Аналіз двоїстості та ортогоналізації функції
Работа из раздела: «
Математика»
/
/
Вступ
Багато прогнозувальних задач стаціонарних випадкових процесів (див. [2], [7], [10], [14]) еквівалентні пошуку відстані від сталої функції 1 до підпростору в , де S - підмножина цілих чисел , ek = e-ikл, w-невід'ємна інтегрована функція на одиничному крузі T, і це зважений простір на T з нормою . Тут µ - це Лебегова міра на Т, причому µ(T) = 1. Записуємо
для відстані. Наприклад, складається із многочленів , і їх границь в коли індексна множина S, є пів пряма , тобто
У цьому випадку, загальновідома теорема стверджує, що для ,
якщо ; в іншому випадку (див., наприклад, [5, p. 156]). У праці [10] для індексної множини привернула значну увагу до обчислення коли індексна множина є з обмеженою кількістю доданих та видалених точок . На сьогодні, найбільш відомий загальний результат - це Теорема 2 Ченга та ін., яка стверджує, що, для такого , є позитивним лише за умови що Однак, задача обчислення та функції в , що його досягає, залишається недосяжною, навіть якщо , за винятком кількох особливих випадків, розглянутих у пункті 2. У цій роботі ми розв'язуємо задачу пошуку обґрунтованої загальної індексної множини S, що могла б пролити світло на труднощі, звичайні для цієї сфери досліджень. Пункт 3 представляє результати для і містить деякі відкриті питання щодо загального .
1 Теоретичні відомості
1.1 Стаціонарні послідовності
Нехай - ймовірнісний простір і - деяка послідовність випадкових величин. Позначимо через послідовність
Означення 1.
Випадкова послідовність називається стаціонарною (у вузькому сенсі), якщо для любого розподіли ймовірностей співпадають:
Означення 2.
Послідовність комплексних випадкових величин з , , називається стаціонарною (в широкому сенсі), якщо для всіх
Позначимо
І припускаючи, що
Функцію будемо називати коваріаційною функцією, а - кореляційною функцією стаціонарної (в широкому сенсі) випадкової послідовності .
1.2 Спектральний розклад кореляційної функції
Нехай
де - ортогональні випадкові величини з нульовими середніми і . Якщо покласти, що , то ряд сходиться в середньоквадратичному сенсі і
Введемо функцію
Тоді коваріаційна функція може бути записана у вигляді інтеграла Лебега-Стілт'єса
Теорема (Герглотц).
Нехай - коваріаційна функція стаціонарної (в широкому сенсі) випадкової послідовності з нульовим середнім. Тоді на знайдеться така скінченна міра ,
, що для любого
де інтеграл розуміється як інтеграл Лебега-Стілт'єса по множині .
1.3 Спектральне представлення стаціонарних (в широкому сенсі) послідовностей
Теорема 1.
Існує така ортогональні стохастична міра , що для кожного (-м.н.)
При цьому .
Теорема 2.
Якщо , то знайдеться така функція , що (-м.н.)
1.4 Регулярні послідовності
Введемо позначення. Нехай та - замкнені лінійні многовиди, породжені величинами і відповідно. Нехай також
Означення.
Стаціонарна послідовністьназивається регулярною, якщо
і сингулярною, якщо
Теорема.
Кожна стаціонарна в широкому сенсі випадкова послідовність допускає єдиний розклад
де - регулярна, а - сингулярна послідовності. При цьому і ортогональні (.
Означення.
Клас Харді - це клас аналітичних функцій у відкритому одиничному колі на комплексній площин, які задовольняють умову
Теорема (Колмагоров).
Нехай - не вироджена регулярна стаціонарна послідовність. Тоді існує спектральна щільність така, що
А саме, (майже скрізь по мірі Лебега).
І навпаки, якщо - деяка стаціонарна послідовність, що має спектральну щільність, яка задовольняє умову (1), то ця послідовність є регулярною.
1.5 Екстраполяція, інтерполяція та фільтрація
Екстраполяція
Розглянемо частковий випадок, коли спектральна щільність задається у вигляді
де функція має радіус збіжності і не має нулів в радіусі
Нехай
- спектральне представлення послідовності .
Теорема 1. Якщо спектральна щільність послідовності може бути представлена у вигляді (1), то оптимальна (лінійна) оцінка величини по задається формулою
Інтерполяція.
Найпростішою задачею інтерполяції є задача побудови оптимальної (в середньоквадратичному сенсі) лінійної оцінки по результатам спостережень «пропущеного» значення .
Позначимо через - замкнений лінійний многовид, породжений величинами . Тоді кожна випадкова величина може бути представлена у вигляді
де належить замкненому лінійному многовиду, породженому функціями і оцінка
буде оптимальною тоді і тільки тоді, коли
Із властивостей «перпендикулярів» в гільбертовому просторі випливає, що функція повністю визначається двома умовами:
1)
2)
Теорема 2 (Колмагоров).
Нехай - регулярна послідовність з
І похибка інтерполяції задається формулою
Фільтрація.
Задача фільтрації полягає в побудові оптимальної (в середньоквадратичному сенсі) лінійної оцінки величини по тім чи іншим спостереженням послідовності
Оскільки , то знайдеться така функція , що
Оптимальна функція :
1) ,
2) .
Отриманий розв'язок (4) можна використати для побудови оптимальної оцінки величини по результатам спостережень , де - деяке задане число з .
1.6 Двоїстість та ортогоналізація
Надалі ми припускаємо, що такий, що для деякої функції ?? з класу Харді . Нехай і це коефіцієнти в наступних розкладах:
Явний вигляд для і в термінах коефіцієнтів ряду Фур'є для можна знайти в [11] та [12].
Для набору індексів , котрі відповідають видаленню перших n частот з , відомо, що
(див. [7], [11], [2]). Це так званий - й крок прогнозу дисперсії. Для множини індексів котрий дорівнює приєднанню наступних частот до в [10] показано, що
якщо . Дуже цікавий обернений зв'язок між співвідношеннями (2.2) і (2.3), а також потреба в нетривіальній умові пояснюється встановленням двоїстості між та як Банахових просторів (див. [9], [2]). Відмітимо, що доповнення із в еквівалентно півосі , де . Отже, загальна і більш складна проблема прогнозування на основі в була зведена до звичайної проблеми прогнозування в . В цілому, для будь-якого набору індексів із скінченним числом точок із добавлених чи відібраних, нехай буде доповненням до , і для фіксованого , визначимо та наступною рівністю:
відповідно. Тоді той же аргумент двоїстості показує, що
якщо . Хоча останнє нетривіальне обмеження може бути послаблене [2], до , але величина , можливо, не буде чітко визначена. На щастя, для набору ця складність була усунута в [2, Теорема 3], використовуючи іншу задачу екстремальної двоїстості в [3], пов'язану з проекцією на простір Харді . Тим не менш, для загального , визначення правої частини рівності (2.4) залишається відкритим питанням. В ідеалі хотілося б застосувати (2.4), коли одна проблема простіша, ніж інша, однак (2.4) не має сенсу, коли проблеми прогнозування, що відповідають та мають однакову складність або ж навіть ідентичні. У попередньому випадку, підходяща ортогоналізація у поєднанні з (2.4), здається, забезпечує гарний метод для розв'язку деяких проблем прогнозування. Наприклад, для доповнення еквівалентно , що відповідає вилученню і приєднанню одного спостереження в відповідно. Жодна з проблем не є тривіальною, але останнє здається простіше. В [2, теореми 5, 6] метод ортогоналізації використовується для обчислення . Тоді співвідношення двоїстості (2.4) використовується для визначення , що дає:
В цьому пункті ми обчислюємо для більш загального набору індексів з і , тобто
Цей набір індексів має властивості як так і . Насправді, він зводиться до , коли , в той час як його доповнення в має той же вигляд, як і , так, що відношення двоїстості (2.4) не має сенсу. Тут також показано, що метод ортогоналізації, головним кроком якого є визначення проекції з на підпростір , може бути використаний для вирішення проблеми. Щоби встановити значення, позначимо ортогональну проекцію на підпростір . Оскільки ортогональні до , то підпростори і можна записати у вигляді наступних ортогональних сум:
Таким чином, обчислення , його проекції та норми являється першочерговим. Наступна тотожність, яка являє собою узагальнення [2, теорема 6], представляє окремий інтерес. Власне, цікавий її зв'язок з , де (з , де ):
(2.7)
Де i
Константа насправді являється коефіцієнтом у формальному розкладі в ряд -го кроку прогнозу . [16]). Наостанок, бажана відстань:
На відміну від (2.2), (2.3) і (2.5), де відстань залежить або ж лише від або лише від , у випадку (2.7) і (2.9) одночасно залежить від обох. Явні вирази цих відстаней забезпечують корисні інструменти для оцінки впливу додавання (вилучення) вектора на зниження (підвищення) таких відстаней. А саме, як слідує з (2.7), видалення із не буде збільшувати відстань від з якщо рівне нулю. Аналогічно з (2.9), додавання до не зменшить якщо . Ці факти швидше за все мають цікаву інтерпретацію результатів у статистиці (див. [16], [14]). Було б корисно привести кілька конкретних прикладів оціночних функцій або ж стаціонарних процесів, які відображають ці феномени.
1.7 Результати і доведення для
В цьому розділі для комплексно значної матриці , ми писатимемо для матриць відповідно. Використовуючи зовнішню функцію , ми визначаємо , де це повний ортонормований базис такий, що
Ми виражаємо різні проекції в термінах .
Теорема 3.1.
Покладемо w - невід'ємна інтегрована функція з . Тоді матимемо наступне:
Задовольняє умову (3.3) нижче.
Для , Теорема 3.1. дає явний вигляд . Він необхідний для проектування на . В силу (2.6), ми також маємо спроектувати на одновимірний підпростір або ж визначити коефіцієнт
де внутрішнім оператором Віповідні результати наведені в наступній теоремі.
Теорема 3.2.
Покладемо w - невід'ємна інтегрована функція з . Тоді мають місце наступні твердження:
.
Нехай . Для визначення проекції на - мірного проміжку записів , матриці і - вектор необхідні наступні компоненти:
Ми визначимо - мірний вектор і - мірну нижню трикутну матрицю :
наступне представлення має місце:
де Звідси ми отримуємо
де визначено і зсунуто вектор вице. В цих позначеннях, нормальне рівняння для в теоремі 3.1 (1) буде
Крім того, ми визначимо . Тоді в силу (2.1), (2.8) і (2,10),
Оскільки матриця А має ранг один збурення , вона може бути легко інверсована за допомогою оберненої і співвідношення між і описаним в (2.1). Обернена матриця матриці А і інші відповідні результати наведені в наступній лемі.
Лема 3.3.
Доведення леми є простим, тому ми його опустимо.
Доведення теореми 3.1.
Виходячи з (3.3) ми вже вище довели (1). Використовуючи представлення в (3.2) і визначення ми маємо
Твердження (2) слідує з леми (3.3) (5), (6). нарешті, ми отримуємо (3) з (2).
Доведення теореми 3.2.
Використовуючи теорему 3.1 (2) і останню тотожність в (2.1), ми отримаємо
Звідси отримуємо (1). З (2.6) і (3.1),
Тоді (2) випливає з теореми (3.1), і (3) виводиться застосуванням теореми (3.1) (2).
Ця тотожність необхідна для доведення (4). Так
Котре, в силу (3.1) дає
Таким чином
Тепер, З іншої сторони, з (1) ми маємо:
Таким чином, ми отримуємо (4), бажану формулу відстані (2.9).
Звичайно, це являє собою великий інтерес для обчислення Для і=0 - й крок проблема прогнозування була вирішена в [1], [10] з додатковою гіпотезою, що
Для всіх , де коефіцієнти визначаються наступним чином:
Використовуючи цей результат і співвідношення двоїстості (2.4), знаходиться в [2]. Здається, цілком імовірно, що одномірний метод ортогоналізації який використовується в [2, теорема 5], може бути продовжений до , а потім за допомогою відношення двоїстості (2.4), можна також обчислити . Вздовж цього розширення набору індексів може знадобитися припущення про місце нулів впродовж кількох n, що піднімає питання про існування нетривіальних вагових функцій , які задовольняють ці умови.
2. Основні результати
2.1 Перевірка гіпотези про двоїстість та ортогоналізацію.
Приклад 1
Розглянемо спектральну щільність виду
Маємо . Звідси можемо одразу визначити коефіцієнти :
Для визначення коефіцієнтів розглянемо розклад виду
тобто перепишемо нашу щільність
Подамо у вигляді суми геометричної прогресії , звівши до відповідного вигляду отримаємо
Підставимо у праву частину рівності замість
Тепер легко можна записати коефіцієнти
Перевіримо виконання умов
Тепер знайдемо стандартне відхилення для набору індексів
Для множини
Стандартне відхилення для набору матиме вигляд
Приклад 2
Розглянемо тепер щільність виду, а саме
Проведемо ту ж саму процедуру визначення коефіцієнтів і :
:
:
Перевіримо виконання умов
Стандартні відхилення у цьому випадку будуть
Висновок
В даній роботі були розглянуті основні проблеми та гіпотези задач прогнозу стаціонарних випадкових послідовностей (у широкому сенсі), спектральний розклад кореляційної функції та спектральне представлення стаціонарних регулярних послідовностей і. У роботі досліджено задачу пошуку обґрунтованої загальної індексної множини S, яка проливає світло на труднощі при обчисленні для , розглянуто два приклади застосувань теорії для гіпотез про двоїстість та ортогонлізацію, а саме дві спектральні щільності з прямим та оберненим способом відшукання коефіцієнтів ряду Фур'є, знайдено вирази для знаходження коефіцієнтів та , перевірено виконання умов регулярності, знайдено значення величин стандартних відхилень для наборів індексів .
Література
1. S. Cambanis and A.R. Soltani, Prediction of stable processes: Spectral and moving average representations, Z. Wahrsch. Verw. Gebiete 66 (1984), 593-612. MR0753815 (86g:60054)
2. R. Cheng, A.G. Miamee and M. Pourahmadi, Some extremal problems in , Proc. Amer. Math. Soc.126 (1998), 2333-2340. MR1443377 (98j:42003)
3. P.L. Duren, Theory of Spaces, Academic Press, New York, 1970. MR0268655 (42:3552)
4. M. Frank and L. Klotz, A duality method in prediction theory of multivariate stationary sequences, Math. Nachr.244 (2002), 64-77. MR1928917 (2003m:60105)
5. T.W. Gamelin, Uniform Algebras, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1969. MR0410387 (53:14137)
6. L. Klotz and M. Riedel, Some remarks on duality of stationary sequences, Colloq. Math. 86 (2000), 225-228. MR1899439 (2003b:60050)
7. A.N. Kolmogorov, Stationary sequences in a Hilbert space, Bull. Moscow State University 2 (1941), 1-40.
8. A.G. Miamee, On basicity of exponentials in and general prediction problems, Period. Math. Hungar. 26 (1993), 115-124. MR1230571 (94k:60066)
9. A.G. Miamee and M. Pourahmadi, Best approximation in and prediction problems of Szego, Kolmogorov, Yaglom and Nakazi, J. London Math. Soc. 38 (1988), 133-145. MR0949088 (90g:60042)
10. T. Nakazi, Two problems in prediction theory, Studia Math. 78 (1984), 7-14. MR0766702 (86i:60122)
11. T. Nakazi and K. Takahashi, Predictionnunits of time ahead, Proc. Amer. Math. Soc. 80 (1980), 658-659. MR0587949 (82b:60041)
12. M. Pourahmadi, Taylor expansi on and some applications, Amer. Math. Monthly 91 (1984), 303-307. MR0740245 (85e:30003)
13. M. Pourahmadi, Two prediction problems and extensions of a theorem of Szego, Bull. Iranian Math. Soc.19 (1993), 1-12. MR1289507 (95j:60061)
14. M. Pourahmadi, Foundations of Prediction Theory and Time Series Analysis, John Wiley, New York, 2001. MR1849562 (2002f:62090)
15. K. Urbanik, A duality principle for stationary random sequences, Colloq. Math. 86 (2000), 153-162. MR1808671 (2001j:60072)
16. N. Wiener and P.R. Masani, The prediction theory of multivariate stationary processes.II, Act. Math. 99 (1958), 93-137. MR0097859 (20:4325)
17. А.Н. Ширяев, Вероятность, Москва «наука», главная редакция физико-математической литературы - 1989
