядка
Работа из раздела: «
Математика»
/
ПГУ им. Т.Г. Шевченко
Курсовая работа
Виды нелинейных дифференциальных уравнений 1-го порядка
Выполнил:
студент 211 группы
специальности «ИКТиСС»
Бирт Игорь Андреевич
Тирасполь 2014 год
ВВЕДЕНИЕ
Дифференциальное уравнение -- уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию, её производные и независимые переменные; однако не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением.
Порядок дифференциального уравнения -- наибольший порядок производных, входящих в него.
Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием.
Все дифференциальные уравнения можно разделить на линейные и не линейные.
Нелинейное дифференциальное уравнение - дифференциальное уравнение (обыкновенное или с частными производными), в которое по крайней мере одна из производных неизвестной функции (включая и производную нулевого порядка - саму неизвестную функцию) входит нелинейно.
Иногда под Н.Д.У. понимается наиболее общее уравнение определенного вида. Напр., нелинейнымобыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка наз. уравнение с произвольной функцией при этом линейное обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка соответствует частному случаю
Н. д. у. с частными производными 1-го порядка для неизвестной функции z от независимых переменных имеет вид:
где F- произвольная функция своих аргументов;
Виды нелинейных дифференциальных уравнений 1-го порядка
Уравнения с разделенными переменными
П1.
Общий интеграл
П2.
Общий интеграл
Уравнение в полных дифференциалах
Где
Существует такая функция u(x, y), что
Общий интеграл уравнения в полных дифференциалах u(x, y) = C.
Функция u может быть представлена в виде
Однородное уравнение
где P(x, y), Q(x, y) - однородные функции одной и той же степени
.
Подстановка y = ux, dy = xdu + udx переводит однородное уравнение в линейное относительно функции u:
Уравнение вида
1. Если прямые и пересекаются в точке (x0; y0), то замена приводит его к однородному уравнению
2. Если прямые и параллельны, то замена приводит к уравнению с разделяющимися переменными
Уравнение Бернулли
Подстановкой сводится к линейному
Уравнение Риккати
Если известно какое-либо из решений , то уравнение сводится к
линейному подстановкой .
Уравнение Лагранжа
Дифференцируя по x и полагая y' = p, приходим к линейному уравнению относительно x как функции p:
Уравнение Клеро
- частный случай уравнения Лагранжа.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.
Уравнения Риккати
Решить дифференциальное уравнение
y' = y + y2 + 1.
Решение.
Данное уравнение является простейшим уравнением Риккати с постоянными коэффициентами. Переменные x, y здесь легко разделяются, так что общее решение уравнения определяется в следующем виде:
дифференциальный уравнение решение бернулли
Решить уравнение Риккати
Решение
Будем искать частное решение в форме:
Подставляя это в уравнение, находим:
Получаем квадратное уравнение для c:
Мы можем выбрать любое значение c. Например, пусть c = 2. Теперь, когда частное решение известно, сделаем замену:
Снова подставим это в исходное уравнение Риккати:
Как видно, мы получили уравнение Бернулли с параметром m = 2. Сделаем еще одну замену:
Разделим уравнение Бернулли на z2 (полагая, что z ? 0) и запишем его через переменную v:
Последнее уравнение является линейным и легко решается с помощью интегрирующего множителя:
Общее решение линейного уравнения определяется функцией
Теперь мы будем последовательно возвращаться к предыдущим переменным. Так как z = 1/v, то общее решение для z записывается следующим образом:
Следовательно,
Можно переименовать константу: 3C = C1 и записать ответ в виде
где C1 ? произвольное действительное число.
Уравнения Бернули
Найти все решения дифференциального уравнения
Решение.
Данное уравнение является уравнением Бернулли с дробным параметром m = 1/2. Его можно свести к линейному дифференциальному уравнению с помощью замены
Производная новой функции z(x) будет равна
Разделим исходное уравнение Бернулли на
Аналогично другим примерам на этой веб-странице, корень y = 0 также является тривиальным решением дифференциального уравнения. Поэтому можно записать:
Заменяя y на z, находим:
Итак, мы имеем линейное уравнение для функции z(x). Интегрирующий множитель здесь будет равен
Выберем в качестве интегрирующего множителя функцию u(x) = x. Можно проверить, что после умножения на u(x) левая часть уравнения будет представлять собой производную произведения z(x)u(x):
Тогда общее решение линейного дифференциального уравнения будет определяться выражением:
Возвращаясь к исходной функции y(x), записываем решение в неявной форме:
Итак, полный ответ имеет вид:
Уравнения с разделяющимися переменными
Найти все решения дифференциального уравнения
y' = ?xey.
Решение.
Преобразуем уравнение следующим образом:
Очевидно, что деление на ey не приводит к потере решения, поскольку ey > 0. После интегрирования получаем
Данный ответ можно выразить в явном виде:
В последнем выражении предполагается, что константа C > 0, чтобы удовлетворить области определения логарифмической функции.
Найти частное решение уравнения, при
y(0) = 0.
Решение.
Перепишем уравнение в следующем виде:
Разделим обе части на 1 + ex:
Поскольку 1 + ex > 0, то при делении мы не потеряли никаких решений. Интегрируем полученное уравнение:
Теперь найдем константу C из начального условия y(0) = 0.
Следовательно, окончательный ответ имеет вид:
Уравнение Клеро
Найти общее и особое решения дифференциального уравнения
y = xy' + (y')2
Решение
Полагая y' = p, его можно записать в виде
Продифференцировав по переменной x, находим:
Заменим dy на pdx:
Приравнивая первый множитель к нулю, получаем:
Теперь подставим это во второе уравнение:
В результате получаем общее решение заданного уравнения Клеро. Графически, это решение представляется в виде однопараметрического семейства прямых. Приравнивая нулю второй сомножитель, находим еще одно решение:
Это уравнение соответствует особому решению дифференциального уравнения и в параметрической форме записывается как
Исключая p из системы, получаем следующее уравнение интегральной кривой:
С геометрической точки зрения, парабола
является огибающей семейства прямых, определяемых общим решением.
Найти общее и особое решения дифференциального уравнения
Решение.
Введем параметр y' = p:
Дифференцируя обе части уравнения по переменной x, получаем:
Поскольку dy = pdx, то можно записать:
Рассмотрим случай dp = 0. Тогда p = C. Подставляя это в уравнение, находим общее решение:
Графически это решение соответствует однопараметрическому семейству прямых линий.
Второй случай описывается уравнением
Найдем соответствующее параметрическое выражение для y:
Параметр p можно исключить из формул для x и y. Возводя последние уравнения в квадрат и складывая их, получаем:
Полученное выражение является уравнением окружности радиусом 1, расположенным в начале координат. Таким образом, особое решение представляется единичной окружностью в плоскости xy, которая является огибающей для семейства прямых линий.
ЛИТЕРАТУРА
1. Н.С. Пискунов 'Дифференциальное и интегральное исчисление', том второй, издательство 'Наука', Москва 1985
2. В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Физматлит, 2001.
3. К.Н. Лунгу, В.П. Норин и др. 'Сборник задач по высшей математике', второй курс, Москва: Айрис-пресс, 2007
4. Э. Камке. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976.
5. Источники информации в интернете.
