Векторы и операции над ними
Работа из раздела: «
Математика»
/
План
1. Теоретический вопрос
2. Задача №1
3. Задача № 2
Использованные источники
1. Векторы и операции над ними
Вектор -- это элемент векторного пространства (некоторого множества с двумя операциями на нём, которые подчиняются восьми аксиомам). С точки зрения математики, после выбора базиса пространства, вектор представляет собой набор величин (координат вектора), которые меняются строго определённым образом при изменении базиса и системы координат, причём изменившиеся величины полагаются координатами того же самого вектора в новом базисе и новой системе координат. Благодаря этому свойству вектор представляет собой объект, не зависящий от выбора базиса и связанной с ним системы координат. Точнее, координаты вектора являются разновидностью тензора -- это тензор первого ранга типа(1,0).
Два вектора называются равными, если они:
1. коллинеарны
2. равны по длине
3. одинаково направлены
Или же -- если они имеют одинаковые координаты в некотором (и тогда любом) базисе.
Свободный и связанный векторы
Различают понятие свободного и связанного вектора.
§ Связанный вектор -- представитель соответствующего класса.
§ Свободный вектор -- класс эквивалентности направленных отрезков.
Отношение эквивалентности, которое порождает данное фактормножество связанных векторов, является композицией отношений: параллельность, однонаправленность, равенство норм.это класс эквивалентности направленных отрезков.
В математике связанный вектор можно ввести аксиоматически как элемент линейного нормированного пространства. При таком подходе координаты вектора становятся вторичным понятием, определяемыми каккоэффициенты в разложении вектора по некоторому базису. Выбор базиса разложения, таким образом, соответствует выбору системы координат.
Операции над векторами
Модуль (евклидовая норма) вектора
Вектор в N-мерном евклидовом пространстве имеет координаты . Тогда нормавектора (или его длина) будет равна:
Сложение векторов (правило параллелограмма)
Пусть есть два вектора и . Построим равные им векторы и . Вектор называют суммой векторов и обозначают. Для операции сложения векторов выполняется свойстводистрибутивности.
Умножение вектора на число
Пусть дан вектор и действительное число б. Произведением называют такой вектор , что
§ ;
§ и коллинеарны;
§ и сонаправлены, если б > 0 и противоположно направлены, если б < 0.
Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением векторов и называют число , где -- угол между векторами и . Если известны координаты векторов в ортонормированной системе координат, то скалярное произведение выражается формулой .
Векторное произведение векторов
Векторным произведением векторов и называют вектор, имеющий длину , где --угол между векторами и , перпендикулярный векторам и и образующий с ними правую тройку векторов.
2. Задача № 1
Дано: координаты вершин треугольника: A(-1, -1, 0); B(0, -4, -3); C(0, -2, -4).
Написать уравнения сторон треугольника и найти его площадь.
Решение:
Уравнение прямой (в нашем случае стороны треугольника) в пространстве имеет вид:
=
Тогда уравнения сторон:
Площадь треугольника ABC равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и . Площадь параллелограмма, построенного на векторах и , есть модуль векторного произведения , а потому площадь треугольника ABC есть:
Проекции векторов и на координатные оси найдем по формулам:
ax = x2 - x1; ay = y2 - y1; az = z2 - z1,
Тогда:
Выражение векторного произведения через проекции векторов и на координатные оси прямоугольной системы координат дается формулой:
Найдем, что:
Модуль вектора через его проекции на оси прямоугольной системы координат вычисляется по формуле
Тогда модуль вектора :
кв. единиц
3. Задача № 2
скалярный вектор евклидовая аксиома
Найти производную:
Решение:
Формулы, которые используются при нахождении данной производной:
- производная от произведения
- производная от частного
- производная от сложной функции
Найдем производную, применяя формулы, приведенные выше:
*В решении обозначено:
Использованные источники
1. http://www.pm298.ru
2. http://ru.math.wikia.com
