Составление дифференциальных уравнений в САУ

/

Саратовский Государственный Технический Университет

Балаковский Институт Техники, Технологии и Управления

Кафедра ВМиМ

Специальность УИТ

Лабораторная работа №1

по дисциплине: Математические основы теории систем

Составление дифференциальных уравнений в САУ

Выполнила

студент гр.УИТ 3-в

Проверила

Соколова Татьяна Викторовна

Балаково 2008

Пусть задана некоторая гидравлическая система:

P1 - давление на входе системы;

Q1 - расход жидкости на входе системы;

R1 - удельное гидравлическое сопротивление системы;

P2 - давление жидкости подаваемой на объект управления;

Q2 - расход жидкости на выходе системы;

R2 - регулируемое гидравлическое сопротивление системы;

Q3 - расход жидкости подаваемое на объект управления;

Cпр - жесткость пружины;

yп - перемещение поршня.

Входной величиной является сопротивление R2, а выходной - yп.

Задание

Записать уравнение системы виде входа-выхода, т.е. получить зависимость: ,

задачу решить в символьном виде.

Решение

дифференциальное уравнение

Работа системы записывается с помощью следующих уравнений:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ,

где m - масса поршня;

Fn - сила действующая на пружину;

P0 - начальное давление жидкости.

В данной системе уравнений переменными являются yп, P2, Q1, Q2, Q3. Запишем параметры Q1, Q2, Q3 через установившееся состояние Q10, Q20 и Q30 и отклонение этих величин от установившегося значения через ДQ1, ДQ2, ДQ3, т.е.

Q1 = Q10 + ДQ1;

Q2 = Q20 + ДQ2;

Q3 = Q30 + ДQ3;

1) Рассмотрим уравнение:.

С учетом системы уравнений (1) запишем, что:

Q10 + ДQ1 = Q20 + ДQ2 + Q30 + ДQ3

отбросив установившийся режим получим:

ДQ1 = ДQ2 + ДQ3

2) Рассмотрим уравнение: .

Разложим это уравнение в ряд Тейлора:

где - совокупность членов ряда порядка производной выше первого.

Запишем переменную Р2 через установившееся состояние Р20 и отклонение от этого состояния ДР2:

Р2 = Р20 + ДР2

получим параметр:

Q1 = f(P2)

Предположим, что ДР2 = 0, тогда:

;

;

;

3) Рассмотрим уравнение: .

Чтобы разложить это уравнение в ряд Тейлора запишем параметры P2 и R2 через установившееся значение и отклонение от этих значений.

Р2 = Р20 + ДР2;

R2 = R20 + ДR2;

В установившемся состоянии: ДP2 = 0 и ДR2 = 0.

;

;

;

4) Рассмотрим уравнение: .

Нам дано, что . Выразим Q3, получим .

Так как , то .

Нам также известно, что и

.

С учетом всего этого запишем:

Запишем yп через установившееся состояние и отклонение от этого значения: .

В выражении (2) раскроем скобки:

.

Если мы запишем, что в установившемся состоянии Дyп = 0, то

(3)

5) Рассмотрим уравнение: .

Сделаем замену: и .

Запишем наше уравнение с учетом введенных обозначений:

.

Раскрывая скобки и отбрасывая установившийся режим, получим:

.

Выразим ДР2:

.

Подставим ДР2 в уравнение (3):

Раскрываем скобки: