Анализ пифагоровых троек

/

пифагорова тройка диофантовый уравнение

Анализ пифагоровых троек

Автор: Фильчев Э.Г.

1. Анализ пифагоровых троек

В настоящее время расчет пифагоровых троек производится с помощью формул

X = 2pq, Y = p² - q², Z = p² + q²

[Г. Эдвардс. Последняя теорема Ферма. Изд. МИР.М.1980. Стр.19].

По этим формулам можно находить пифагоровы тройки, однако представить эти тройки как упорядоченное множество достаточно затруднительно, т.к. необходимо производить перебор пар p и q.

Автором разработана Система mn параметров, в которой для расчета пифагоровых троек, предложены итерационные формулы

Подъем

X₁ = 2Z₀ + 2X₀ + Y₀, Y₁ = 2Z₀ + X₀ + 2Y₀ , Z₁ = 3Z₀ + 2X₀ + 2Y₀

X₂ = 2Z₀ - X₀ + 2Y₀, Y₂ = 2Z₀ - 2X₀ + Y₀ , Z₂ = 3Z₀ - 2X₀ + 2Y₀

X₃ = 2Z₀ + 2X₀ - Y₀, Y₃ = 2Z₀ + X₀ - 2Y₀ , Z₃ = 3Z₀ + 2X₀ - 2Y₀

Спуск

X₄ = I 2Z₀ - X₀ - 2Y₀ I, Y₄ = I 2Z₀ - 2X₀ - Y₀ I , Z₄ = 3Z₀ - 2X₀ - 2Y₀

Здесь, в качестве исходных значений можно принять

X₀ = 4, Y₀ = 3, Z₀ = 5, тогда

X₁ = 2•5 + 2•4 + 3 = 21,

Y₁ = 2•5 + 4 + 2•3 = 20,

Z₁ = 3•5 + 2•4 + 2•3 = 29

X₂ = 2•5 - 4 + 2•3 = 12,

Y₂ = 2•5 - 2•4 + 3 = 5, Z₂ = 3•5 - 2•4 + 2•3 = 13

X₃ = 2•5 + 2•4 - 3 = 15,

Y₃ = 2•5 + 4 - 2•3 = 8,

Z₃ = 3•5 + 2•4 - 2•3 = 17

В результате первой итерации получили три основных ПТ (пифагоровых треугольника)

ПТ₁ (21, 20, 29),

ПТ₂ (12, 5, 13),

ПТ₃ (15, 8, 17).

Для следующей итерации необходимо использовать полученные ПТ в качестве исходных данных. Так, для ПТ₁

Х₀ = 21, Y₀ = 20, Z₀ = 29

(см. ПТ₁), тогда, в результате расчета по итерационным формулам , получим

X₁ = 2•29 + 2•21 + 20 = 120, Y₁ = 2•29 + 21 + 2•20 = 119, Z₁ = 3•29 + 2•21

+ 2•20 = 169

X₂ = 2•29 - 21 + 2•20 = 77, Y₁ = 2•29 - 2•21 + 20 = 36, Z₁ = 3•29 - 2•21 +

2•20 = 85

X₃ = 2•29 + 2•21 - 20 = 80, Y₁ = 2•29 +21 - 2•20 = 39, Z₁ = 3•29 + 2•21 -

2•20 = 89

Подобный расчет необходимо провести для ПТ₂ и для ПТ₃. Тогда, в результате второй итерации получим 9 дополнительных ПТ.

Рис.1. Дерево основных пифагоровых треугольников

пифагоров тройка диофантовый уравнение

На Рис.1 представлен фрагмент дерева ПТ. Из данных этого рисунка видно, что для каждой ветви имеют место свои соотношения. Так, например, для нижней ветви имеем ПТ вид

ПТ(X, Y, X+1),

Y² = X + X+1 >Y² = 2X +1,

Y - нечетное число.

Так, для Y= 17421

Y² = 303491241

X = = = 151745620

имеем ПТ(151745620, 17421, 151745621)

Таким образом, при каждой последующей итерации число ПТ увеличивается в три раза, т.е.

? (ПТ) = 3⁰ + 3¹ + 3² + … +3^k,

где k - уровень дерева ПТ ( порядковый номер итерации).

На сайте в Google: “Главная страница-Система mn параметров “ приведена эффективная и небольшая Mathcad программа расчета более 1 миллиона ПТ. Все эти ПТ представляют упорядоченное множество. На Рис.1 видно, что на верхней ветви дерева ПТ находятся ПТ вида

ПТ(X + 1, X, Z). На нижней ветви - ПТ(X, Y, X + 1)

Отсюда вывод- необходимо провести анализ свойств дерева ПТ.

Анализ дерева ПТ

1. Нижняя ветвь

1.1 Нижняя ветвь- это ПТ вида

ПТ(X, Y, X + 1),

где Y - всегда нечетное число и

Y² = 2X + 1. (1)

Пример

Пусть Y = 3117

Y² = 9715689

= = 4857844 = X, Z = X + 1 = 4857845

4857844² + 3117² = 4857845² >ПТ( 4857844, 3117, 4857845)

Задача

Известное уравнение Пелля имеет вид

Y² - AU² = 1,

где (Y, A, U) - целые числа.

Необходимо предложить алгоритм решения уравнения Пелля если задано число А.

Эту задачу можно решить используя ПТ нижней ветви. Запишем уравнение Пелля в виде

Y² = AU² + 1

Сравнивая это уравнение с уравнением (1) получим AU² = 2X. Таким образом показано, что уравнение Пелля - это запись уравнения пифагорова треугольника нижней ветви дерева ПТ.

Примеры

1. Пусть Y = 3 > Y² = 9 > Y² = 2X + 1 > X = 4 > A = 2

2. Пусть Y = 5 > Y² = 25 >Y² = 2X + 1 > X = 12 > AU² = 24 = 6•4 >

A = 6

3. Пусть Y = 7 > Y² = 49 >Y² = 2X + 1 > X = 24 > AU² = 48 = 3•16 >

A₁ = 3. AU² = 48 = 12•4 > A₂ = 12 и т.д.

Выводы

1. Для любого заданного числа А решение уравнения Пелля находится на нижней ветви дерева ПТ.

2. В уравнение Пелля Y - нечетное число.

3. Любое уравнение Пелля можно записать в виде ПТ(X, Y, X + 1).

2. Виды пифагоровых треугольников (ПТ)

Алгоритм определения различных видов ПТ заключается в следующем

1. Производится расчет дерева ПТ. При этом массив задается путем выбора q_{max .}

2. Из массива п.1, производится выборка вида ПТ.

2.1 ПТ с одинаковыми значениями элементов

2.1.1 ПТ вида ПТ( А, Y, Z ). Таких ПТ имеется много. Ниже представлен фрагмент из 10 ПТ.

2.1.2 ПТ вида ПТ( X, A, Z ). Таких ПТ имеется много. Ниже представлен фрагмент из 10 ПТ.

2.1.3 ПТ вида ПТ( X, Y, A ). Таких ПТ имеется много. Ниже представлен фрагмент из 10 ПТ.

2.14 ПТ вида ПТ( X, Y, 1105 ). Таких ПТ имеется четыре

(1104, 47, 1105), ( 1073, 264, 1105), ( 943, 576, 1105), ( 817, 744, 1105)

Таблица 1

2.2 ПТ вида ПТ(X², Y, Z)

Таблица 2

2.3 ПТ вида ПТ(X, Y², Z)

Таблица 3

2.4 ПТ вида ПТ(X, Y, Z²)

Таблица 4

2.5 ПТ вида ПТ(X³, Y, Z)

Таблица 5

2.6 ПТ вида ПТ(X, Y³, Z)

Таблица 6

2.7 ПТ вида ПТ(X, Y, Z³)

2.8 ПТ вида ПТ(X⁴, Y, Z), ПТ(20736, 9823, 22945)

2.9 ПТ вида ПТ(X, Y⁴, Z)

2.1.10 ПТ вида ПТ(X, Y, Z⁴), ПТ(527, 336, 625)

2.1.11 ПТ вида ПТ(X⁵, Y, Z), ПТ(248832, 203095, 321193)

2.1.12 ПТ вида ПТ(X, Y⁵, Z), ПТ(255, 32, 257)

2.1.13 ПТ вида ПТ(X, Y, Z⁵), ПТ(1093425, 905768, 1419857)

2.1.14 ПТ вида ПТ(X, Y, Z⁶)

ПТ₁(11753, 10296, 15625) , ПТ₂(3455641, 3369960, 4826809)

2.1.15 ПТ вида ПТ(X, Y, Z⁷) ПТ(76443, 16124,78125).

3. Абиссальные системы диофантовых уравнений

В комментариях к десятой проблеме Гильберта Ю.И. Хмелевский пишет, что для системы уравнений

X² + AY² = U²

X² - AY² = V² (1)

до сих пор неизвестен алгорифм (алгоритм), распознающий по данному целому А, имеет система целочисленные решения или нет. [Проблемы Гильберта. Наука. М. 1960. Стр. 149].

Решение

Преобразуем систему (1)

(X² + AY² )•(X² - AY² ) = (U•V)²

X⁴ - (AY)² = (U•V)² >(U V )² + (AY)² = X⁴

это уравнение Пифагора

X² + AY = U², X² - AY = V².

Таким образом система уравнений (1) - это иная запись пифагоровой тройки у которой большая сторона равна квадрату целого числа. Этому условию соответствуют ПТ вида

ПТ(X, Y, Z²)

На дереве ПТ до 12 уровня включительно находится 265719 ПТ, при этом в этом массиве имеется 113 ПТ вида ПТ( X, Y, Z²). Наибольший из них -

ПТ(40044480, 24220081, 6841²)

Тогда

6841² + 625695 8² = 9319², 6841² - 625695•8² = 2599²

Здесь по аналогии с системой (1)

X = 6841, A = 625695, U = 9319, V = 2599