Теория вероятностей и математическая статистика

Факультет дизайна и компьютерных технологий

Кафедра компьютерных технологий

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По дисциплине

«Математика»

По теме: «Теория вероятностей и математическая статистика»

Выполнил: студент

гр. зДиКТ 24-10

Николаев В.В.

Проверила: ассист.

Андреева Л.Н.

Чебоксары 2012

Задание № 1

Два брата входят в состав двух спортивных команд, состоящих из 12 человек каждая. В двух урнах имеется по 12 билетов с номерами от 1 до 12. Члены каждой команды вынимают наудачу по одному билету из определенной урны (без возвращения). Найти вероятность того, что оба брата вытащат билет номер 6.

Решение:

Т.к. в команде по 16 человек, то

Вероятность того, что первый брат взял билет №6: P1 = 1/12. 

Вероятность того, что второй брат взял билет №6: P1 = 1/12. 

Вероятность того, что у обоих братьев окажется 6-ой номер:Р=P1 * P2 = (1/12) * (1/12) = 1/144. 

Ответ: Р=1/144.

Задание № 2

Дискретная величина X может принимать только два значения x1 и x2, причем x1< x2. Известна вероятность р1 возможного значения x1, математическое ожидание М(Х) и дисперсия D(x). Найти закон распределения этой случайной величины.

Решение:

Т.к. по условию случайная величина может принимать только два значения, то р2=1-р1=1-0,2=0,8.

Подставим известные значения

И получим систему уравнений:

Выразим

Тогда получим:

Раскрываем скобки, умножаем обе части выражения на 0,2 и переносим все в левую часть выражения. Получим:

Получили квадратное уравнение относительно х2.

, тогда 3

, тогда

Т.к. по условию x1 < x2 , получаем закон распределения дискретной случайной величины.

Ответ: 

Задание № 3

Найти p5(4) если p= 0,6 + N x 0,01. N=10

Решение:

p=0.6+10*0.01=0.6+0.1=0.7. Т.о. Q=1-p=1-0.7=0.3.

n=5,k=4.

По локальной теореме Муавра-Лапласа получим:

Вычислим значение .

По таблице находим .

Т.о. искомая вероятность

Ответ: р5(4)=0,34527.

Задание № 4

Вероятность того, что наудачу взятое изделие отвечает стандарту, равна 0,9. Найти вероятность того, что из 500+10хN проверенных изделий стандартными окажутся: а) ровно 470 + 10хN изделий, б) не более 470+10хN и не менее 395 +10хN изделий, в) не более 394 + 10хN изделий. N=10.

Т.о. нужно решить задачу:

Вероятность того, что наудачу взятое изделие отвечает стандарту, равна 0,9.

Найти вероятность того, что из 600 проверенных изделий стандартными окажутся:

а) ровно 570 изделий,

б) не более 570 и не менее 495 изделий,

в) не более 494

Решение:

n=600, p=0.9, q=1-p=0.1.

а) Так как n=600 достаточно велико (условие ), то применяем локальную формулу Муавра-Лапласа.

Вначале определим .

.

б) Используем интегральную теорему Муавра - Лапласа. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что число m наступления события А в n независимых испытаниях заключено в пределах от a до b, при достаточно большом числе т приближенно равна

, где - функция Лапласа;

,

- нечетная функция.

Найдем: ,

Получим .

в) Необходимо найти .

Найдем : , .

Ответ: а) р=0; б) р=0,9998; в) р=0.

Задание № 5

Дана функция распределения случайной величины

Построить график функции распределения случайной величины и найти плотность распределения f(x), математическое ожидание М(Х) и дисперсия D(x). N=10

Решение:

Т.о. функция имеет вид:

Построим график функции:

вероятность случайная величина распределение

Найдем плотность распределения:

Вычислим математическое ожидание

Вычислим дисперсию случайной величины Х - D(Х):

Ответ:

плотность распределения:

Математическое ожидание M(X)=0.5

Дисперсия D(X)=1.48

Задание № 6

Найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал (6+2xN; 8+2xN), если Х распределена нормально . N=10

Решение:

Т.о. условие задачи таковы:

Найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал (26; 28), если Х распределена нормально .

Воспользуемся формулой

,

где - плотность нормального распределения и

- Функция Лапласа - табулированная функция.

.

Ответ: Вероятность попадания равна 0.