Основы линейной алгебры

/

1. Найти произведение заданных матриц А и В

Решение:

Матрицы: А - размерность, В-размерность .

Так как количество столбцов матрицы: А равно количеству строк матрицы В, то произведение А на В существует.

Итоговая матрица имеет размерность :

Ответ:

2. Решить систему линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера, матричным методом и методом Гаусса

Решение:

а) Решим систему по формулам Крамера

Для системы 3-х линейных алгебраических уравнений

если 0, можно найти единственное решение по формулам Крамера:

, , .

? =; ₁= ; ₂= ; ₃= ;

Найдем значение определителя ? по формуле:

Аналогично вычислим значения определителей ₁, ₂, ₃

? =2·1·3 +4·2·(-2)+4·(-5)·(-1) - (-2)·1·(-1) - 4•4·3-2·2·(-5)= -20 0

₁=-8·1·3 +4·2·18+14·(-5)·(-1) - 18·1·(-1) - 14•4·3 - (-8)·2·(-5)=-40

₂ =2·14·3 +(-8)·2·(-2)+4·18·(-1) - (-2)·14·(-1) - 4•(-8)·3-2·2·18=40

₃=2·1·18 +4·14·(-2)+4·(-5)·(-8) - (-2)·1·(-8) - 4•4·18-2·14·(-5)=-80

Сделаем проверку:

Получили равенства.

Ответ:

б) Решим систему матричным методом

Систему линейных алгебраических уравнений можно представить в матричном виде: А • X = В, где А - матрица системы из коэффициентов при неизвестных,

Х и В-матрицы - столбцы из неизвестных , , и свободных членов соответственно:

. ; .

Для нахождения неизвестных используется формула Х = А^-1 • В, где А^-1 - обратная матрица к квадратной матрице А

Обратная матрица вычисляется по формуле:

А^-1=•А^Т, где А^Т = - транспонированная матрица к

- главный определитель матрицы А,

А_ij - это алгебраическое дополнение равное A_ij = (-1)^i+jМ

Минор - это определитель, полученный из главного определителя вычеркиванием i-ой строки и j-гo столбца

Для исходной системы:

Найдем обратную матрицу. Значение главного определителя известно:

? =-20 0

Найдем алгебраические дополнения А_ij:

;

Умножая обратную матрицу А^-1 на , получаем матрицу .

Ответ:

в) Решим систему методом Гаусса

Это метод последовательного исключения неизвестных из уравнений системы.

В первом уравнении выбираем коэффициент, отличный от нуля. Затем 1-ое уравнение делим на этот коэффициент, и далее с помощью первого уравнения исключаем первое неизвестное из всех уравнений, кроме первого (вычитанием).

Применим метод Гаусса, составив таблицу:

После проделанных операций система привелась к треугольному виду

Начинаем обратный ход метода Гаусса.

Ответ:

3. Показать, что векторы а₁, а₂, а₃ образуют базис в пространстве R³, и найти координаты вектора а в этом базисе.

Решение

Вычислим определитель, столбцами которого служат координаты векторов а₁, а₂, а₃:

Так как Д ? 0, то система векторов а₁, а₂, а₃ образует базис в R³. Вектор а₄ разлагается по векторам этого базиса, т.е. справедливо равенство вида

Последнее равенство в координатной форме имеет следующий вид:

Согласно определению равенства векторов и действиям над векторами получим систему линейных алгебраических уравнений с неизвестными:

Решим эту систему методом Крамера:

Ответ:

4. Определить ранг заданной матрицы

Решение

Методом окаймляющих миноров найдем ранг матрицы.

Высший порядок миноров матрицы А - третий. Вычислим эти миноры.

Вычислим сначала угловой минор второго порядка:

Он отличен от нуля.

Составим и вычислим два минора третьего порядка, которые окаймляют этот минор. Один из таких миноров - угловой минор:

,

Следующий минор:

Все миноры третьего порядка равны нулю.

Следовательно, ранг матрицы А равен двум.

Ответ:

5. Привести систему к системе с базисом методом ЖорданаГаусса и найти одно базисное решение

Решение

Матрица А и расширенная матрица В данной системы имеют одним из миноров высшего порядка минор второго порядка: , который отличен от нуля. Следовательно, r(А) = r(В) = 2. Система совместна, и так как r < n (n = 5), то она имеет бесчисленное множество решений. Число ее базисных решений не превосходит числа .

Так как ранг системы равен двум, то и число базисных переменных равно двум. Так как n - r = 5 - 2 = 3, то свободными будут три переменные.

Представим коэффициенты при неизвестных в виде таблицы и решим систему методом Жордана-Гаусса:

В результате трех итераций система преобразовалась к виду:

Следовательно, исходная система имеет бесчисленное множество решений.

Последняя система уравнений есть система с базисом и разрешается относительно базисных неизвестных х₁, х₂, (х₃, х₄, х₅ - свободные неизвестные):

Методом Жордана-Гаусса получено общее решение исходной системы.

Найдем одно базисное решение:

Сделаем проверку:

Ответ: - общее решение исходной системы

- базисное решение системы

матрица уравнение крамер гаусс

Библиографический список

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. - М: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1998

2. Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Шишкин А.А, Линейная алгебра в вопросах и задачах: Учеб. пособие / Под ред. В.Ф. Бутузова. - ФИЗМАТЛИТ, 2002. -248 с.

3. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; Под ред. проф. Н.Ш. Кремера - М.: ЮНИТИ, 2003. - 471 с.

4. Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. Ч. 1, ч. 2.-М.: Высшая школа, 1982. - 320 с.

5. Тиунчик М.Ф. Математика, часть 1. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебное пособие. Хабаровск: ХГАЭП, 2002, - 104 с.