Дифференциальные уравнения и их решение

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Петрозаводский государственный университет»

Кольский филиал

Кафедра высшей математики

Контрольная работа

«Дифференциальные уравнения и их решение»

студента(ки) 2 курса (группа ЗИС-2008/5.5)

Иванова Дмитрия Валерьевича

Апатиты

2010

1. Задача 1

Выписать общий интеграл уравнения: .

Решение.

Преобразуем:

Это уравнение является однородным уравнением, т.к. коэффициенты при dx и dy есть однородные функции одного и того же измерения, т.е. и . Следовательно, его можно решить, используя подстановку . Вычислив , и подставив в исходное уравнение, получим:

Сократив на и, собирая члены, содержащие dy и dz, получим:

Разделим переменные, домножив выражение на множитель

:

.

Проинтегрировав обе части выражения, получим:

Применив свойства логарифмов, получим выражение:

.

Вернемся к исходной функции, учитывая, что , т.е. :

Таким образом, и есть общий интеграл исходного уравнения.

Ответ: .

2. Задача 2

Решить уравнение: .

Решение.

Исходное уравнение не является линейным относительно функции y. Разделим это уравнение на :

Таким образом, получилось неоднородное линейное уравнение, с неизвестной функцией x (т.е. ). Для решения данного уравнения воспользуемся методом Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной). Формула общего решения в нашем случае будет выглядеть следующим образом:

.

Используя эту формулу, получим:

Ответ: .

3. Задача 3

Решить задачу Коши: .

Решение.

Это неоднородное линейное уравнение. Для нахождения общего решения воспользуемся методом Лагранжа. Для этого составим однородное уравнение, соответствующее исходному неоднородному, а именно:

.

Разделим переменные:

.

Получилось уравнение вида , воспользовавшись формулами:

и ,

получим его общее решение:

,

.

Затем представим в этом уравнении произвольную С как функцию от t:

.

Для того, чтобы определить C(t) вычислим производную от :

Подставим получившиеся значения x и x' в исходное уравнение, получим:

.

Откуда можно найти С(t):

Таким образом, получаем общее решение исходного неоднородного уравнения:

.

Решим задачу Коши, используя начальные условия: или :

.

Следовательно, частное решение будет иметь вид:

дифференциальный уравнение интеграл лагранж эйлер

Ответ: .

4. Задача 4

Решить уравнение: .

Решение.

Это уравнение вида . Разрешимо относительно y'. Следовательно, его можно решить в параметрической форме. Введем параметр: , тогда: .

Тогда,

.

Отсюда:

Искомое решение определяется уравнением в параметрической форме:

Ответ: .

5. Задача 5

Найти общий интеграл уравнения: .

Решение.

Определим, является ли это уравнение уравнением в полных дифференциалах. Для этого проверим, выполняется ли условие Эйлера:

.

Здесь , а .

Вычислим производные и :

;

.

Условие Эйлера выполняется, следовательно, исходное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Предположим, что , т.е. . Отсюда:

.

Далее потребуем от обеспечения равенства . Тогда должно выполняться равенство:

, т.е.

или

.

Проинтегрируем, получившееся выражение:

.

Таким образом, искомая функция и соответственно общий интеграл исходного уравнения примет вид:

Ответ:

Список литературы

1. Агафонов С.А., Герман А.Д Муратова Т.В. Дифференциальные уравнения: Учеб. для вузов. 2-е изд. / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. -М.: Изд-во МГТУ им Н.Э. Баумана, 2000. - 348 с. (Сер. Математика в техническом университете; Вып. VIII). ISBN 5-7038-1649-1 (Вып. VIII), ISBN 5-7038-1270-4.

2. Терещенко С.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. /Учебно-методическое пособие для решения задач. / - Апатиты, Издание КФ ПетрГУ., 2003 г., 75 с.