Средства матричного исчисления уравнений и комплексных чисел

/

Контрольная работа по линейной алгебре

Задание 1

Даны комплексные числа и .

1) Вычислить и :

2) Вычислить и :

3) Вычислить и :

4) Вычислить и :

5) Вычислить :

6) Вычислить корни третьей степени из числа :

Найдем модуль и аргумент числа :

Тогда модуль кубических корней будет равен:

А аргументы корней:

Таким образом, корни имеют вид:

Или, вычислив синусы и косинусы, в алгебраическом виде:

Задание 2

Вычислить определитель:

Ответ:

Задание 3

Даны матрицы:

1) Вычислить :

2) Вычислить :

3) Вычислить :

4) Вычислить :

5) Вычислить :

6) Вычислить :

Задание 4

Решить систему уравнений

а) С помощью формул Крамера:

Основной определитель:

Вспомогательные определители:

Тогда решение системы уравнений:

б) Средствами матричного исчисления:

Матричная запись системы имеет вид:

,

где комплексный алгебраический матричный определитель

.

А ее решение:

Найдем обратную матрицу:

Тогда

Задание 5

Найти общее решение системы уравнений

а)

Запишем правую часть системы в виде матрицы, для удобства вычислений переставив предварительно уравнения местами (в обратном порядке). И приведем ее к диагональному виду:

(запись вида означает «от второй строки отнимаем утроенную первую строку»)

Таким образом, общее решение системы:

б)

Как и в предыдущем случае, преобразовываем систему к диагональному виду:

В процессе преобразований одно уравнение оказалось линейно зависимым от остальных. Таким образом, общее решение имеет вид:

Задание 6

Найти разложение вектора по векторам .

Будем искать вектор разложения в виде

Тогда разложение вектора по векторам - это решение системы уравнений:

Решим приведением матрицы к диагональному виду:

Т.е. разложение вектора имеет вид:

Или в виде линейной комбинации: