Исследование различных методов численного интегрирования в среде MatLab
Работа из раздела: «
Математика»
/
Севастопольский Национальный Университет Ядерной Энергетики и Промышленности
Вычислительная работа
Предмет: Вычислительная математика
Исследование различных методов численного интегрирования в среде MatLab
Вариант 9
Выполнил: студент 215 класса
Иваненко Е.О.
Проверил:
Черненькая Е.А.
2010
Задание №1
Найти первообразную для функции f(x)=5^(1/3)+58x+cos(2*x), проходящую через точку M0(sqrt(2);1), построить ее график.
>> syms x -задаю символьную переменную
>> y=5^(1/3)+5*x+cos(2*x); - задаю функцию
>> int(y,x) - интегрирую функцию по переменной х
ans =
1925261759066421/1125899906842624*x+5/2*x^2+1/2*sin(2*x)
>> syms c -задаю символьную переменную
>> solve('1925261759066421/1125899906842624*sqrt(2)+5/2*sqrt(2)^2+1/2*sin(2*sqrt(2))+c=1',c)
ans =
-1925261759066421/1125899906842624*2^(1/2)-4-1/2*sin(2*2^(1/2)) - нахошел с
>> x=-6:0.1:6;
>> F=1925261759066421./1125899906842624.*x+5/2.*x.^2+1./2.*sin(2.*x);
>> plot(x,F -1925261759066421/1125899906842624*2^(1/2)-4-1/2*sin(2*2^(1/2)),'g');grid on;hold on;plot(sqrt(2),1,'r*') -строю функцию и точку на одном графике
численный интеграл первообразная функция производная
Задание №2
Вычислить неопределенный интеграл. Построить семейство первообразных при изменении произвольной постоянной от -10 до 10.
>> syms x -задаю символьную переменную
>> a=exp(2*x)/sqrt(1-exp(4*x)); -присваиваю каждой части уравнения букву
>> b=5/(cot(x)^2*(1+tan(x)));
>> c=4^(cot(x))/sin(x)^2;
>> d=cot(x);
>> A=int(a,x); -нахожу интеграл каждой части
>> B=int(b,x);
>> C=int(c,x);
>> D=int(d,x);
>> F=A+B+C+D -нахожу сумму всех частей, т.е.это ответ
F =
1/2*asin(exp(x)^2)-5*log(tan(1/2*x)-1)-5*log(tan(1/2*x)+1)+5/2*log(tan(1/2*x)^2+1)-5*atan(tan(1/2*x))+5/2*log(tan(1/2*x)^2-1-2*tan(1/2*x))-1/2/log(2)*2^(2*i*(exp(2*i*x)+1)/(exp(2*i*x)-1))+log(sin(x))
>> x=1:0.1:10;
>> F=1/2.*asin(exp(x).^2)-5.*log(tan(1/2.*x)-1)-
5.*log(tan(1/2.*x)+1)+5/2.*log(tan(1/2.*x).^2+1)-
5.*atan(tan(1/2.*x))+5./2.*log(tan(1/2.*x).^2-1-2.*tan(1/2.*x))-
1/2./log(2).*2.^(2.*i.*(exp(2.*i.*x)+1)./(exp(2.*i.*x)-1))+log(sin(x));
>> plot(x,F-5*10^35,'r',x,F+10^35,'m',x,F+5*10^35,'g') -строю семейство первообразных
Задание №3
Найти интеграл методом подстановки
>> syms x -задаю символьную переменную
>> y=exp(x)/(2+exp(x)); -задаю функцию
Заменяю
exp(x)=t;
x=log(t);
тогда
dx=1/t;
y=t/(2+t)*1/t;
>> syms t
>> y=t/(2+t)*1/t; это наша новая функция
>> int(y,t) -интегрирую новую функцию
ans =
log(2+t)
>> subs(y,t,exp(x)) -обратная замена
ans =
1/(2+exp(x))
Задание №4
Найти интеграл, используя формулу интегрирования по частям
>> syms x -задаю символьную переменную
>> y=(x-1)/cos(x)^2; -задаю функцию
[U=(x-1); dv=1/cos(x)^2; du=1; v=tan(x)];
=uv-
>> int(y,x) -интегрирую функцию
ans =
x*tan(x)+log(cos(x))-sin(x)/cos(x)
Задание№5
Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=1/sqrt(8+2*x-x^2),x=-0.5,x=1. Построить и закрасить криволинейную трапецию, подобрать масштаб
>> syms x-задаю символьную переменую
>> y=1/sqrt(8+2*x-x^2);-задаю функцию
>> ezplot(y) -строю функцию
>> a=-0.5;b=1; -задаю пределы интегрирования
>> xm=a:0.01:b;
>>ym=subs(y,x,xm);
>>hold on
>>patch([a xm b],[0 ym 0],[0 1 0]) -закрашиваю площадь
>> S=int(y,a,b)-нахожу прощадь
S =
1/6*pi
Ответ: S =1/6*pi(кв.ед)
Задание №6
Исследовать на сходимость интеграл
>> syms x
>> y=1/(2+x);
>> int(y,2,2)
ans =
0
Сходится!!!
Задание №7
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^3,y=sqrt(x)
>> syms x-задаю символьную переменную
>> y1=x^3;y2=sqrt(x); -задаю функции
>> ezplot(y1);grid on;hold on;ezplot(y2) -строю обе функции на одном графике
>> S1=int(y1,0,1); -нахожу площадь одной трапеции
>> S2=int(y2,0,1);-нахожу площадь другой трапеции
>> S=S2-S1 -разность площадей и будет ответ
S =
5/12
Ответ S = 5/12(кВ.ед)
Задание №8
Найти длину кривой ro=a(1+сosphi)-это кардиоида,(a>0)
>> phi=0:pi/100:2*pi; -задаю угол
>> ro=1+cos(phi);-задаю функцию
>> polar(phi,ro) -строю функцию в ПСК
>> syms phi
>> ro=1+cos(phi);
>> a=diff(ro,phi)
a =
-sin(phi)
>> b=sqrt(ro^2+a^2);
>> L=int(b,0,2*pi) -нахожу длину кривой
L =
8
Ответ: L = 8(изм.ед)
Вывод: я научился находить первообразную функции ,находить определенный и не определенный интеграл. Так же находить площадь и объемы фигур.
