Теория вероятностей

/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Бузулукский гуманитарно-технологический институт (филиал) государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования

«Оренбургский государственный университет»

Факультет заочного обучения

Кафедра физики, информатики, математики

Контрольная работа

по дисциплине Математика

Руководитель работы:

Шабалина Л.Г.

Исполнитель:

Студент з-09 ПГС группы

Сушков Е.А.

Бузулук 2010

Задание 1

1. Рабочий обслуживает три станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа 1-й станок не потребует внимания рабочего, равна 0,9; для второго - 0,8; для третьего - 0,85.

Какова вероятность того, что в течение часа:

а) ни один станок не потребует внимания рабочего;

б) все три станка потребуют внимания рабочего;

в) какой-нибудь один станок потребует внимания рабочего;

г) хотя бы один станок потребует внимания рабочего?

Решение: I II III

P 0, 9 0, 8 0, 85

а) А (i =1,2,3) - не потребует внимания станок в течение часа

В - событие, где все 3 станка не потребуют внимания рабочего в течение часа

Р (В) = Р (А1 Ч А2 Ч А3) = Р(А1) Ч Р(А2) Ч Р(А3) = 0,9 Ч 0,8 Ч 0,85 = 0,612

б) А (i =1,2,3) - не потребует i-й внимания станок

? (i =1,2,3) - потребует i-й внимания станок, независимое событие

Р (? 1) = 1 - 0,9 = 0,1

Р (? 2) = 1 - 0,8 = 0,2

Р (? 3) = 1 - 0,85 = 0,15

Р (? 1 Ч ? 2 Ч ? 3) = (0,1 Ч 0,2 Ч 0,15) = 0,003

в) ? 1 = 0,1; ? 2 = 0,2; ? 3 = 0,85

Аi - один станок потребует внимания рабочего в течение часа

Р (В) = Р (А1 Ч ? 2 Ч А3 + ? 1 Ч А2 Ч А3 + А1 Ч А2 Ч ? 3) = (0,9Ч 0,2 Ч 0,85 + 0,1 Ч 0,8 Ч 0,85 + 0,9 Ч 0,8 Ч 0,15) = 0,329

г) Найдём вероятность через противоположное событие, т.е. ни один станок не потребует внимания рабочего в течение часа

Р (А1 Ч А2 Ч А3) = Р (А1) Ч Р (А2) Ч Р (А3) = 0,9 Ч 0,8 Ч 0,85 = 0,612

Р ( С) = 1 - 0,612 = 0,388

Ответ: а) вероятность равна 0,612, что в течение часа ни один станок не потребует внимания рабочего; б) вероятность равна 0,003, что в течение часа все три станка потребуют внимания рабочего; в) вероятность равна 0,329, что в течение часа какой-нибудь один станок потребует внимания рабочего; г) вероятность равна 0,388, что в течение часа хотя бы один станок потребует внимания рабочего.

Задание 2

Ящик содержит 10 деталей, среди которых 3 стандартные. Найти вероятность того, что среди отобранных 5 деталей окажутся: а) только 2 стандартные детали; б) все детали нестандартные; в) все детали стандартные; г) хотя бы одна деталь стандартная.

Решение:

а) число способов, где взяли 5 деталей из 10 детали, можно подсчитать по формуле:

С2 - число способов, где взяли 2 стандартные детали из 3-х нестандартных

С3 - число способов, где взяли 3 стандартные детали из 7-ми нестандартных

С5 - всего способов, где взяли 5 стандартных деталей из 10-ти

С2 =__3!___ = 3 С3 = __7!___ = 35 С5 = __10!___ = 252

2! Ч 1! 3! Ч 4! 5! Ч 5!

С3 Ч С7 = 3 Ч 35 = 0,417

С5 252

б) С7 - число способов выбора, где взяли 5 деталей из 7-ми

С5 = __7!__ = 21

5! Ч 2!

Число выбора деталей считается в сочетании С5 = 1

С7 - число способов, где взяли 5 деталей из 7-ми

С10 - всего способов, где взяли 5 деталей из 10-ти

Искомая вероятность Р ( Д):

Р (Д) = С7 Ч С3 = 21 Ч 1 = 0,083

С10 252

в) Событие, где взяли 5 стандартных деталей из 3-х стандартных деталей невозможно. Вероятность равна нулю.

г) Найдём искомую вероятность через противоположное событие:

С7 - число способов, где взяли 5 нестандартных деталей из 7-ми

С3 - число способов выбора из 3-х

С10 - всего способов, где взяли 5 деталей из 10-ти

С7 Ч С3 = 0,083 - искомая вероятность равна результату под пунктом б). С10

Ответ: а) Если среди отобранных 5 деталей окажутся только 2 стандартные детали, то вероятность равна 0,417; б) если среди отобранных 5 деталей окажутся все детали нестандартные, то вероятность равна 0,083; в) если среди отобранных 5 деталей окажутся все детали стандартные, то вероятность равна 0; г) если среди отобранных 5 деталей окажется, хотя бы одна деталь стандартная, то вероятность равна 0,083.

Задание 3

Имеется 2 ящика изделий, причем в одном ящике все изделия доброкачественны, а во втором - только половина. Изделие, взятое наудачу из выбранного ящика, оказалось доброкачественным. На сколько отличаются вероятности того, что изделие принадлежит первому и второму ящику, если количество изделий в ящиках одинаково?

Решение: I ящик II ящик

Доброкачественные 50 Ч 50 изделия Н1 - взяли из I ящика с доброкачественными изделиями, то Р ( Н1) = 0,5

Н2 - взяли из II ящика, то Р ( Н2) = 0,5

Событие А, где взяли доброкачественную деталь, Р ( А ? Н1) = 1

Событие А ? Н1 - доброкачественная деталь из I ящика

Событие А ? Н2 - из II ящика, Р ( А ? Н2) = 0,5

Тогда искомая вероятность Р ( А ) =Р ( Н1 ) Ч Р ( А ? Н1 ) + Р ( Н2 ) Ч Р (А ? Н2)

Р ( А) = 0,5 Ч 1 + 0,5 Ч 0,5 = 0,5 + 0,25 = 0,75

Р ( Н1 ) Ч Р ( А ? Н1 ) ? Р ( Н2 ) Ч Р ( А ? Н2)

Ответ: Если изделие принадлежит первому и второму ящику, и количество изделий в ящиках одинаково, то вероятности отличаются на 0,75.

Задание 4

В ящике находятся изделия, сделанные на трех станках: 20 - на первом станке, 18 - на втором и 14 - на третьем. Вероятности того, что изделия, изготовленные на первом, втором и третьем станках, отличного качества, соответственно, равны 0,7; 0,85; 0,9. Взятое наудачу изделие оказалось отличного качества. Какова вероятность того, что оно изготовлено на втором станке?

Решение: I II III

20 18 14

0,7 0,85 0,9

Р ( А ? Н1 ) = 0,7 Р ( А ? Н2 ) = 0,85 Р ( А ? Н3 ) = 0,9

Р ( А) = 0,7 Ч 0,85 Ч 0,9 = 0,536

А - взятое изделие отличного качества из II станка

Искомая вероятность равна:

Р ( Н2 ? А ) = ________ Р ( Н2 ) Ч Р ( А ? Н2)

Р ( Н1 ) Ч Р ( А ? Н1 ) + Р ( Н2 ) Ч Р ( А ? Н2 ) + Р ( А ? Н3)

Где Н1, Н2, Н3 - соответственно изготовлено изделий на станках I, II и III.

Р ( А ? Н1) = 0,7 - вероятность отличной детали I станка

Р ( А ? Н2) = 0,85 - вероятность отличной детали II станка

Р ( А ? Н3) = 0,9 - вероятность отличной детали III станка

Р ( Н2 ? А) = ________ 0,346 Ч 0,85 ______________ = 0,294 = 0,365

0,385 Ч 0,7 + 0,346 Ч 0,85 + 0,269 Ч 0,9 0,806

Ответ: Вероятность равна 0,365, что взятое наудачу изделие оказалось отличного качества изготовлено на втором станке.

Задание 5

Найти вероятность того, что событие А произойдет не менее 2 раз в 4 независимых испытаниях, если вероятность наступления события А в одном испытании равна 0,6.

Решение:

Событие А произойдёт не менее 2-х раз в 4 независимых испытаниях

Р ( А ) = р Р ( А) = Сm Ч рm Ч qn - m

Р = 0,6

q = 1 - р = 1 - 0,6 = 0,4

- вероятность противоположного события. Нет наступления события А в 1-ом испытании.

Найдём произведение npq и определим формулу вычисления:

вероятность случайный величина интегральный

n = 4 npq = 4 Ч 0,6 Ч 0,4 = 0,96

Можно использовать формулу Бернули:

Р ( А) = С2 Ч p2 Ч q2 + С3 Ч р3 Ч q1 + С4 Ч р4 Ч q0

Найдём через противоположное событие:

Р ( А) = 1 - С0 Ч p0 Ч q4 + С1 Ч p1 Ч q3 = 1 - 1 Ч 1 Ч (0,4)4 + 4 Ч 0,6 Ч (0,4)3 = 1 - 0,0256 + 4 Ч 0,6 Ч 0,064 = 0,9744 + 0,1536 = 1,128

С4 = __4!__ = 4

1! Ч 3!

Ответ: Если событие А произойдет не менее 2 раз в 4 независимых испытаниях, то вероятность равна 1,128.

Задание 6

Вероятность того, что пара обуви, наудачу из изготовленной партии, окажется 1-го сорта, равна 0,7. Определить вероятность того, что из 2100 пар, поступающих на контроль, число пар первосортной обуви окажется не менее 1000 и не более 1500.

Решение:

Для решения задачи используем интегральную формулу Муавра - Лапласа.

Вероятность событий Рn (m1 ? m ? m2) = Ф (х2) - Ф (х1)

р = 0,7; n = 2100; m1 = 1000; m2 = 1500; q = 0,3

х1 = _m1 - np_ = 1000 - 2100 Ч 0,7 = 1000 - 1470 = - 470 = - 22,38

v npq v2100 Ч 0,7 Ч 0,3 v441 21

х2 = _m2 - np_ = 1500 - 2100 Ч 0,7 = 1500 - 1470 = _30_ = 1,43

v npq v2100 Ч 0,7 Ч 0,3 v441 21

Ф ( - х) = - Ф (х) Ф (- 22,38) = 0,5 Ф (- 22,38) = 0,4236

Ф (х2) - Ф (х1) = Ф (х2) + Ф (х1) = 0,5 + 0,4236 = 0,9236

Ответ: Если число пар первосортной обуви окажется не менее 1000 и не более 1500, то из 2100 пар, поступающих на контроль, равна вероятности 0,9236.

Задание 7

Случайная величина Х задана интегральной функцией F(x). Требуется: а) найти дифференциальную функцию f(х) (плотность вероятности), б) найти математическое ожидание и дисперсию Х, в) построить графики интегральной и дифференциальной функций, г) вероятность попадания случайной величины Х в интервал .

Решение:

По определению F? (х) = f (х)

0, при х ? 0

f ( х) = х2 , при 0 ? х ? 2

1, при х ? 2

F? ( х ) = 0? = 0 F? ( х ) = ( х2 ч 4 )? = 0,5х F? ( х ) = 1? = 0

в) Построение графиков интегральной и дифференциальной функции.

б) М (Х) = х f (х) dx = 0 dx + х Ч _1_ dx + 0 dx =_ 1_ Ч х3 ч 3 = х3 ч 6 =

2 2 =_ 23_ - _03 = 8 - 0 = 4 = а

6 6 6 3

Д (Х) = (х - _4_)2 f (х) dx = 0 (х - _4)2 f (х) dx + (х - 4)2 1 х dx +

3 3 3 2

+ (х - 4_)2 f (х) dx = (1 х3 - 4 х2 + 8 х) dx = (1_Ч х4 - 4_Ч х3 + 8_Ч х2) =

3 2 3 9 2 3 9

= 1_ Ч 24 - 4 Ч 23 + 8_ Ч 22 = 16 - 32 + 16 = 144 - 128 = 16 = _2_

2 4 3 3 9 2 8 9 9 72 72 9

г) Р ( 1 ? Х ? 2) = F (в) - F (а) 22 Ч 1 - 12 Ч 1 = _1 - _1 = _1_ --

3 4 3 4 9 12 12

вероятность попадания в этот промежуток.

Ответ: М (Х) = _4 = а ; Д (Х) = _2 ; Р ( 1 ? Х ? 2) =_ 1_

3 9 12

Задание 8

Найти вероятность попадания в заданный интервал ( , ) нормально распределенной случайной величины Х, если известны ее математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение .

= 2, = 13, а = 10, = 4.

Решение:

Если случайная величина Х нормально распределена, то она является непрерывной случайной величиной, и М (Х) вычисляется, как: ( + ) ч 2, а Д (Х) вычисляется, как: (-) ч (в-а), и связаны формулой v Д.

Тогда вероятность: Р { Х ? [,] } будет вычисляться по формуле:

Ф ( ( - ) ч ) - Ф ( ( - ) ч ).

М (Х) = ( + ) ч 2 = (2 + 13) ч 2 = 7,5

Д (Х) = ( - )2 ч 12 = 9 ч 12 = 0,75

= v Д = v 0,75 = 0,87 Ч 100 = 87

То искомая вероятность находится по формуле:

Р ( ? Х ? ) = Ф ( ( - ) ч ) - Ф ( ( - ) ч ) = Ф ((13 - 10) ч 4) -

Ф ((2 - 10) ч 4) = Ф (0,75) - Ф (- 2) = Ф (0,75) + Ф (2) = 0,2734 + 0,5 =

=0,773

Где Фх - функция Лапласа, которую находим по таблице.

Ответ: Вероятность попадания в заданный интервал ( , ) нормально распределенной случайной величины Х, равна 0,773.

Задание 9

Найти доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения с надежностью 0,95, если выборочная средняя , объем выборки n и среднее квадратическое отклонение .

= 12, 15, n = 169 = 5

Решение:

Находим доверительные интервалы: х - t г ? а ? х + t г

v n v n

где Ф (t) = Ф (г ч ) > t = (г ч ) = (0,95 ч 5) = 0,19

х - t г = 12,15 - 0,19 Ч 0,95 = 12,15 - 0,01 = 12,14

v n v 169

х + t г = 12,15 + 0,19 Ч 0,95 = 12,15 + 0,01 = 12,16

v n v 169

Ответ: Доверительные интервалы 12,14 ? а ? 12,16.

Литература

1. Севастьянов Б.А., Чистяков В.П, Зубков А.М. Сборник задач по теории вероятностей - М.: Наука, 1980.

2. Шипачев В.С. Высшая математика. М.: Высшая школа, 2004.

3. Чистяков В.П. Курс теории вероятности, М.: 2001.

4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.- М.: Высшая школа, 2003.

5. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.- М.: Высшая школа, 2003.

6. Данко П.Е и др. Высшая математика в упражнениях и задачах (I и II часть).-М, 2005.

7. Богаров П.П., Печинкин А.В. Теория вероятностей. Математическая статистика - М.: 1998.

8. Венцель Е.С. Теория вероятностей - М.: 1962.

9. Солодовников А.С. Теория вероятностей М.: Просвещение, 1978.

10. Виленкин Н.Я., Потапов В.Т. Задачник-практикум по теории вероятности с элементами комбинаторики и математической статистики.

11. Кремер Н.Ш.: «Теория вероятностей и математическая статистика»; М.ЮНИТИ - Дана, 2003.