Теорія і практика обчислення визначників

/

ТЕОРІЯ І ПРАКТИКА ОБЧИСЛЕННЯ ВИЗНАЧНИКІВ

1. Основні поняття і теореми

Def. Нехай задано квадратну матрицю А n-го порядку з елементами a_ij, де i визначає номер рядка, j - номер стовпця і при цьому через х_j позначені стовпці матриці А, тобто

і .

Визначником (det A) квадратної матриці А зі стовпцями х_j називається функціонал (х₁, х₂, … , х_n) щодо стовпців цієї матриці, який:

а) лінійний за кожним з аргументів (полілінійний):

теорема обчислення визначник сума

(х₁, …, х_i1 + х_i2, … , х_n) = (х₁, … , х_i1, … , х_n) + (х₁, … , х_i2, … , х_n);

б) абсолютно антисиметричний (антисиметричний по будь-якій парі аргументів): (х₁, … , х_i, … , х_j, … , х_n) = -(х₁, … , х_j, … , х_i, … , х_n);

в) підкоряється умові нормування:

.

Тоді, з огляду на загальний вигляд полілінійного антисиметричного функціонала, маємо:

а б

Рис. 1

, (1)

де N(j₁ j₂ … j_n) - кількість безладів у перестановці .

Говорять, що в перестановці мається безлад, якщо j_k > j_m і k < m.

З формули (1) для визначника другого порядку одержуємо .

Визначник третього порядку дорівнює сумі шести (3! = 6) доданків. Для побудови цих доданків зручно скористатися правилом трикутників. Добуток елементів, що розташовані на головній діагоналі, а також добутки елементів, що є вершинами двох трикутників на рис. 1а, беруться з множником +1, а добуток елементів, що розташовані на побічній діагоналі, а також добутки елементів, що є вершинами двох трикутників на мал. 1б, беруться з множником -1, тобто

Властивості визначників:

1. det A = det A^T. З цієї властивості випливає, що рядки і стовпці визначника рівноправні. У силу цього всі властивості, сформульовані для стовпців, можуть бути сформульовані і для рядків визначника.

2. Якщо один зі стовпців визначника складається з нульових елементів, то визначник дорівнює нулю.

3. Загальний множник у стовпці визначника можна виносити за знак визначника.

4. Якщо у визначнику поміняти два стовпці місцями, то визначник змінить знак.

5. Визначник, що має два рівних стовпці, дорівнює нулю.

6. Якщо стовпці визначника лінійно залежні, то визначник дорівнює нулю.

7. .

8. Визначник не зміниться, якщо до стовпця визначника додати лінійну комбінацію інших стовпців.

9. Визначник добутку двох квадратних матриць n-го порядку дорівнює добуткові визначників цих матриць.

Def. Якщо в матриці А порядку n викреслити i-й рядок та j-й стовпець, то елементи, що залишилися, утворять матрицю (n - 1)-го порядку. Її визначник називається мінором (n - 1)-го порядку, додатковим до елемента a_ij матриці А, і позначається М_ij, а величина А_ij = (-1) ^{i + j} М_ij називається алгебраїчним доповненням до елемента a_ij матриці А.

10. (Розкриття визначника за елементами j-го стовпця та за елементами i-го рядка).

11.

12. (Теорема Лапласа).

.

Тут - мінор, складений з елементів матриці А, що розташовані на перетині рядків i₁, i₂, …, i_k і стовпців j₁, j₂, …, j_k, а - алгебраїчне доповнення до цього мінора.

13. (Про зміну елементів визначника).

Якщо , а , то .

3. Приклади розв'язування задач

Задача 1. Обчислити визначник: .

Розв'язання. I спосіб. Обчислимо визначник розкладанням за елементами (наприклад) третього рядка (властивість 10є):

.

Визначники третього порядку, що входять до останнього виразу, обчислені за правилом трикутників.

II спосіб. Обчислимо визначник розкладанням за мінорами 2-го порядку (наприклад тими, що розташовані в 1-му і 2-му рядках вихідного визначника, властивість 12є). Усього таких мінорів буде шість (1-й, 2-й стовпці; 1-й, 3-й стовпці; 1-й, 4-й стовпці; 2-й, 3-й стовпці; 2-й, 4-й стовпці; 3-й, 4-й стовпці). Одержимо:

.

III спосіб. Обчислимо визначник методом приведення визначника до трикутного вигляду. Для цього скористаємося властивістю 8.

а) 1-й рядок додамо до 3-го рядка;

б) 1-й рядок, помножений на (-2), додамо до 4-го рядка.

При цьому визначник не зміниться.

Далі: в) від 1-го рядка віднімемо 2-й рядок;

г) 2-й рядок, помножений на 3, додамо до 4-го рядка, помноженого на 2. При цьому визначник збільшиться вдвічі за рахунок множення 4-го рядка на 2.

;

д) в останньому визначнику 3-ій рядок помножимо на 2 і додамо до 4-го рядка. Визначник не зміниться. Одержимо:

.

Визначник матриці трикутного вигляду обчислюється як добуток діагональних елементів. Доходимо висновку, що вихідний визначник дорівнює -3.

Задача 2. Обчислити визначник: .

Рішення. Для обчислення визначника скористаємося методом виділення лінійних множників. Насамперед відзначимо, що вихідний визначник є багаточленом 4-го степеня відносно х. Крім того, при х = 2 перший і другий рядки співпадають, тобто визначник дорівнює нулеві. Отже, х = 2 є коренем багаточлена. Далі зауважуємо, що при х = 6, х = 12, х = 20 перший рядок співпадає з третім, четвертим і п'ятим рядком відповідно. Виходить, ми встановили всі чотири корені полінома, тобто

det А= C(x - 2)(x - 6)(x - 12)(x - 20).

Для знаходження C відзначимо, що у визначник множник х⁴ входить з коефіцієнтом, який дорівнює 1/24, а в багаточлен, що стоїть в правій частині, - з коефіцієнтом який дорівнює 1. Тоді C = 1/24. У такий спосіб:

det А = (x - 2)(x - 6)(x - 12)(x - 20).

Задача 3. Обчислити визначник: .

Рішення. Зрозуміло, що вихідний визначник можна одержати, якщо до всіх елементів визначника додати х = 4. Тоді скористаємося методом зміни елементів визначника (властивість 13). Одержуємо:

.

Визначник діагонального вигляду дорівнює добуткові діагональних елементів (5! = 120). Алгебраїчні доповнення дорівнюють: А₁₁ = 5! = 120;

А₂₂ = 3^.4^.5 = 60; А₃₃ = 2^.4^.5 = 40; А₄₄ = 2^.3^.5 = 30 і А₅₅ = 2^.3^.4 = 24.

Решта А_ij = 0. Одержуємо: det А = 120 + 4(120 + 60 + 40 + 30 + 24) = 120 + 4^.274 = 1216.

Задача 4. Обчислити визначник n-го порядку .

Рішення. Розкриємо визначник за елементами 1-го рядка:

,

а останній визначник розкриємо за елементами 1-го стовпця. Одержуємо:

_n = 5_{n - 1} - 4_{n - 2}. (*)

Записане співвідношення називається рекурентним співвідношенням і дозволяє виразити _n через такі ж визначники більш низького порядку.

З (*) одержуємо:

_n - _{n - 1} = 4(_{n - 1} - _{n - 2}) = 4²(_{n - 2} - _{n - 3}) = … = 4^{n - 2} (₂ - ₁) =

= 4^{n - 2} (21 - 5) = 4ⁿ .

_n - 4_{n - 1} = _{n- 1} - 4_{n - 2} = _{n- 2} - 4_{n - 3} = … = ₂ - 4₁ = 21 - 4^.5 = 1.

Маємо систему рівнянь: . Віднімаючи з 1-го рівняння 2-е, одержуємо: 3_{n - 1} = 4ⁿ - 1. У такий спосіб: .

4. Задачі і вправи для самостійного розв'язування

1. Визначити число безладів у перестановках (за вихідне розташування завжди, якщо немає особливих вказівок, приймається розташування 1, 2, 3, ... у зростаючому порядку):

а) 2, 1, 5, 4, 3; б) 6, 3, 2, 5, 1, 4; в) 7, 5, 6, 4, 1, 3, 2;

г) 2, 1, 7, 9, 8, 6, 3, 5, 4; д) 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1.

а) 4; б) 10; в) 18; г) 18; д) 36. ^

2. З'ясувати, які з наведених нижче добутків входять у визначники відповідних порядків і, якщо входять, то з яким знаком:

а) а₄₃а₂₁а₃₅а₁₂а₅₄; б) а₁₃а₂₄а₂₃а₄₁а₅₅;

в) а₆₁а₂₃а₄₅а₃₆а₁₂а₅₄; г) а₃₂а₄₃а₁₄а₅₁а₆₆а₂₅;

д) а₂₇а₃₆а₅₁а₇₄а₂₅а₄₃а₆₂; е) а₃₃а₁₆а₇₂а₂₇а₅₅а₆₁а₄₄;

ж) а₁₂а₂₃а₃₄ …а_{n-1 n} а₂₅а_kk (1 k n); з) а₁₂а₂₃а₃₄ …а_n-1nа_n1n.

а) -; б) не входить у визначник; в) +; г) +; д) не входить у визначник; е) +; ж) не входить у визначник; з) (-1)ⁿ. ^

3. Вибрати значення i і k так, щоб наступні добутки входили у визначники відповідного порядку із зазначеним знаком:

а) а_1iа₃₂а_4kа₂₅а₅₃ з « + »; б) а₆₂а_i5а₃₃а_k4а₄₆а₂₁ з « - »;

в) а₄₇а₆₃а_1iа₅₅а_7kа₂₄а₃₁ з « + ».

а) i = 1, k = 4; б) i = 5, k = 1; в) i = 6, k = 2. ^

4. Користуючись тільки визначенням, знайти члени визначників, які мають у собі множники х⁴ і х³:

а) ; б) .

а) 2х⁴, -х³; б) 10х⁴, -5х³. ^

5. Знайти члени визначника 4-го порядку а) що містять елемент а₃₂ і входять у визначник зі знаком « + »; б) що містять елемент а₂₃ і входять у визначник зі знаком « - ».

а) а₁₁а₂₄а₃₂а₄₃, а₁₃а₂₁а₃₂а₄₄, а₁₄а₂₃а₃₂а₄₁; б) а₁₁а₂₃а₃₂а₄₄, а₁₂а₂₃а₃₄а₄₁, а₁₄а₂₃а₃₁а₄₂. ^

6. Виписати всі члени визначника 5-го порядку, що мають вигляд . Що вийде, якщо з їхньої суми винести а₁₄а₂₃ за дужки?

. ^

7. Як зміниться визначник n-го порядку, якщо всі його стовпці записати в зворотному порядку? Визначник помножиться на (-1)^(n(n-1))/2. ^

8. Не розкриваючи визначників, довести, що:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ; д) .

а) властивості 7, 3; б) властивості 7, 3, 5; в) властивості 7, 3, 5; г) властивість 5;

д) властивість 5. ^

9. Знайти мінори елементів а₁₃, а₂₄, а₄₃ визначника .

М₁₃ = 24; М₂₄ = - 126; М₄₃ = 52. ^

10. Знайти алгебраїчне доповнення елементів а₁₄, а₂₃, а₄₂ визначника

.

А₁₄ = 8; А₂₃ = 0; А₄₂ = - 12. ^

11. Обчислити визначник, розкриваючи його по 3-му рядку .

8a + 15b + 12c - 19d. ^

12. Обчислити визначник, розкриваючи його по 2-му стовпцю: .

5a - 5b - 5c + 5d. ^

13. Обчислити наступні визначники, знижуючи їхній порядок за допомогою розкладання за елементами деякого рядка або стовпця:

а) ; б) ; в) .

