Чисельні методи розв'язання задач обчислювальної математики
Работа из раздела: «
Математика»
Розрахункова графічна робота
з курсу обчислювальної математики
Чисельні методи розв'язання задач обчислювальної математики
Виконав:
Студент групи ДС 71
Грабовий Олександр
Варіант №3
Теоретичні відомості
обчислювальна математика поліном лагранжа
Обчислювальна математика -- розділ математики, що включає коло питань, зв'язаних з виконанням наближених обчислень. У більш вузькому розумінні, обчислювальна математика -- теорія чисельних методів розв'язування типових математичних задач. Сучасна обчислювальна математика включає в коло своїх проблем вивчення особливостей обчислень із використанням комп'ютерів.
Обчислювальна математика має широке коло прикладних використань для проведення наукових та інженерних розрахунків. На її основі в останні десятиліття розвинулися нові області облислювальних наук, наприклад, обчислювальна хімія, обчислювальна біологія тощо.
Задачі обчислювальної математики
До задач обчислювальної математики відносять:
· розв'язування систем лінійних рівнянь
· знаходження власних значень і векторів матриці
· знаходження сингулярних значень і векторів матриці
· розв'язування нелінійних алгебраїчних рівнянь
· розв'язування систем нелінійних алгебраїчних рівнянь
· розв'язування диференціальних рівнянь (як звичайних диференціальних рівнянь, так і рівнянь з частинними похідними)
· розв'язування систем диференціальних рівнянь
· розв'язування інтегральних рівнянь
· задачі апроксимації
· задачі інтерполяції
· задачі екстраполяції
· задачі оптимізації
· обернені задачі.
Алгоритми розв'язування багатьох стандартних задач обчислювальної математики реалізовані на багатьох мовах програмування. Найчастіше для цих цілей використовуються мови ФОРТРАН і C. Ці алгоритми скомпановані в бібліотеки, які можна знайти, наприклад, в репозиторії Netlib. Популярні комерційні бібліотеки - IMSL та NAG, вільна альтернатива GNU Scientific Library. MATLAB, Mathematica, Maple, S-PLUS, LabVIEW та IDL, а також їх вільні альтернативи FreeMat, Scilab, GNU Octave (схожа на Matlab), IT++ (бібліотека C++), R (подібнадо S-PLUS) мають у своєму розпорядженні різноманітні чисельні методи, а також засоби для візуалізації та відображення результатів.
В даній роботі в якості програмного забезпечення використовувалося програмне забезпечення MATLAB.
Розрахункова частина
1. Інтерполяційний поліном Лагранжа Ln(x) для таблично заданої функції f(x).
Загальна формула:
де
Таблиця значень:
|
x
|
f(x)
|
|
|
0.35
|
0.809
|
|
|
0.41
|
0.895
|
|
|
0.47
|
1.030
|
|
|
0.51
|
1.210
|
|
|
0.56
|
1.341
|
|
|
0.64
|
1.524
|
|
|
n=5
Формула у загальному вигляді:
Формула з підставленими значеннями:
Формула після скорочень:
Графік полінома Лагранжа:
Значення полінома в точці 0,526
Ln(0.812) = 1.723
2. Перша та друга похідна таблично заданої функції f(x) у заданих точках х, за допомогою формули числового диференціювання Ньютона.
|
x
|
f(x)
|
?1f
|
?2f
|
?3f
|
?4f
|
|
|
2,4
|
3,526
|
0,256
|
-0,093
|
0,028
|
0,000
|
|
|
2,6
|
3,782
|
0,163
|
-0,065
|
0,028
|
-0,001
|
|
|
2,8
|
3,945
|
0,098
|
-0,037
|
0,027
|
-0,001
|
|
|
3,0
|
4,043
|
0,061
|
-0,010
|
0,026
|
0,000
|
|
|
3,2
|
4,104
|
0,051
|
0,016
|
0,026
|
-0,001
|
|
|
3,4
|
4,155
|
0,067
|
0,042
|
0,025
|
0,000
|
|
|
3,6
|
4,222
|
0,109
|
0,067
|
0,025
|
-0,001
|
|
|
3,8
|
4,331
|
0,176
|
0,092
|
0,024
|
0,000
|
|
|
4,0
|
4,507
|
0,268
|
0,116
|
0,024
|
|
|
4,2
|
4,775
|
0,384
|
0,140
|
|
|
4,4
|
5,159
|
0,524
|
|
|
4,6
|
5,683
|
|
|
h=0.2
N=3
Загальний вигляд формули для обчислення першої похідної на основі першої формули Ньютона
Загальний вигляд формули для обчислення другої похідної на основі першої формули Ньютона
де
1) x=2.4*0.05*N=2.4*0.05*3=2.55
q=0.75
Перша похідна:
Друга похідна:
2) x=2+0.03*N=2+0.03*3 =2.09
q= -1.55
Перша похідна:
Друга похідна:
Загальний вигляд формули для обчислення першої похідної на основі другої формули Ньютона
Загальний вигляд формули для обчислення другої похідної на основі другої формули Ньютона
3) x=4.04-0.04*N=4.04-0.04*3=3.92
q= -0.4
Перша похідна:
Друга похідна:
4) x=4.5-0.06*N=4.5-0.06*3=4.32
q=-0.4
Перша похідна:
Друга похідна:
3. Обчислення значення інтегралу за допомогою формули трапеції. Кількість вузлів рівна 10
Складемо відповідну таблицю для значень функції
|
x
|
f(x)
|
|
|
1
|
0.550
|
|
|
1.1
|
0.518
|
|
|
1.2
|
0.489
|
|
|
1.3
|
0.462
|
|
|
1.4
|
0.438
|
|
|
1.5
|
0.415
|
|
|
1.6
|
0.395
|
|
|
1.7
|
0.376
|
|
|
1.8
|
0.359
|
|
|
1.9
|
0.343
|
|
|
2
|
0.328
|
|
|
Загальний вид формули трапецеїдального числового інтегрування:
Формула з підставленими числовими коефіцієнтами:
Література
1. http://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D1%8E%D0%B2%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0
2. http://masters.donntu.edu.ua/2003/ggeo/burik/library/lab1.htm
3. Мэтьюз Дж.Г. Численные методы. Использование MATLAB. Вильямс 2001 г, 720 с.
