Основы математики

/

Задание 1

Вычислить определитель, используя правило треугольника и метод разложения по элементам ряда.

Решение:

По правилу треугольника:

Методом разложения по элементам ряда.

Ответ: -1026

Задание 2

Найти матрицу f(А) по данной матрице А и функции f(x):

A= , f(x)=6xІ+7x+15

Решение:

Найдем

Найдем 7А

++=

Задание 3

Для матрицы А найти обратную . Проверить равенство

А=

Решение:

1) Найдем определитель матрицы по правилу треугольника.

2) Найдем алгебраические дополнение всех элементов матрицы А.

Запишем результаты в присоединенную матрицу.

3) Транспонируем присоединенную матрицу.

4) Найдем обратную матрицу по формуле:

5) Проверим равенство:

Задание 4.

Даны матрицы ,,. Вычислить матрицу D

Решение:

Найдем произведение матриц А и В.

Транспонируем матрицу С

Найдем матрицу D .

Задание 5.

Решить систему уравнений тремя способами: методом Гаусса, методом Кремера и матричным методом.

Решение:

Решим систему методом Кремера.

Вычислим определитель основных коэффициентов.

Найдем добавочные определители , и

Найдем значения переменных по формулам Кремера:

Таким образом, решение системы: (-1;-1;-1)

Решим систему матричным методом.

Запишем систему в матричном виде

или , откуда

Найдем матрицу .

1) Найдем определитель матрицы по правилу треугольника.

2) Найдем алгебраические дополнение всех элементов матрицы А.

Запишем результаты в присоединенную матрицу.

3) Транспонируем присоединенную матрицу.

4) Найдем обратную матрицу по формуле:

Найдем произведение этой матрицы на матрицу свободных коэффициентов.

Таким образом, решение системы: (-1;-1;-1)

Решим систему методом Гаусса.

Запишем расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольной форме путем элементарных преобразований (они указаны справа у каждой строки).

??

Запишем систему, соответствующую последней расширенной матрице, и найдем неизвестные.

Таким образом, решение системы: (-1;-1;-1)

Ответ: (-1;-1;-1)

Задание 6.

Даны вершины треугольника АВС.

А(2,2), В(2,-1) ,С(-3,0)

Найти:

уравнения сторон треугольника;

уравнение медианы и высоты, проведенных из вершины В.

уравнение прямой l₁через точку С, l₁|| АВ;

уравнение прямой l₂ через точку В, l₂ l₁;

точку пересечения l₁ и l₂.

1. Уравнение прямой через две точки имеет вид:

Уравнение АВ: Уравнение АС:

Уравнение ВС:

2. Составим уравнения медианы и высоты, проведенных из вершины В.

Найдем координаты середины отрезка АС, точки М по формуле:

А(2;2) С(-3;0) М: ,

следовательно, М (-0,5;1)

Составим уравнение медианы ВМ по формуле:

Уравнение ВМ:

Так как ВН- высота, опущенная на АС, то ВНАС.

Составим уравнение высоты ВH по формуле:

,

где и - координаты вектора, перпендикулярного прямой ВН.

Координаты вектора находим по формуле ().

АС(-5;-2) и В (2;-1)

Уравнение ВН:

Составим уравнение прямой , проходящей через точку С, параллельно АВ.

3. Используем формулу прямой, проходящей через точку параллельно вектору:

,

где и - координаты вектора АВ, параллельного прямой .

АВ(0;-3) и С (-3;0)

Уравнение :

4. Составим уравнение прямой l₂ , проходящей через точку В, l₂ l₁;

5. Найдем точку пересечения прямых l₁ и l₂. Для этого решим систему уравнений этих прямых.

Таким образом, точка пересечения: (-3;-1)

Задание 7

Даны координаты вершин пирамиды А₁, А₂, А₃, А₄. Найти:

1) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃ ;

2) площадь грани А₁А₂А₃ ;

3) объем пирамиды ;

4) уравнения прямой А₁А₂ ;

5) уравнение плоскости А₁А₂А₃ ;

6) уравнения высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃ .

Сделать чертеж.

А₁ (7; 7; 3), А₂ (6; 5; 8), А₃ (3; 5; 8), А₄ (8; 4; 1) .

Решение

1. Найдем угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃

Составим уравнение прямой по формуле:

А₁ (7; 7; 3), А₄ (8; 4; 1) .

, т.е. А₁А₄ :

Составим уравнение плоскости А₁А₂А₃ по формуле:

А₁ (7; 7; 3), А₂ (6; 5; 8), А₃ (3; 5; 8),

,

Разложив определитель по элементам первой строки, получим уравнение:

После преобразований получим А₁А₂А₃ :

Из уравнения прямой А₁А₄ : направляющий вектор

Из уравнения плоскости А₁А₂А₃ : нормальный вектор

Найдем синус угла между прямой и плоскостью по формуле:

Найдем скалярное произведение векторов по формуле:

Найдем длины векторов по формуле:

Найдем синус угла между прямой А₁А₄ и плоскостью А₁А₂А_3.

2. Найдем площадь грани А₁А₂А₃. Для этого достроим треугольник А₁А₂А₃ до параллелограмма.

Рассмотрим векторное произведение 2-х векторов .

Векторное произведение выражается формулой:

Найдем координаты векторов и . Вычислим векторное произведение.

Длина (модель) векторного произведения численно равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах. Следовательно. Площадь треугольника равна

3. Объем пирамиды . Модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Смешанное произведение вычисляется по формуле:

Найдем смешанное произведение векторов

,

4. Составим уравнение прямой А₁А₂ по формуле:

А₁ (7; 7; 3), А₂ (6; 5; 8), .

Окончательно:

5. Составим уравнение плоскости А₁А₂А₃ по формуле:

А₁ (7; 7; 3), А₂ (6; 5; 8), А₃ (3; 5; 8),

,

Разложив определитель по элементам первой строки, получим уравнение:

После преобразований получим А₁А₂А₃ :

6. Составим уравнения высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃ .

Из уравнения плоскости А₁А₂А₃ : нормальный вектор

Высота проходит через точку А₄ (8; 4; 1) параллельно вектору . Используем формулу:

Подставим координаты точки А₄ и вектора .

Задание 8

Заданы координаты векторов a b c d и точек М1, М2, М3, М4

Требуется:

1) Составить уравнение плоскости , которая проходит через точку М1 и имеет нормальный вектор a .

2) Составить уравнение плоскости , которая проходит через точки М1, М2, М3.

3) Составить уравнение плоскости , которая проходит через точку М2 и параллельной плоскости , проходящей через точки М1, М3 и М4

4) Составить уравнение плоскости , которая проходит через точки М2, М3 и перпендикулярной к плоскости , проходящей через точку М1 с нормальным вектором b .

5) Составить каноническое уравнение прямой L1, проходящей через точку М3 с направляющим вектором c.

6) Составить общее уравнение прямой L2 в пространстве , если она является линией пересечения плоскостей (из 1-го задания) и (из 2-го задания). Осуществить переход от общего уравнения к каноническому.

7) Составить уравнение прямой L3, проходящей через точки М2 и М3.

8) Составить уравнение плоскости , проходящей через точку М1 параллельной прямым L1 (из 5-го задания) и L2 (из 6-го задания).

9) Определить угол между прямой L1 (из 5-го задания) и плоскостью (из 2-го задания).

10) Составить уравнение плоскости , проходящей через точку М2 и параллельной плоскости , которая проходит через точку М1 с нормальным вектором d.

Решение

1. Уравнение плоскости, проходящей через точку и имеющей нормальный вектор , имеет вид:

Составим уравнение плоскости , которая проходит через точку М1(4;5;-3) и имеет нормальный вектор a (1;1;-5) .

После преобразований получим:

:

2. Составим уравнение плоскости по формуле:

М₁ (4; 5; -3), М₂ (-2; 5;-3), М₃ (-2; 1;-1)

,

Разложив определитель по элементам первой строки, получим уравнение:

После преобразований получим уравнение плоскости :

3. Составим уравнение плоскости , которая проходит через точку М₂ (1;-1;0) и параллельной плоскости , проходящей через точки М₁ (4; 5; -3), М₃ (-2; 1;-1) и М₄(-6;5;2).

Уравнение плоскости:

;

Разложив определитель по элементам первой строки, получим уравнение:

После преобразований получим уравнение плоскости:

Уравнение плоскости, проходящей через точку и имеющей нормальный вектор , имеет вид:

Составим уравнение плоскости , которая проходит через точку М₂ (1;-1;0) с нормальным вектором плоскости . .

После преобразований получим уравнение плоскости :

4. Составим уравнение плоскости , которая проходит через точки М₂ (1;-1;0) , М₃ (-2; 1;-1) и перпендикулярной к плоскости , проходящей через точку М₁ (4; 5; -3), с нормальным вектором b(-3;6;-4) .

Запишем уравнение плоскости

Составим уравнение плоскости .

Подставим в это уравнение координаты точек М₂ (1;-1;0) , М₃ (-2; 1;-1) получим:

Так как плоскость перпендикулярна к плоскости , то нормальные векторы этих плоскостей также перпендикулярны.

, т.е. , откуда

Решим систему уравнений

Пусть С=1, тогда и , следовательно

Подставим координаты точки М₂ (1;-1;0) и вектора в уравнение

После преобразований получим уравнение плоскости :

5. Составить каноническое уравнение прямой L₁, проходящей через точку М₃ (-2; 1;-1) с направляющим вектором c (3;6;2).

Уравнение прямой, проходящей через точку с направляющим вектором имеет вид:

Подставим координаты и получим

уравнение прямой L₁ :

6. Составить общее уравнение прямой L₂ в пространстве , если она является линией пересечения плоскостей : и : . Осуществить переход от общего уравнения к каноническому. Уравнение прямой L₂

Пусть z=0, тогда

Получим точку (;;0), принадлежащую прямой L₂.

Найдем координаты направляющего вектора по формуле: , где , . Вычислим векторное произведение.

Направляющий вектор прямой

Каноническое уравнение прямой, проходящей через точку с направляющим вектором имеет вид:

Подставим координаты точки (;;0)и и получим

уравнение прямой L₂ :

7. Составим уравнение прямой L₃, проходящей через точки М₂ (1;-1;0) , М₃ (-2; 1;-1)

Составим уравнение прямой по формуле:

.

Окончательно уравнение прямой L₃:

8. Составим уравнение плоскости , проходящей через точку М₁ (4; 5; -3), параллельной прямым L₁ : и L₂ : .

Уравнение плоскости имеет вид:

;

Разложив определитель по элементам первой строки, получим уравнение:

После преобразований получим уравнение плоскости:

9. Определим угол между прямой L₁ : и плоскостью :

Найдем синус угла между прямой L₁и плоскостью

10. Составим уравнение плоскости , проходящей через точку М₂ (1;-1;0) и параллельной плоскости , которая проходит через точку М₁ (4; 5; -3), с нормальным вектором d (-1;2;5).

Так как плоскости параллельны, то нормальный вектор плоскости является также нормальным вектором для плоскости .

Уравнение плоскости, проходящей через точку и имеющей нормальный вектор , имеет вид:

Составим уравнение плоскости , которая проходит через точку М₂ (1;-1;0) и имеет нормальный вектор d (-1;2;5).

треугольник уравнение гаусс матричный

После преобразований получим:

: