МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения
Заочная форма
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
По Математике
Работу выполнил студент II курса
Оганян Арсен М.
шифр группа №
Санкт-Петербург
2010
Контрольная работа №1
1. Задана случайная функция
где, , .
Найти числовые характеристики , , .
Решение. Исходная случайная функция представляет собой сумму двух случайных функций, каждая из которых является произведением случайной величины на неслучайную функцию. Поэтому для определения математического ожидания воспользуемся следующими свойствами мат. ожидания:
- мат. ожидание суммы случайных функций равно сумме мат. ожиданий каждой функции;
- мат. ожидание произведения случайной величины на неслучайную функцию равно произведению мат. ожидания случайной величины на неслучайную функцию.
Таким образом, получим
Дисперсия случайной функции определяется как
С учетом исходных данных, найденного значения и указанных выше свойств мат. ожидания получим
Корреляционная функция случайной функции определяется как
С учетом исходных данных и найденного значения преобразуем произведение под знаком мат. ожидания следующим образом
В результате, получим
Ответ:
2. Дана спектральная плотность
Определить корреляционную функцию и дисперсию .
Решение. Корреляционная функция и дисперсия соответственно, при заданной спектральной плотности определяются как
С учетом исходных данных получим
3. Найти числовые характеристики производной случайной
функции, если
, .
Решение. Математическое ожидание производной случайной функции равно производной математического ожидания этой функции. Следовательно,
Корреляционная функция производной случайной функции равна второй смешанной частной производной от ее корреляционной функции
Дисперсия равна
.
Ответ:
Контрольная работа №2
1. Сгруппировать заданную выборку объема (количество интервалов равно 10).
2. Построить выборочную функцию распределения и гистограмму.
3. Вычислить среднее выборочное и несмещенную выборочную дисперсию .
4. Построить доверительный интервал для .
5. Используя критерий согласия , проверить гипотезу о нормальном распределении.
Решение. Расположим элементы заданной выборки по возрастающей:
Для группировки выборки по интервалам определим длину интервала по формуле
За левую границу интервала примем значение . Тогда правая граница равна . Группируя упорядоченную выборку по заданным интервалам, составим таблицу распределения выборки (табл. 1), в которую также сведем значения плотности частоты вариант интервала и значения выборочной функции распределения, которая определяется как
Табл. 1
Номер интервала |
Частичный интервал |
Сумма частот вариант интервала |
Плотность частоты |
Выборочная функция распределения |
|
1 |
-29-(-15) |
1 |
0,071 |
0,02 |
|
2 |
-15-(-1) |
7 |
0,5 |
0,16 |
|
3 |
-1-13 |
11 |
0,786 |
0,38 |
|
4 |
13-27 |
12 |
0,857 |
0,62 |
|
5 |
27-41 |
7 |
0,5 |
0,76 |
|
6 |
41-55 |
6 |
0,429 |
0,88 |
|
7 |
55-69 |
4 |
0,286 |
0,96 |
|
8 |
69-83 |
1 |
0,071 |
0,98 |
|
9 |
83-97 |
0 |
0 |
0,98 |
|
10 |
97-111 |
1 |
0,071 |
1 |
Используя значения последних двух столбцов, построим гистограмму и график выборочной функции распределения (рис. 1 и 2).
Рис. 1 - Гистограмма
Рис. 2 - Выборочная функция распределения
Выборочная средняя определяется как
Тогда с учетом табл. 1 получим
Несмещенная выборочная дисперсия определяется как
Тогда с учетом табл. 1 и найденного значения получим
Доверительный интервал для выборочного среднего (с надежностью ) определяется в виде
где
- функция Лапласа.
Примем . Тогда и согласно таблице для функции Лапласа . Следовательно, границы интервала равны
В результате, получили интервал вида
.
Для проверки гипотезы о нормальном распределении с использованием критерия требуется:
- рассчитать теоретические значения частот на каждом интервале по формуле
- рассчитать наблюдаемое значение величины по формуле
- сравнить полученное значение с табличным и сделать вывод.
Производя расчеты по указанным формулам, получим
Сведем полученные результаты в табл. 2.
Табл. 2
Номер интервала |
Частичный интервал |
Сумма частот вариант интервала |
Теоретические частоты |
|
1 |
-29-(-15) |
1 |
2,223 |
|
2 |
-15-(-1) |
7 |
5,081 |
|
3 |
-1-13 |
11 |
8,606 |
|
4 |
13-27 |
12 |
10,806 |
|
5 |
27-41 |
7 |
10,057 |
|
6 |
41-55 |
6 |
6,937 |
|
7 |
55-69 |
4 |
3,547 |
|
8 |
69-83 |
1 |
1,344 |
|
9 |
83-97 |
0 |
0,378 |
|
10 |
97-111 |
1 |
0,079 |
Согласно табл. 2 имеем
Число степеней свободы выборки равно 10-3=7. Выберем из таблицы для данного числа степеней свободы наименьшее значение , превышающее . Согласно таблице при уровне значимости 0,025.
Таким образом, гипотеза о нормальном распределении выборки должна быть отвергнута с вероятностью ошибки 2,5%.