Решение систем линейных алгебраических уравнений

Задание 1

а) Система двух Линейных Алгебраических Уравнений (СЛАУ) с двумя неизвестными задана своей расширенной матрицей. Решите СЛАУ методом Зейделя с точностью до 0,001. Поменяйте порядок следования уравнений в СЛАУ и решите полученную таким образом СЛАУ тем же методом Зейделя. Постройте графики уравнений СЛАУ в обоих случаях и покажите на них первые три-четыре итерации.

Решение

Метод Зейделя представляет собой модификацию метода простой итераций.

Имеем СЛАУ

Ax =b (1)

Предполагая, что a_ii ? 0 разрешим новое уравнение системы (1) относительно x₁, второе - относительно x₂,…, n-ое уравнение - относительно x_n. В результате получим:

x₁=в₁ - б₁₂x₂ - б₁₃x₃ - ... - б_1nx_n

x₂=в₂ - б₂₁x₁ - б₂₃x₃ - ... - б_2nx_n

x_n=в_n - б_n1x_n - б_n3x₃ - ... - б_nn-1x_n-1

где в_i=b_i/a_ii; б_ij=a_ij/a_ii при i ? j; б_ii=0

Известно начальное приближение: x⁰=(x⁰₁, x⁰₂, ..., x⁰_n).

Основная идея заключается в том, что при вычислении (k+1)-го приближения неизвестной x_i учитываются уже вычисленные ранее (k+1) - приближение неизвестных x₁, x₂, ..., x_n.

Итерационная схема имеет вид:

простой итерация линейный график

x^k+1₁=в₁ - ?б_1jx^k_j

x^k+1₂=в₂ - б₂₁x^k+1₁ - ?б_2jx^k_j

x^k+1_i=в_i - ?б_ijx^k+1₁ - ?б_2jx^k_j

Рассмотрим один из способов преобразования системы: Ax=b, (1), позволяющий всегда получать сходящийся процесс Зейделя. Помножим (1) слева на A^T: A^TAx=A^Tb или Cx=d, (2).

где C=A^TA; d=A^Tb.

Систему (2) принято называть нормальной (Такая система получается при использовании МНК).

Нормальная система обладает рядом замечательных свойств:

1) матрица С - симметрическая;

2) все элементы главной диагонали c_ij > 0;

3) матрица С - положительно определена.

Умножаем матрицы A^TA.

Умножаем матрицы A^Tb.

Приведем к виду:

x₁=0.25-0.45x₂

x₂=-0.0769-1.38x₁

Рис. 1. графики уравнений СЛАУ

Покажем вычисления на примере нескольких итераций.

N=1

x₁=0.25 - 0 * (-0.45) - 0 * 0=0.25

x₂=-0.0769 - 0.25 * (-1.38) - 0 * 0=0.27

x₃=0 - 0.25 * 0 - 0.27 * 0=0

N=2

x₁=0.25 - 0.27 * (-0.45) - 0 * 0=0.37

x₂=-0.0769 - 0.37 * (-1.38) - 0 * 0=0.44

x₃=0 - 0.37 * 0 - 0.44 * 0=0

N=3

x₁=0.25 - 0.44 * (-0.45) - 0 * 0=0.45

x₂=-0.0769 - 0.45 * (-1.38) - 0 * 0=0.54

x₃=0 - 0.45 * 0 - 0.54 * 0=0

Остальные расчеты сведем в таблицу.

Таблица

б) Система четырех Линейных Алгебраических Уравнений (СЛАУ) с четырьмя неизвестными задана своей расширенной матрицей. Решите СЛАУ методом Зейделя с точностью до 0,001.

Решение

Метод Зейделя представляет собой модификацию метода простой итераций. Имеем СЛАУ

A x =b (1)

Предполагая, что a_ii ? 0 разрешим новое уравнение системы (1) относительно x₁, второе - относительно x₂,…, n-ое уравнение - относительно x_n. В результате получим:

x₁=в₁ - б₁₂x₂ - б₁₃x₃ - ... - б_1nx_n

x₂=в₂ - б₂₁x₁ - б₂₃x₃ - ... - б_2nx_n

x_n=в_n - б_n1x_n - б_n3x₃ - ... - б_nn-1x_n-1

где в_i=b_i/a_ii; б_ij=a_ij/a_ii при i ? j; б_ii=0

Известно начальное приближение: x⁰=(x⁰₁, x⁰₂, ..., x⁰_n).

