Решение задачи в LINDO

КУРСОВАЯ РАБОТА

ПО Системному анализу и исследованию операций

Решение задачи в LINDO

Содержание

Введение

Постановка задачи

Описание модели

Решение задачи в LINDO

Решение основной задачи

Решение дополнительной задачи 1

Решение дополнительной задачи 2

Решение дополнительной задачи 3

Заключение

Список литературы

Введение

Современную науку невозможно представить себе без широкого применения математического моделирования. Сущность этой методологии состоит в замене исходного объекта его «образом» - математической моделью - и дальнейшем изучении модели с помощью реализуемых на компьютерах вычислительно-логических алгоритмов. Этот «третий метод» познания, конструирования, проектирования сочетает в себе многие достоинства как теории, так и эксперимента. Работа не с самим объектом (явлением, процессом), а с его моделью дает возможность безболезненно, относительно быстро и без существенных затрат исследовать его свойства и поведение в любых мыслимых ситуациях (преимущества теории). В то же время вычислительные (компьютерные, имитационные) эксперименты с моделями объектов позволяют, опираясь на мощь современных вычислительных методов, подробно и глубоко изучать объекты в достаточной полноте, недоступной чисто теоретическим подходам (преимущества эксперимента). Неудивительно, что методология математического моделирования бурно развивается, охватывая все новые сферы - от разработки технических систем и управления ими до анализа сложнейших экономических и социальных процессов.

Постановка задачи

Совхозу установлены закупочные цены и площади посева зерновых культур:

Пшеница - 1600 га;

Кукуруза - 2200 га;

Ячмень - 500 га;

Рожь - 200 га;

Просо - 150 га.

Совхоз располагает 4 участками, средняя урожайность культур на них определена для двух уровней затрат.

Размеры участков: соответственно 1200, 2100, 650, 800 га.

Требуется составить оптимальный план посева зерновых культур по участкам. Показать, как изменится решение, если весь второй участок засеять пшеницей с нижним уровнем затрат; ограничена общая сумма затрат.

Описание модели

Обозначим через XijL площадь, отведённую под i-й вид культуры на j-м участке для нижнего уровня затрат, а через XijH - площадь, отведённую под i-й вид культуры на j-м участке для верхнего уровня затрат. Так, выражение X23H=100 будет обозначать, что на 3-м участке отведено 100 га под кукурузу с верхним уровнем затрат.

Обозначим полный урожай i-го вида культуры через Gi.

где UijL и UijH - урожайность i-го вида культуры на j-м участке.

Тогда прибыль от продажи урожая i-го вида культуры будет составлять:

где Pi - это закупочная цена i-го вида зерна.

Затраты для i-го вида культур:

где RijL и RijH - это нижний и верхний уровень затрат для i-го вида зерновой культуры на j-м участке.

Теперь у нас есть все необходимые обозначения, чтобы определить критерий задачи: в данном случае нужно максимизировать прибыль (доход минус расход):

Далее нужно ввести ограничения модели. Ограничениями будут являться установленные площади посева и площади участков:

Решение задачи в LINDO

Решение основной задачи

Расчёты будем проводить в пакете LINDO. Для этого приведём описанные выше условия к виду, пригодному для ввода в программу:

Max 177.5X11L+122.5X12L+90X13L+57.5X14L+180X11H+133X12H+102.5X13H+35X14H+

220X21L+110X22L+80X23L+185X24L+270X21H+100X22H+95X23H+220X24H+

79X31L+46X32L+24.5X33L+19.5X34L+87X31H+63.1X32H+16X33H+23.1X34H+

125X41L+172X42L+95X43L+65X44L+150X41H+202X42H+106X43H+83X44H+

228X51L+94X52L+58X53L+22X54L+262X51H+141.6X52H+54X53H+27.6X54H

ST

!Установленные площади посевов

X11L+X11H+X12L+X12H+X13L+X13H+X14L+X14H=1600

X21L+X21H+X22L+X22H+X23L+X23H+X24L+X24H=2200

X31L+X31H+X32L+X32H+X33L+X33H+X34L+X34H=500

X41L+X41H+X42L+X42H+X43L+X43H+X44L+X44H=200

X51L+X51H+X52L+X52H+X53L+X53H+X54L+X54H=150

!Ограничения по площадям участков

X11L+X11H+X21L+X21H+X31L+X31H+X41L+X41H+X51L+X51H<=1200

X12L+X12H+X22L+X22H+X32L+X32H+X42L+X42H+X52L+X52H<=2100

X13L+X13H+X23L+X23H+X33L+X33H+X43L+X43H+X53L+X53H<=650

X14L+X14H+X24L+X24H+X34L+X34H+X44L+X44H+X54L+X54H<=800

End

При этом коэффициенты при XijL и XijH подставлены в модель уже пересчитанные из начального условия для сокращения модели.

