Кратные криволинейные и поверхностные интегралы. Теория поля

/

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Кафедра программного обеспечения информационных технологий

Контрольная работа № 8

по дисциплине «Высшая математика»

Тема работы: «Кратные криволинейные и поверхностные интегралы. Теория поля»

Выполнил студент:

Добровольский Е.А.

группа 001021

Минск 2011

Задача 1

Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, с помощью двойного интеграла.

Решение:

Сделаем чертеж:

Искомая площадь фигуры:

Ответ:

Задача 2

Вычислить двойной интеграл, перейдя к полярным координатам:

Решение:

Сделаем чертеж:

Перейдем к полярным координатам:

Ответ:

Задача 3

интеграл криволинейный векторный площадь

Найти объем тела, ограниченного заданными поверхностями, с помощью тройного интеграла.

Решение:

/

/

Искомый объем тела будет выражаться интегралом:

Перейдем к цилиндрическим координатам:

Ответ:

Задача 4

Вычислить криволинейный интеграл второго рода вдоль заданной линии .

- линия от точки до точки

Решение:

Перейдем к определенному интегралу:

Ответ:

Задача 5

Найти поток векторного поля через заданную поверхность .

Решение:

Для вычисления потока через внешнюю сторону замкнутой поверхности , ограничивающей объем , удобно применять теорему Остроградского:

Ответ:

Задача 6

Проверить, будет ли потенциальным и соленоидальным поле . В случае потенциальности поля найти его потенциал .

Решение:

Для потенциальности поля необходимо и достаточно, чтобы

Таким образом, поле является потенциальным.

Для соленоидальности поля:

Таким образом, поле не является соленоидальным.

Потенциал можно вычислить по формуле:

Выберем в качестве точки точку