Числовые характеристики случайной функции

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения

Заочная форма

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По Математике

Работу выполнил студент II курса

Оганян Арсен М.

шифр группа №

Санкт-Петербург

2010

Контрольная работа №1

1. Задана случайная функция

где, , .

Найти числовые характеристики , , .

Решение. Исходная случайная функция представляет собой сумму двух случайных функций, каждая из которых является произведением случайной величины на неслучайную функцию. Поэтому для определения математического ожидания воспользуемся следующими свойствами мат. ожидания:

- мат. ожидание суммы случайных функций равно сумме мат. ожиданий каждой функции;

- мат. ожидание произведения случайной величины на неслучайную функцию равно произведению мат. ожидания случайной величины на неслучайную функцию.

Таким образом, получим

Дисперсия случайной функции определяется как

С учетом исходных данных, найденного значения и указанных выше свойств мат. ожидания получим

Корреляционная функция случайной функции определяется как

С учетом исходных данных и найденного значения преобразуем произведение под знаком мат. ожидания следующим образом

В результате, получим

Ответ:

2. Дана спектральная плотность

Определить корреляционную функцию и дисперсию .

Решение. Корреляционная функция и дисперсия соответственно, при заданной спектральной плотности определяются как

С учетом исходных данных получим

3. Найти числовые характеристики производной случайной

функции, если

, .

Решение. Математическое ожидание производной случайной функции равно производной математического ожидания этой функции. Следовательно,

Корреляционная функция производной случайной функции равна второй смешанной частной производной от ее корреляционной функции

Дисперсия равна

.

Ответ:

Контрольная работа №2

1. Сгруппировать заданную выборку объема (количество интервалов равно 10).

2. Построить выборочную функцию распределения и гистограмму.

3. Вычислить среднее выборочное и несмещенную выборочную дисперсию .

4. Построить доверительный интервал для .

5. Используя критерий согласия , проверить гипотезу о нормальном распределении.

Решение. Расположим элементы заданной выборки по возрастающей:

Для группировки выборки по интервалам определим длину интервала по формуле

За левую границу интервала примем значение . Тогда правая граница равна . Группируя упорядоченную выборку по заданным интервалам, составим таблицу распределения выборки (табл. 1), в которую также сведем значения плотности частоты вариант интервала и значения выборочной функции распределения, которая определяется как

Табл. 1

Используя значения последних двух столбцов, построим гистограмму и график выборочной функции распределения (рис. 1 и 2).

Рис. 1 - Гистограмма

Рис. 2 - Выборочная функция распределения

Выборочная средняя определяется как

Тогда с учетом табл. 1 получим

Несмещенная выборочная дисперсия определяется как

Тогда с учетом табл. 1 и найденного значения получим

Доверительный интервал для выборочного среднего (с надежностью ) определяется в виде

где

- функция Лапласа.

Примем . Тогда и согласно таблице для функции Лапласа . Следовательно, границы интервала равны

В результате, получили интервал вида

.

Для проверки гипотезы о нормальном распределении с использованием критерия требуется:

- рассчитать теоретические значения частот на каждом интервале по формуле

- рассчитать наблюдаемое значение величины по формуле

- сравнить полученное значение с табличным и сделать вывод.

Производя расчеты по указанным формулам, получим

Сведем полученные результаты в табл. 2.

Табл. 2

Согласно табл. 2 имеем

Число степеней свободы выборки равно 10-3=7. Выберем из таблицы для данного числа степеней свободы наименьшее значение , превышающее . Согласно таблице при уровне значимости 0,025.

Таким образом, гипотеза о нормальном распределении выборки должна быть отвергнута с вероятностью ошибки 2,5%.