Основная идея заключается в том, что при вычислении (k+1)-го приближения неизвестной x_i учитываются уже вычисленные ранее (k+1) - приближение неизвестных x₁, x₂, ..., x_n. Итерационная схема имеет вид:

x^k+1₁=в₁ - ?б_1jx^k_j

x^k+1₂=в₂ - б₂₁x^k+1₁ - ?б_2jx^k_j

x^k+1_i=в_i - ?б_ijx^k+1₁ - ?б_2jx^k_j

Рассмотрим один из способов преобразования системы: Ax=b, (1), позволяющий всегда получать сходящийся процесс Зейделя. Помножим (1) слева на A^T: A^TAx=A^Tb или Cx=d, (2).

где C=A^TA; d=A^Tb.

Систему (2) принято называть нормальной (Такая система получается при использовании МНК). Нормальная система обладает рядом замечательных свойств:

1) матрица С - симметрическая;

2) все элементы главной диагонали c_ij > 0;

3) матрица С - положительно определена.

Умножаем матрицы A^TA.

Умножаем матрицы A^Tb.

Приведем к виду:

x₁=0.93+0.6x₂+0.74x₃+0.69x₄

x₂=0.73+0.45x₁+0.51x₃-0.0727x₄

x₃=0.53+0.66x₁+0.6x₂+0.36x₄

x₄=-0.18+0.74x₁-0.1x₂+0.44x₃

Покажем вычисления на примере нескольких итераций.

N=1

x₁=0.93 - 0 * 0.6 - 0 * 0.74 - 0 * 0.69=0.93

x₂=0.73 - 0.93 * 0.45 - 0 * 0.51 - 0 * (-0.0727)=0.31

x₃=0.53 - 0.93 * 0.66 - 0.31 * 0.6 - 0 * 0.36=-0.26

x₄=-0.18 - 0.93 * 0.74 - 0.31 * (-0.1) - (-0.26) * 0.44=-0.72

N=2

x₁=0.93 - 0.31 * 0.6 - (-0.26) * 0.74 - (-0.72) * 0.69=1.44

x₂=0.73 - 1.44 * 0.45 - (-0.26) * 0.51 - (-0.72) * (-0.0727)=0.15

x₃=0.53 - 1.44 * 0.66 - 0.15 * 0.6 - (-0.72) * 0.36=-0.25

x₁=0.93 - 0.15 * 0.6 - (-0.25) * 0.74 - (-1.13) * 0.69=1.8

x₄=-0.18 - 1.8 * 0.74 - (-0.046) * (-0.1) - (-0.22) * 0.44=-1.43

Таблица

Задание 2

Отделить корни уравнения f(x), используя графико-аналитический метод. Найти корни уравнения с заданной точностью методом бисекций, Ньютона или простых интерций. Выполнить проверку правильности найденных решений, вычислив невязки.

Строим график функции

Таблица

Рис. 1. График функции

Анализируя полученное изображение графика, можно сказать, что уравнение имеет один корень - это видно из пересечения графика функции с осью OX. Можно выбрать отрезок, содержащий данный корень: [0,5;1] - отрезок изоляции.

Для подтверждения полученных данных, можно решить эту же задачу вторым способом. Для этого необходимо уравнение преобразовать к виду: . Затем следует каждую часть уравнения рассмотреть как отдельную функцию. Т. е.

Таблица

Рис. 2. Наложение искомых функций

Анализируя полученный результат, можно сказать, что точка пересечения двух графиков попадает на тот же самый отрезок изоляции [0,5;1], что и при решении задачи первым способом.

Сделаем крупнее масштаб.

Рис. 3. Увеличенный масштаб

При увеличенном масштабе, корень уравнения х=0,644.

Метод бисекции (метод половинного деления). Пусть мы отделили корень на отрезке . Разделим отрезок пополам точкой . Если , то возможны два случая: либо меняет знак на отрезке , либо на отрезке . Выбираем в каждом случае тот из отрезков, на котором функция меняет знак, и продолжаем процесс деления до тех пор, пока, где - точность.

Таким, образом х=0,644

Строим график функции

Таблица

Рис. 1. График функции

Анализируя полученное изображение графика, можно сказать, что уравнение имеет три кореня - это видно из пересечения графика функции с осью OX. Можно выбрать несколько отрезков, содержащий данный корень: [-17,5;-16,5], [-6,5;-5,5], [1,5;2,5] - отрезки изоляции.

Для подтверждения полученных данных, можно решить эту же задачу вторым способом. Для этого необходимо уравнение преобразовать к виду: . Затем следует каждую часть уравнения рассмотреть как отдельную функцию. Т. е.

Таблица

Рис. 2. Наложение искомых функций

Анализируя полученный результат, можно сказать, что точки пересечения двух графиков попадает на те же самые отрезки изоляции [-17,5;-16,5], [-6,5;-5,5], [1,5;2,5] - отрезки изоляции, что и при решении задачи первым способом.

Сделаем крупнее масштаб.

Рис. 3. Увеличенный масштаб

При увеличенном масштабе, корень уравнения х=0,644.

Метод бисекции (метод половинного деления). Пусть мы отделили корень на отрезке . Разделим отрезок пополам точкой . Если , то возможны два случая: либо меняет знак на отрезке , либо на отрезке . Выбираем в каждом случае тот из отрезков, на котором функция меняет знак, и продолжаем процесс деления до тех пор, пока, где - точность.

Таким, образом х=-6

Задание 3

а) Используя обобщенные формулы трапеций и Симпсона вычислить определенные интегралы с заданной точностью. Проверку достижения требуемой точности проводить по правилу Рунге.

Решение

Сначала отрезок интегрирования разбивается на несколько больших отрезков, как правило, на 4-5-6. Разобьем отрезок интегрирования, например, на те же 5 частей.

И шаг, естественно, тоже известен:

В данном случае необходимая точность 0,01. Согласно рекомендации, после запятой для верности оставим пять знаков (можно было и четыре):

Таблица

В результате:

После первичного результата количество отрезков удваивают. В данном случае необходимо провести разбиение на 10 отрезков.

Для n= 10 формула трапеций приобретает следующий вид:

Вычислим шаг разбиения:

Результаты расчётов сведём в таблицу:

Таблица

В результате:

Теперь рассчитаем, на сколько улучшился результат:

Полученная оценка погрешности меньше, чем требуемая точность.

Ответ:

б) Используя обобщенную формулу Симпсона составить таблицу значений функции, заданной в виде интеграла с переменным верхним пределом.

Решение

Если функция у = f(x) интегрируема на отрезке , то функция Ф(х) непрерывна на этом отрезке.

Если подынтегральная функция непрерывна, то производная определенного интеграла с переменным верхним пределом существует и равна значению подынтегральной функции для этого предела. т.е.

Сначала отрезок интегрирования разбивается на 8 отрезков. Разобьем отрезок интегрирования, например, на те же 8 частей.

И шаг, естественно, тоже известен:

В данном случае необходимая точность 0,01. Согласно рекомендации, после запятой для верности оставим пять знаков (можно было и четыре):

Таблица

Представим таблицу в следующем виде.

Таблица

В результате:

Ответ:

Задание 4

а) Найти приближенное решение задачи Коши методом Эйлера и методом Рунге-Кутта 4 порядка на заданном отрезке с шагом h=0.1 (или h=0.01).

Решение

Сделаем преобразования:

Расчетные формулы модифицированного метода Эйлера:

Расчетные формулы метода Рунге - Кутта 4 порядка:

Таблица

Видно, что самым точным является метод Рунге - Кутта - 8,5834

б) Найти приближенное решение задачи Коши или методом Эйлера и Рунге-Кутта 4 порядка на отрезке [0;1] с шагом h=0.1 (или h=0.01).

Решение

Решим задачу модифицированным методом Эйлера и Рунге - Кутта с шагом h=0.1.

Введем функцию:

Тогда получим следующую задачу Коши для системы двух ОДУ первого порядка:

Расчетные формулы модифицированного метода Эйлера:

Расчетные формулы метода Рунге - Кутта 4 порядка:

Таблица. Модифицированный метод Эйлера

Таблица. Схема Рунге - Кутта: