Точка экстремума и точка перегиба. Расчет области функции
Работа из раздела: «
Математика»
/
ГОУ ВПО «ВСГАО»
Кафедра математики и методики обучения математике
Контрольная работа по дисциплине
«МАТЕМАТИКА»
Выполнила:
Шепчугова Наталья Викторовна
Курс: 1 (2010-2011 уч.годы)
Проверил: ст. пр. Курьякова Т.С.
Иркутск - 2010
Задание 1. Исследование функции
Элементарное исследование:
Область определения функции
очки пересечения с осями координат, промежутки знакопостоянства.
Пересечение с осью ОХ: График не пересекает ось ОХ
Пересечение с осью ОУ: . В точке .
При любых значениях x, следовательно, график функции располагается выше оси ОХ на всей числовой прямой.
Исследование функции на непрерывность:
Следуя из области определения -, график не имеет точек разрыва, т.е. является непрерывным
Асимптоты
Наклонные асимптоты:
Наклонная асимптота или ось ОХ.
Исследование функции на четность-нечетность и периодичность:
;;
Функция является четной, так как , следовательно, ее грфик симметричен относительно оси ОХ.
Функция не является периодической, так как равенство
будет верно только в случае, если T=0
Исследование функции по первой производной ()
Определить точки экстремума
- точка максимума
Экстремум . .
Определить промежутки монотонности
Функция возрастает при .
Функция убывает при .
Исследование функции по второй производной ()
Найдем вторую производную:
Точки перегиба
- точки перегиба.
Получаем точки:
Определим характер выпуклости
Функция выпукла вниз при
Функция выпукла вверх при
Дополнительные точки:
Задание 2. Найти область определения функций, заданных аналитически
координата экстремум функция непрерывность
Уравнение не имеет корней
Уравнение не имеет корней.
Найдём вершину параболы:
Вершина параболы -, ветви направлены вниз, т.е. парабола расположена ниже оси OX
Задание 3
m)
n) Функция возрастает:
o) Функция убывает:
p) Экстремумы: т. максимума
т. минимума
r)
s) Точка минимума x=0
t) Функция ни четная, ни нечетная (общего вида), т.к. её график не симметричен ни относительно оси OX, ни начала координат.
u) Нули функции:,
v)
w)
x)
Задание 4
Так как функция имеет период , то отсчитывая от начала координат через 5 периодов будет соответствовать , и иметь значение
Задание 5
График функции расположен ниже оси OX на промежутке , следовательно, на этом промежутке принимает отрицательные значения, точка является нулём графика функции и точкой экстремума исходной функции.
Следовательно, функция убывает на промежутке . Длина промежутка убывания равна:
