Нахождение обратной матрицы
Работа из раздела: «
Математика»
/
Лабораторная работа
Нахождение обратной матрицы
Задание
Цели работы: научиться находить обратную матрицу и составлять алгоритм программы.
1. Обратить матрицу А:
Методом разбиения ее на клетки;
Методом разбиения ее на произведение 2-х треугольных матриц;
С помощью метода Гаусса.
2. Вычислить определитель методом Гаусса.
1. Решение
Метод разбиения на клетки.
Для данного метода представим исходную матрицу в виде
, где
Обратная матрица будет иметь вид
где
а - единичная матрица 2х2.
Последовательно вычислим:
а) :
б) :
в) :
г) :
Окончательно матрица D будет иметь вид:
Метод L-U факторизации.
Матрицу А также можно представить в виде произведения треугольных матриц L и U:
где
Элементы этих треугольных матриц находятся по формулам:
Найдем элементы и :
В итоге получим:
Для нахождения обратной матрицы воспользуемся формулой:
Найдем матрицы, обратные треугольным.
Теперь найдем искомую обратную матрицу:
Метод Гаусса
обратный матрица алгебраический погрешность
Запишем расширенную матрицу:
Проведем линейные преобразования. Умножим первую строку последовательно на 2 и 6 и вычесть соответственно из второй и четвертой строки.
Поделим вторую строку на 3 и умножим ее последовательно на 1, 6, -7 и вычтем соответственно из первой, третьей и четвертой строки.
Разделим третью строку на -10. Умножим получившуюся третью строку последовательно на -5.333, 2.333, 33.333 и вычтем соответственно из первой, второй и четвертой строки.
Разделим четвертую строку на -0,333. Умножим получившуюся четвертую строку последовательно на 0.933, -0.033, 0.3 и вычтем соответственно из первой, второй и третьей строки.
Окончательно матрица будет иметь вид:
2. Вычисление определителя методом Гаусса
Умножим последовательно первую строку на 2 и 6 и вычтем последовательно из второй и четвертой строки, получим
.
Отбросим первый столбец и первую строку, получим
.
Поделим первую строку на 3, получим
.
Умножим первую строку на 6 и -7 и вычтем последовательно из второй и третьей строки, получим
.
Отбросим первый столбец и первую строку, и умножим первую строку на -3,333 и вычтем из второй. Получим
Получив нули под главной диагональю, посчитаем определитель
3. Проверка в MathCAD
Подсчет погрешности методов.
За абсолютный результат примем обратную матрицу, полученную в системе MathCAD с помощью миноров и алгебраических дополнений. Погрешность будем вычислять с помощью наиболее отличающихся элементов матрицы.
Вычислим погрешность метода клеточного разбиения.
Вычислим погрешность метода L-U факторизации.
Вычислим погрешность метода Гаусса.
При вычислении определителя результат получился абсолютно одинаковым.
Вывод: я научился находить обратную матрицу различными способами. Наибольшую погрешность дал метод L-U факторизации, а наименьший метод клеточного разбиения.
