Основы тригонометрии
Работа из раздела: «
Математика»
/
12
ФЕДЕРАЛЬНАЯ СЛУЖБА ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА РОССИИ
Красноярский авиационный технический колледж
Хабаровский филиал
Контрольная работа
Предмет Математика
Вариант №7
Задание №1
Даны координаты вершин треугольника:
Найти:
1)уравнение стороны АВ;
2)уравнение высоты СВ;
3)уравнение медианы СМ;
4)угол А;
5) площадь треугольника ABC.
А(2,5) , В(4,-4) , С(8,8)
Решение.
1) Уравнение прямой проходящей через точки А (х, у) и В (х, у) имеет вид:
Подставляя координаты точек A(2,5) и В(4,-4) получим уравнение стороны АВ:
;
2)Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении, имеет вид:
Высота CB перпендикулярна стороне АВ. Чтобы найти угловой коэффициент высоты СD, воспользуемся условием перпендикулярности прямых. Т.к. и -4,5 (решили уравнение стороны АВ относительно у и нашли уравнение стороны АВ в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом , откуда -4,5), то КCB=.
Подставив в уравнение указанное выше координаты точки С (8,8) и найденный угловой коэффициент высоты, получим:
3)Чтобы найти уравнение медианы АМ, определим сначала координаты точки М, которая является серединой ВС, применяя формулы деления отрезка на две равные части:
Следовательно, М(1;2)
Подставив в уравнение прямой координаты точек А и М, находим уравнение медианы:
4) Найти угол А.
Известно, что тангенс угла между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых соответственно равны К1 и К2, вычисляется по формуле:
Искомый угол А образован прямыми АВ и АС, необходимо найти их угловые коэффициенты:
Получаем:
5)1.Найдем площадь треугольника ABC по формуле:
S=1/2
2.Длину стороны ВС находим по формуле:
=
= =
3.Уравнение прямой проходящей через точки В (х, у) и С (х, у) имеет вид:
Подставляя координаты точек В(4,-4) и С(8,8) , получим уравнение стороны ВС:
4.Расстояние от точки F(x,y) до прямой Ах+Ву+С=0 (ВС) находится по формуле:
d=
Поэтому подставив координаты точки А(2,5) и соответствующие значения коэффициентов А=12; B=-4; C= 64; из общего уравнения прямой (ВС), получим длину высоты AD:
S=
Ответ: (ед2)
Задание№2
Дано уравнение кривой второго порядка
Определить вид кривой. Найти фокусы и эксцентриситет. Сделать чертеж.
Решение:
Кривая является эллипсом, т.к.:
-каноническое уравнение эллипса.
- большая ось
- малая ось
- фокусное расстояние
-фокусы.
Форма эллипса (мера его сжатия) характеризуется его эксцентриситетом:
Чертеж:
/
12
Задание№3
Дано уравнение директрисы параболы: у=-10
Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат. Сделать чертеж.
Решение.
Искомое уравнение параболы имеет вид:
По условию уравнение директрисы
Отсюда следует, что ветви параболы направлены в положительную сторону оси ОХ.
Тогда имеем: - уравнение параболы.
- фокус.
/
12
Задание№4
Найти производные, пользуясь формулами дифференцирования:
а) б)
Решение:
а)
б)
Задание №5
Выполнить действия над комплексными числами:
Решение:
1)Упростим выражение:
Известно, что:
Тогда:
Ответ:
Задание №6
Исследовать данную функцию методами дифференциального исчисления и построить их график.
1)Находим область определения области.
2)Находим асимптоты:
а) Вертикальных асимптот нет.
б)
в)y=0 горизонтальная асимптота.
3), отсюда следует, функция является нечетной.
4)-точка пересечения графика функции с осями координат.
5)
Как мы видим, у возрастает на всех промежутках
6)
+ -
у выпуклая при
у вогнутая при
Точек перегиба нет.
Чертеж:
/
12
Задание №7
Вычислить определенный интеграл:
Решение:
кривая уравнение дифференцирование
Пусть
Найдем новые пределы интегрирования:
При
При
Задание №8
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
Решение:
1)Необходимо узнать чему равен х и у:
2)Формула Ньютона-Лейбница:
;
На основании этой формулы получим:
Ответ:
