Основные приемы интегрирования
Работа из раздела: «
Математика»
/
Задание 1
Найти неопределенные интегралы
Решение:
Сделаем замену
Воспользуемся формулой интегрирования по частям.
Вычислим получившиеся интегралы по отдельности:
Для последующих действий вычислим производную знаменателя
Значит, можем воспользоваться формулой:
Воспользуемся формулой интегрирования по частям.
Задание 2
Вычислить определенный интеграл:
- по формуле Ньютона-Лейбница;
- по формуле Симпсона с точностью 0,01, n = 10;
Решение:
Формула Ньютона-Лейбница
Сделаем замену
Формула Симпсона:
Разобьем интервал на 10 промежутков
|
х
|
f(x)
|
(xi+xi+1)/2
|
f((xi+xi+1)/2)
|
|
|
0
|
0,5
|
|
|
|
|
0,7
|
0,456
|
0,35
|
0,475
|
|
|
1,4
|
0,428
|
1,05
|
0,440
|
|
|
2,1
|
0,407
|
1,75
|
0,416
|
|
|
2,8
|
0,391
|
2,45
|
0,398
|
|
|
3,5
|
0,377
|
3,15
|
0,384
|
|
|
4,2
|
0,366
|
3,85
|
0,371
|
|
|
4,9
|
0,356
|
4,55
|
0,361
|
|
|
5,6
|
0,348
|
5,25
|
0,352
|
|
|
6,3
|
0,340
|
5,95
|
0,344
|
|
|
7
|
0,333
|
|
|
|
|
Формула Симпсона:
Формула Ньютона-Лейбница
Формула Симпсона:
Разобьем интервал на 10 промежутков
|
х
|
f(x)
|
(xi+xi+1)/2
|
f((xi+xi+1)/2)
|
|
|
1
|
5,745
|
|
|
|
|
2
|
6,000
|
1,5
|
5,852
|
|
|
3
|
6,403
|
2,5
|
6,185
|
|
|
4
|
6,928
|
3,5
|
6,652
|
|
|
5
|
7,550
|
4,5
|
7,228
|
|
|
6
|
8,246
|
5,5
|
7,890
|
|
|
7
|
9,000
|
6,5
|
8,617
|
|
|
8
|
9,798
|
7,5
|
9,394
|
|
|
9
|
10,630
|
8,5
|
10,210
|
|
|
10
|
11,489
|
9,5
|
11,057
|
|
|
11
|
12,369
|
|
|
|
|
Формула Симпсона:
Задание 3
Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
Решение:
Значит, можем воспользоваться формулой:
Воспользуемся формулой интегрирования по частям.
Интеграл расходится.
Задание 4
1. Вычислить площадь фигуры ограниченной кардиоидой
Решение:
Сделаем чертеж:
| |
0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6
|
5,598
|
5,121
|
4,5
|
3
|
1,5
|
0,879
|
0,402
|
0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,402
|
0,879
|
1,5
|
3
|
3,776
|
4,5
|
5,598
|
6
|
|
|
На промежутке
Вычислим площадь фигуры с пределами интегрирования а= и b= 0.
Ответ:
Задание 5
интеграл ньютон симпсон линия
Вычислить криволинейный интеграл
,
где L - путь, соединяющий точки А(1; 0) и В(0; 1) по
1) прямой ;
2) ломаной линии АСВ, где С(1; 1);
3) окружности
Решение:
1.
2.
Разбиваем замкнутый путь АСВА на три участка АС, СВ, ВА
На участке ОВ принимаем за параметр ординату, при этом х=1, dx=0, на участке СВ, абсциссу, при этом у=1, dy=0, на участке ВА ординату, при чем х=у, dx=dy
3. окружности
Задание 6
В двойном интеграле расставьте пределы интегрирования двумя способами (меняя порядок интегрирования) и вычислите интеграл.
Решение:
Сделаем чертеж области D:
I способ:
Расставим пределы интегрирования:
II способ:
Задание 7
С помощью двойного интеграла в полярных координатах найти область ограниченной данными линиями. Сделать чертеж.
Решение:
Сделаем чертеж:
Ответ:
Задание 8
Найти объем тела, ограниченного поверхностями с помощью тройного интеграла:
Решение:
Сделаем чертеж:
Ответ:
Список использованной литературы
1. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. - М.: АСТ: Астрель, 2006. - 991с.
2. Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Высшая математика. Под ред. А. И. Кирилова. - 3-е изд., испр. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 368с.
3. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. - М.: АСТ: Астрель, 2007. - 509с.
4. Красс М.С., Чупрыков Б.П. Математика для экономистов. - СПб.: Питер 2007. - 464с.
