Исследование функций

/

Задание № 1. Найти производную

; ;

Решение:

производная сложной функции

Прологарифмируем обе части, а затем найдём производную

Задание № 2. Найти пределы функций

; ; ;

Решение:

для раскрытия неопределённости разделим числитель и знаменатель на

для раскрытия неопределённости умножим и числитель и знаменатель на сопряжённое

для раскрытия неопределённости числитель представим в виде произведения

Задание № 3. Провести полное исследование функции и построить ее график

Решение:

1. Область определения функции: функция не определена при x=1. Область определения состоит из двух интервалов , а график из двух ветвей.

2. Функция нечетная, ни нечётная

3. Точки пересечения графика с осями координат: если x=0 , то точка пересечения О(0;-1)

4. Прямая x=1 является вертикальной асимптотой.

,

значит x=1 точки разрыва 2^го рода.

Проверим наличие наклонной асимптоты в виде y=kx+b, где

производный функция экстремум график

Значит, y=x+1 наклонная асимптота

5. Найдём интервалы возрастания и убывания функции и её экстремумы.

при ,

Исследуем критическую точку x=0

, значит функция возрастающая на интервале .

, значит функция убывающая на интервале .

Следовательно, точка максимума, а максимум функции

Итак, О(0;0) - максимум

Кроме того, , значит функция возрастающая на интервале .

Следовательно, точка минимума, а минимум функции

Итак, О(2;3) - минимум

6. Найдём интервалы выпуклости вверх и выпуклости вниз; определим точки перегиба.

и не существует при

функция выпукла вверх на интервале

функция выпукла вниз на интервале

Функция не существует в точке перегиба.

7. Построим график функции, используя полученные данные.

Задание № 4. Решить дифференциальные уравнения

;

Решение:

Имеем дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Разделим переменные, а затем проинтегрируем обе части

Задание № 5. Решить задачу

1) В туристической группе 15 человек, среди которых только 5 человек хорошо говорят по-английски. В Лондоне группу случайным образом расселили в два отеля (3 человека и 12 человек соответственно). Вычислите вероятность того, что из членов группы в первом отеле:

а) все туристы говорят хорошо по-английски;

б). Только один турист хорошо говорит по-английски.

Решение:

a) общее число элементарных исходов равно числу способов, которыми можно выбрать три туриста из 15, т.е.

число исходов, благоприятствующих событию, равно числу способов выбрать троих из 5 хорошо говорящих, т.е.

Искомая вероятность того, что из членов группы в первом отеле все туристы говорят хорошо по-английски:

б) Только один турист хорошо говорит по-английски.

общее число элементарных исходов равно числу способов, которыми можно выбрать три туриста из 15, т.е.

число исходов, благоприятствующих событию, равно числу способов выбрать одного из 5 хорошо говорящих, т.е. и при этом остальные двое не должны хорошо говорить по-английски, число способов

Искомая вероятность того, что из членов группы в первом отеле только один турист говорит хорошо по-английски:

2) Дискретная случайная величина распределена по закону:

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение

Решение:

Математическое ожидание:

Дисперсия:

среднее квадратичное отклонение: