Исследование функции
Работа из раздела: «
Математика»
/
/
Задача. Провести полное исследование функции ѓ(х) с помощью производных, построить график функции, найти ее наибольшее и наименьшее значения на отрезке [а, b]
производная интеграл дифференциальный уравнение
|
№ варианта
|
у=ѓ(х)
|
Значения чисел
|
|
|
|
а
|
b
|
|
|
10
|
|
0
|
3
|
|
|
1. Область определения функции: D (f) = (). Функция непрерывна и определена при всех значениях х.
2. Исследуем функцию на четность, изменив знак аргумента на противоположный:
Получили совсем другую функцию, значит, исходная функция является функцией общего вида.
3 Функция является непрерывной, значит, нет вертикальных асимптот. Проверим, есть ли наклонная асимптота вида у = kx + b. Для этого найдем угловой коэффициент прямой:
,
отсюда следует, что наклонной асимптоты нет.
4. Найдем интервалы монотонности. Вычислим производную и приравняем ее к нулю:
Из уравнения найдем критические точки:
Составим таблицу
/
/
/
/
/
/
|
|
Возрастает
|
|
убывает
|
|
возрастает
|
|
|
На интервалах функция возрастает
На интервале - убывает
5. Точка - точка максимума
Точка - точка минимума
6. Найдем интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции, если они есть. Вычислим вторую производную и приравняем ее к нулю:
. Из уравнения найдем точки, подозрительные на перегиб: х = 1.
7. На основании проведенного исследования построим график функции.
Найдем наибольшее и наименьшее значения функции y = f(x) на отрезке [0, 3].
В этот отрезок попадает точки экстремума х=0 и f(0)=4
х=2 и f(2)=0
Найдем значения функции на концах отрезка
f(0)=4
f(3)=4
Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке достигается в точке х=2 и fнаим(2)=0, а наибольшее в точках х= 0 и х=3 и fнаиб=4
Задание 1. Вычислить неопределенные интегралы
10. а) б) в)
г) д)
а)
б)
в)
По формуле интегрирования по частям:
г)
д)
Задание 2. Вычислить определенные интегралы
10. а) б)
а)
б)
Задача №3. Найти общее решение дифференциального уравнения (или частное решение, удовлетворяющее данному начальному условию)
|
№ варианта
|
Уравнение
|
Начальное условие
|
|
|
10
|
а)
|
-
|
|
|
б)
|
|
|
|
в)
|
|
|
|
а)
б)
Разделим на
в)
Это линейное неоднородное уравнение. Решим соответствующее ему однородное уравнение.
Для линейного неоднородного уравнения общее решение будет иметь вид:
Для определения функции С(х) найдем производную функции у и подставим ее в исходное дифференциальное уравнение.
Найдем частное решение при у(0) = 0.
Задача №4. Найти общее решение (общий интеграл) уравнения
а)
б)
Это линейное неоднородное уравнение. Решим соответствующее ему однородное уравнение.
Для линейного неоднородного уравнения общее решение будет иметь вид:
Для определения функции С(х) найдем производную функции z и подставим ее в дифференциальное уравнение.
