Теория вероятностей

/

Задача 1

В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй урне 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.

Решение:

Введем обозначения событий: - событие, состоящее в том, что шар, извлеченный из -ой урны оказался белым (). Тогда - событие, состоящее в том, что шар, извлеченный из -ой урны оказался не белым. Так как в 1-ой урне из 10 шаров 8 белые, то (из 10 исходов появлению события благоприятствуют 8), а . Аналогично рассуждая, имеем: и .

Обозначим: - событие, состоящее в том, что после извлечения по одному шару из каждой урны, среди них не оказалось ни одного белого шара, - событие, состоящее в том, что после извлечения по одному шару из каждой урны, среди них оказался один белый шара, - событие, состоящее в том, что после извлечения по одному шару из каждой урны, среди них не оказалось два белых шара.

произойдет тогда и только тогда, когда произойдут события и . Следовательно, =(так как события независимы)= =.

произойдет тогда и только тогда, когда произойдут события и , либо и . Следовательно, =(так как события несовместны)==(так как события независимы)= =.

произойдет тогда и только тогда, когда произойдут события и . Следовательно, =(так как события независимы)= =.

Обозначим: - событие, состоящее в том, что после извлечения из двух (уже извлеченных по одному из каждой урны) шаров, вынутый шар оказался белым. Очевидно,

События (i=1,2,3) образуют полную группу попарно несовместных событий, и по формуле полной вероятности имеем:

- вероятность извлечь белый шар из двух извлеченных по одному из каждой урны шаров.

Задача 2

Случайная величина задана функцией распределения

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины , а также вероятность того, что в результате испытания примет значение: а) меньшее 0,2; б) меньшее 3; в) не меньшее 3; г) не меньшее 5.

Решение:

Плотность распределения случайной величины найдем из условия . Тогда:

Математическое ожидание найдем по формуле:

.

Дисперсию найдем по формуле:

.

Далее

a) ;

б) ;

в) ;

г) .

Задача 3

Построить гистограмму распределения случайной величины по данному распределению выборки.

Определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

Решение:

. Обозначим - середины интервалов (). Имеем

;;;

; ;;

; ; .

Математическое ожидание:

Дисперсия:

.

Среднее квадратическое отклонение: .

Найдем относительные частоты: . Имеем:

; ; ;

; ; ;

;; .

Для построения гистограммы относительных частот составим таблицу:

математическое ожидание дисперсия квадратическое отклонение

Гистограмма относительных частот:

Задача 4

По условию задачи 3 по критерию согласия хи-квадрат при уровне значимости проверить гипотезу о том, что случайная величина имеет распределение Релея. Неизвестный параметр распределения Релея оценить по начальному выборочному моменту второго порядка (Прилож. 4).

Решение:

Распределение Релея задается плотностью:

Функция распределения имеет вид:

В качестве оценки параметра рассмотрим начальный выборочный момент второго порядка. Известно, что математическое ожидание распределения Релея с параметром равно , дисперсия равна . Тогда

и - оценка параметра распределения Релея на основании начального выборочного момента второго порядка. Рассмотрим значения , где - границы интервалов, а

-

функция распределения Релея с параметром .

Составим таблицу:

Значение находим по методичке А.М. Карлова - Приложение 1 (стр.46-48), с учетом того, что F(-x) =1 - F(x).

При уровне значимости б=0,05 и к=9-1-1=7 степенях свободы по таблице критических точек распределения ч2 находим критическое значение: ч2крит(0,05;7)=14,07 (См. Приложение 2 методички А.М.Карлова (стр. 49)).=> ч2набл=1,09 < ч2крит , и гипотеза о распределении генеральной совокупности по закону распределения Релея в соответствии с критерием ч2 (Пирсона) при уровне значимости б=0,05 принимается.

Число степеней свободы k находят из равенства k=s-r-1 , где s - число групп (частичных интервалов) выборки (в нашем случае s=9);r - число параметров предполагаемого распределения, которые оценены по данным выборки (в нашем случае сравниваем с распределением Релея и по выборке оценивали один параметр - ). То есть k=9-1-1=7.

Таким образом, можно считать, что генеральная совокупность, выборка из которой приведена в №3, распределена по закону распределения Релея с параметром .

Литература

1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей., М, Высшая школа, 1998.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика., М, Высшая школа, 1998.

3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике., М, Высшая школа, 1997.

4. Карлов А.М. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие., Калининград, БИЭФ, 1998.