а) abcd; б) abcd; в) xyzuv. ^

14. Обчислити наступні визначники 3-го порядку:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

а) 0; б) 6; в) 0; г) -2; д) -27; е) -27. ^

15. Обчислити наступні визначники 3-го порядку:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

а) -7; б) 0; в) -1; г) 4; д) 40; е) -3. ^

16. Обчислити наступні визначники 3-го порядку:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

а) 100; б) -5; в) 1; г) 2; д) 4; е) -8. ^

17. Обчислити наступні визначники 3^-го порядку:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ;

е) .

а) (1 - ³)²; б) abc + x(ab + bc + ac); в) 0; г) -2(x³ + y³); д) 0; е) 0. ^

18. Обчислити наступні визначники 4-го порядку:

а) ; б) ; в) ; г) .

а) -7; б) 0; в) -1; г) -18. ^

19. Обчислити наступні визначники 4-го порядку:

а) ; б) ; в) ; г) .

а) 1; б) -5; в) 0; г) -3. ^

20. Обчислити наступні визначники 4-го порядку:

а) ; б) ;

в) ; г) .

а) 1; б) 48; в) 1; г) . ^

21. Обчислити визначники 4-го порядку:

а) ; б) ; в) ; г) .

а) -8; б) -9; в) -6; г) -10. ^

22. Обчислити визначники 5-го порядку:

а) ; б) . а) 52; б) 5. ^

23. Зведенням до трикутного вигляду обчислити визначники:

а) ; б) ;

в) ; г) .

а) n!; б) 2n + 1; в) хⁿ(а₀ + а₁ + … + а_n); г) . ^

24. Обчислити визначники методом виділення лінійних множників:

а) ; б) ;

в) ; г) .

а) (х - 1)(х - 2)…(х - n +1); б) (x - a - b - c)(x - a + b + c)(x + a - b + c)(x + a + b - c);

в) (х² - 1)(х² - 4); г) x²z², вказівка: визначник не зміниться, якщо 1-й стовпець поміняти місцями з 2-м стовпцем і одночасно 1-й рядок із 2-м рядком; при х = 0 визначник дорівнює 0, аналогічно по z. ^

25. Розв'язати рівняння:

а) ; б) ;

в) ; г) (х R).

а) х_i = a_i, i = 1, 2, … , n - 1; б) х_i = a_i, i = 1, 2, … , n; в) х = 0, 1, 2, … , n - 1; г) x = 1. ^

26. Використовуючи метод рекурентних співвідношень, обчислити визначники: а) ; б) ; в) .

а) ; б) 2^{n + 1} - 1; в) . ^

27. Обчислити визначники методом представлення їх у вигляді суми визначників:

а) ; б) .

? а) хⁿ + (а₁ + а₂ + ^… + а_n)х^{n - 1}; б) вказівка: x_i (x_i - a_i + a_i),

. ^

28. Обчислити визначники методом зміни елементів визначника:

а) ; б) .

? а) ; б) . ^

29. Обчислити визначники n-го порядку:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

? а) 1; б) 3ⁿ; в) 1; г) хⁿ; д) 1 - n; е) (-2)^{n -1}(5n - 2). ^

30. Обчислити визначники n-го порядку:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

? а) (-2)^{n -2}(1 - n); б) n + 1; в) (-1)^{n -1}(n - 1); г) 1; д) (1 - (-1)ⁿ)/2, вказівка:

_n = 1- _{n -1}; е) 0, якщо n = 2k +1; (-1)^n/2, якщо n = 2k, k Z; вказівка: _n = - _{n - 2}. ^

31. Обчислити визначники n-го порядку:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) .

? а) (b₁ - а₁) (b₂ - а₂) … (b_n - а_n); б) (n - 1)!; в) (-1)^{n - 1.} n!; г) 0;

д) (-1)^{(n(n -1))/2}n^n-1(n + 1)/2; е) ^