Тихонівський простір

/

Зміст

Вступ

1. - вкладення тихонівських просторів у ширші простори

2. Характеризація лінделефовості тихонівських просторів

3. Характеризація компактності тихонівських просторів

Література

Вступ

тихонівський простір теорема

Вважатимемо, що всі простори є Тихонівськими просторами. Для підпростору простору , говорять, що є - вкладеним (відовідно - вкладеним) в , якщо кожна дійсно значена (відповідно кожна обмежена дійснозначна) неперервна функція на може може бути неперервним продовженням на . Говорять, що підпростір простору є - вкладеним в , якщо для кожної функціонально замкненої множини в існує функціонально замкнена множина в така, що . Зрозуміло що з - вкладеності випливає - вкладеність, а з останнього випливає - вкладеність. Добре відомо, що існує декілька результатів про - вкладеність, які тісно пов'язують її з або - вкладеністю та іншими властивостями продовження (див [1]). Згадаємо наступну теорему, яка описує так звані абсолютні - вкладення або абсолютні - вкладення. Говорять, що тихонівський простір є майже компактним, якщо , де означає модифікацію Стоуна-Чеха простору .

Дана робота присвячена перекладу і методичному опрацюванню результатів роботи [19].

1. - вкладення тихонівських просторів у ширші простори

Теорема 1. (Досс [9]), Гьюітт [14], Смірнов [16]: див також [1], [11]). Тихонівський простір є абсолютно (або рівносильно, ) вкладеним в кожний більший тихонівський простір тоді і тільки тоді, коли є майже компактним.

Що стосується - вкладення, нагадаймо наступний результат, який належить Джерісону (див [13, Лемма 5,3.] або [1, теорема 7,8]).

Теорема 2. (Джерісона). Якщо є лінделефовим підпростором тихоновського простору ,тоді є - вкладеним в .

Відповідно до теореми 1 наступний результат, що характеризує так звані абсолютні - вкладення, встановлений Блером [7], Блером-Гагером [8] I Гагером -Джонсоном [12] частини ” тоді ” випливає безпосередньо з теореми 1 і 2.

Теорема 3. (Блер [7], Блер-Гагер [8], Гагер-Джонсон [12]). Тихонівський простір є - вкладеним у кожний більший тихонівський простір, тоді і тільки тоді, коли є майже компактом або лінделефовим.

Доведення частини «тільки тоді»: теореми 3 подане у [7], [8] і [12] і отримується з допомогою наслідків, які мають самостійний інтерес , і які стосуються повних за Г'юітом просторів або кільця неперервних функцій. В цій роботі ми подаємо альтернативне і просте доведення цієї теореми, яке використовує лише наступний добре відомий факт: тихонівський простір є лінделефовим тоді і тільки тоді, коли для кожного компактного підпростору простору з існує функціонально замкнена множина у просторі така, що (див [10,3.12.25(в)]). Іншу термінологію можна знайти в [1], [10] і [11].

Доведення частини «тільки тоді теореми 3».

Припустимо, що є - вкладеним у кожний більший тихонівський простір. Припустимо що не є майже компактним. Ми покажемо, що є лінделефовим. Нехай компактний підпростір з .

Твердження. Для кожного існує відкритий окіл точки в просторі і функціонально замкнена множина в посторі такі,що .

Доведення твердження.

Нехай оскільки , то візьмемо точку . Нехай неперервна функція, яка задовільняє умови і . Нехай фактор простір який отримується з простору шляхом ототожнення всіх точок з множини з однією такою точкою , яке буде фактор відображенням. Оскільки є функціонально замкненою множиною в просторі , а - вкладений в , то існує функціонально замкнена множина в просторі така, що . Тоді . Справді, якщо , то , що приводить до суперечності. Покладемо і . Це ті множини, що нам потрібні. Це факт і показує вірність даного твердження.

На завершення, для деякої скінченної послідовності з покладемо . Тоді є функціонально замкненою множиною в просторі і . Отже є лінделефовим простором. Це і завершує доведення.

2. Характеризація лінделефовості тихонівських просторів

Ми застосуємо нашу техніку у вище наведеному доведенню, щоб навести просте доведення теореми, яка нещодавно була доведена Белломі Ященко [6], їх доведення довге і складне.

Теорема 4. (Белла-Ященко [6]). Для тихоновського простору наступні твердження рівносильні:

1) якщо тихонівський простір містить дві замкнені множини і , що неперетинаються, то ці множини можна відокремити в відкритими множинами;

2) є лінделефовим.

Дивись [3] для мотивації теореми 4, яка буде сформульована нижче. Нагадаймо що підмножини та топологічного простору називаються відокремними, якщо .

(*) Якщо тихонівський простір містить дві копії і простору , які є відокремними підмножинами, то ці копії можуть бути відокремленими в просторі функціонально замкненими множинами.

Доведення теореми 4. (1) (2).

Припустимо (1). Спочатку ми доведемо що (*) має місце. Нехай і копії простору і припустимо, що віни є відокремними підмножинами тихоновського простору . Вкладемо простір в тихоновський куб. Крім того, вкладемо в добуток , як підпростір і позначемо підпростір через . Оскільки є щільною підмножиною простору то ці відкриті множини можуть бути продовжені до відкритих множин і , що не перетинаються, в просторі . Оскільки є тихоновським кубом, то вівдомо, що і можуть бути відокремлені за допомогою функціонально замкнених множин і в (для цього потрібно застосувати [15, теорема 2] і [17, теорема 2]. Тоді звідси випливає, що , при Звідси випливає, що і можуть відокремлюватися функціонально замкненими множинами в просторі точніше (*) має місце.

Тепер ми доведемо, що є лінделефовим. Нехай компактний підпростір простору і нехай . Позначемо множину в через при . Нехай фактор простору який одержується з простору ототожненням всіх точок множини однією точкою, а -- фактор відображеня. Оскільки і є відокремленими підмножинами в , то згідно з (*) існують функціонально замкнені множини, що не перетинаються, і і в просторі такі що при . Можна припустити, що . Тоді і є функціонально замкненою множиною в . Отже (а значить і ) є лінелефовим. Імплікація є очевидною.

Слід зазначити в теоремі 1 (відповідно теоремі 3), що може також бути або (відповідно ) вкладеним в кожний тихонівський простір, в якому є вкладеним, як замкнена підмножина ([4], [14], [16]). Так само, як може бути доведена аналогічна властивість(*).

Яджіма подав деякі узагальнення теореми 4 і характеризації паракомпактності [18].

3. Характеризація компактності тихонівських просторів

Далі наведемо деякі результати, що стосуються теореми 4. При цьому використовується техніка побудови допоміжного простору, визначеного деякими просторами і тихоновським розширенням, що є популярним в теорії відносних топологічних властивостей .

Теорема 5. Для тихоновського простору твердження є рівносильними:

1) якщо тихонівський простір містить дві замкнені копії і простору що не перетинаються, то ці копії можуть бути повністю відокремними в просторі ;

2) є компактом.

Доведення: . Припустимо згідно з теоремою 4 є лінделефовим. Достатньо показати, що кожна замкнена дискретна множина в просторі є скінченною. Щоб довести цей факт, припустимо протилежне і нехай замкнена дискретна множина, що складається з різних точок. Нехай і позначимо множини в просторі через при . Нехай тихоновське розширення. Нехай і позначимо правий край , простору через , а верхній край постору , через при . Для визначимо відображення наступним чином . Розглянемо просторове об'єднання . (див. [10, с.93]). Означимо відображення наступним чином . Нехай простір об'єднання . Оскільки є тихоновським простором і та замкнені підмножини в просторі , то згідно з припущенням та є відокремними в просторі С. Це приводить до суперечності.

Імплікація є очевидною.

Теорема 6. Для тихоновського простору твердження рівносильні:

1) якщо тихонівський простір містить копію простору і замкнену підмножину , що не перетинається, то і можуть бути цілком відокремленими в просторі ;

2) якщо тихонівський простір містить замкнену копію простору і замкнену підмножину , що не перетинаються, то і можуть бути відокремленими в відкритими множинами;

3) є компактним.

Наступні імплікації доведені також:

доведено Блером-Гагером [8, твердження 4.3]

доведено Аулемом [5, теорема 1(в]).

Теорема 7 (Блер-Гагер [8], Аул [5]). Для тихоновського простору справедливі такі твердження:

1) якщо тихонівський простір містить копію, простору і функціонально замкнену множину , що не перетинаються то і можуть бути цілком відкритими в .

2) якщо тихонівський простір містить замкнену копію простору і функціонально замкнену множину , що не перетинаються то то і можуть бути відкритими в множинами.

3) є псевдокомпактом.

Доведення .

Імплікацяі є очевидною.

. Пропустимо що виконується і припустимо що не є псевдокомпактом. Нехай є додатна, необмежена, неперервна функція. Тоді, існує замкнена дискретна підмножина в просторі така, що для кожного . Розглянемо простір-об'єднаня де площина Тихонова і є відображенням, визначене наступним чином: при . Тоді зауважимо, що верхній край простору є функціонально замкненою множиною в просторі . Справді визначимо неперервну функцію наступним чином: , якщо ; , якщо , , якщо . Оскільки верхній край простору дорівнює , то умова призводить до суперечності.

Згідно з [наслідком 3.6] (див також [1]) простір простору є - вкладеним в тоді і тільки тоді, коли - вкладеним і добре вкладеним в , якщо будь-яка функціонально земкнена множина в посторі , яка не перетинється з і може бути цілком відкритою в відносно , слід відзначити що з теореми 3 і 7 випливає теорема 1.

Література

[1]. Alo R.A., Shapiro H.L., Normal Topological Spaces. Comment University press. Cambridge. 1974.

[2]. Arhangel'skii A.V., Relative topological properties and relative topological spaces, Topology Appl. 70 (1996). 87-89.

[3]. Arhangel'skii A.V., Tartir J., A characterization of compactness by relative separation property. Questions Answers Ger. Topological 14 (1996), 49-52.

[4]. Aull C.E., Some embeddings to - embeddings, J. Austral. Math. Soc. (Series A) 44 (1998). 88-104.

[5]. Aull C.E., On well-embeddings, General Topological and Applications (Middletown, CT, 1998), pp. 1-5: Lecture Notes in Pure and Appl. Math., 123, Dekker, New York.

[6]. Bella A., Yaschenco I.V. Lindelцf property and absolute embeddings, Proc. Amer. Math. Soc. 127 (1999), 907-913.

[7]. Brail R.L., On -embeddings sets in topological spaces, TOPO 72-- General Topology and its Applications (Proc. Second Pittsburgh Internat. Conf., Pittsburgh, Pa., 1972; dedicated to the memory of Johannes H. de Groot). pp. 46-79; Lecture Notes in Math., Vol. 378, Springer. Berlin. 1974.

[8]. Brail R.L., Hager A.,W., Extensions of zero-sets and of real-valued functions, Math. Z. 136 (1974), 41-52.

[9]. Doss R.L., On uniform spaces with a unique structure, Amer. J. Math. 71 (1949), 19-23.

[10]. Engelking R., General Topology, Heldermann Verlag Berlin, 1989.

[11]. Gillman L. Jerison M., Rings of Continuous Functions, Van Nostrand, Princeton, 1960.

[12]. Hager A., W., Johnson D.G., A note on certain subalgebras of , Canad. Math. 20 (1968), 389-393.

[13]. Henriksen M., Johnson D. G., A note structure of a class of archimedian lattice-ordered algebras. Fund. Math. 50 (1961), 73-94.

[14]. Hewitt E., A note on extensions of continuous functions, An. Acad. Brazil. Ci. 21 (1949), 175-179.

[15]. Noble N., - embedded subsets of product, Proc. Amer. Math. Soc. 31 (1972), 613-614/

[16]. Smirnov Y., Mappings of systems of open sets (in Russian), Mat. Sb. 31 (1952), 152-166.

[17]. Teraga T., Note on -, -, and - embedding, Sci. Rep. Tokyo Kyoiku Daigaku Sect. A. 13 (1975), 129-132.

[18]. XXX Characterizations of paracompactness and Lindelцfness by separation property, preprint.

[19]. Yamasaki K. A proof the Blair-Hager-Johnson theorem on absolute - embedding. Comment.Math.Univ.Varoline 43, 1 (2002) p.175-179