Частные производные. Экстремумы функций
Работа из раздела: «
Математика»
БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
Факультет непрерывного и дистанционного обучения
Специальность: искусственный интеллект
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
Минск 2013
Задача 1.
Дана функция . Показать что
Решение:
Найдем частные производные и .
Получаем:
Задача 2.
Дана функция и две точки А(х0 , y0) и В (х1,,y1). Требуется:
1) вычислить значение z1функции в точке В;
2) вычислить приближенное значение функции в точке В исходя из значения z0 функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом;
3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности в точке
Решение:
1)
2)
Найдем частные производные и .
3) уравнение касательной плоскости к поверхности в точке
Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке имеет вид:
Найдем частные производные , и .
Искомое уравнение касательной плоскости имеет вид
Так как в условии задачи координаты точки С не заданы, следовательно уравнение касательной плоскости может быть найдено только в общем виде.
Ответ:
1)
2)
3)
Задача 3.
Исследовать на экстремум функции двух переменных.
Решение:
В соответствие с достаточным условием экстремума функции двух переменных, найдем точки, удовлетворяющие условию:
Получили одну стационарную точку (0;0)
найдем все вторые частные производные от функции и составим дискриминант :
Так как дискриминант больше нуля и А>0, то функция z имеет минимум в точке (0;0)
Ответ: функция z имеет минимум в точке (0;0).
Задача 4.
Дана функция , точка и вектор а. Найти:
1) grad z в точке ;
2) производную в точке в направлении вектора а.
Решение:
1) Согласно определению
Найдем частные производные функции z в точке А.
2) Производную по направлению вектора в точке А находим по формуле
Где , - направляющие косинусы:
Получаем:
Частные производные в точке А уже найдены. Окончательно получаем:
Ответ:
1)
2)
Задача 5.
Найти условный экстремум функции при помощи функции Лагранжа.
Решение:
Составляем функцию Лагранжа:
Имеем:
Необходимые условия дают систему
Получаем:
Находим:
производный функция лагранж
и вычисляем второй дифференциал функции Лагранжа
в этой точке условный минимум,
в этой точке условный максимум,
Ответ: ,