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 20

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 814315.0

VARIABLE VALUE REDUCED COST

X11L 0.000000 100.000000

X12L 0.000000 10.500000

X13L 0.000000 12.500000

X14L 0.000000 170.000000

X11H 0.000000 97.500000

X12H 1250.000000 0.000000

X13H 350.000000 0.000000

X14H 0.000000 192.500000

X21L 0.000000 50.000000

X22L 0.000000 15.500000

X23L 0.000000 15.000000

X24L 0.000000 35.000000

X21H 1200.000000 0.000000

X22H 0.000000 25.500000

X23H 200.000000 0.000000

X24H 800.000000 0.000000

X31L 0.000000 128.600006

X32L 0.000000 17.100000

X33L 0.000000 8.100000

X34L 0.000000 138.100006

X31H 0.000000 120.599998

X32H 500.000000 0.000000

X33H 0.000000 16.600000

X34H 0.000000 134.500000

X41L 0.000000 221.500000

X42L 0.000000 30.000000

X43L 0.000000 76.500000

X44L 0.000000 231.500000

X41H 0.000000 196.500000

X42H 200.000000 0.000000

X43H 0.000000 65.500000

X44H 0.000000 213.500000

X51L 0.000000 58.099998

X52L 0.000000 47.599998

X53L 0.000000 53.099998

X54L 0.000000 214.100006

X51H 0.000000 24.100000

X52H 150.000000 0.000000

X53H 0.000000 57.099998

X54H 0.000000 208.500000

Представим полученное решение в виде таблицы:

При посеве во всех случаях используется верхний уровень затрат.

Решение дополнительной задачи 1

Вводится дополнительное условие: Ячмень можно сеять только на 3-м и на 4-м участках. В обозначениях данной модели это будет выглядеть так:

X31L=0.

X32L=0.

X31H=0.

X32H=0.

После добавления этого выражения в условие и решения модели получим следующий ответ (нулевые значения опущены):

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 807940.0

VARIABLE VALUE REDUCED COST

X12H 1600.000000 0.000000

X22L 150.000000 0.000000

X21H 1200.000000 0.000000

X23H 50.000000 0.000000

X24H 800.000000 0.000000

X33L 500.000000 0.000000

X42H 200.000000 0.000000

X52H 150.000000 0.000000

Представим полученное решение в виде таблицы:

При этом кукурузу на втором участке, а также ячмень на третьем следует сеять при нижнем уровне затрат. В этом решении суммарные затраты на посев меньше, но также меньше прибыль и чистый доход.

Решение дополнительной задачи 2

В этой задаче предполагается сократить площадь под кукурузу до 1800 га, а под ячмень увеличивается до 800 га. Тогда поменяется в модели условия:

X21L+X21H+X22L+X22H+X23L+X23H+X24L+X24H=2200

X31L+X31H+X32L+X32H+X33L+X33H+X34L+X34H=500

На

X21L+X21H+X22L+X22H+X23L+X23H+X24L+X24H=1800

X31L+X31H+X32L+X32H+X33L+X33H+X34L+X34H=800

Получается:

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 19

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 777605.0

VARIABLE VALUE REDUCED COST

X11H 50.000000 0.000000

X12H 1100.000000 0.000000

X13H 450.000000 0.000000

X21H 1000.000000 0.000000

X24H 800.000000 0.000000

X32H 800.000000 0.000000

X42H 200.000000 0.000000

X51H 150.000000 0.000000

При посеве во всех случаях используется верхний уровень затрат

Решение дополнительной задачи 3

Изменены одновременно затраты под пшеницу с 49 до 55, под ячмень с 53 до 62 и под просо с 98 до 80:

Критерий получится:

177.5X11L+122.5X12L+90X13L+57.5X14L+180X11H+127X12H+102.5X13H+35X14H+

220X21L+110X22L+80X23L+185X24L+270X21H+100X22H+95X23H+220X24H+

79X31L+46X32L+24.5X33L+19.5X34L+87X31H+54.1X32H+16X33H+23.1X34H+

125X41L+172X42L+95X43L+65X44L+150X41H+202X42H+106X43H+83X44H+

228X51L+94X52L+58X53L+22X54L+280X51H+141.6X52H+54X53H+27.6X54H

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 20

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 802315.0

VARIABLE VALUE REDUCED COST

X12H 1250.000000 0.000000

X13H 350.000000 0.000000

X21H 1200.000000 0.000000

X23H 200.000000 0.000000

X24H 800.000000 0.000000

X32H 500.000000 0.000000

X42H 200.000000 0.000000

X52H 150.000000 0.000000

Заключение

В ходе выполнения курсовой работы была составлена модель и получено решение поставленной задачи. Составленная модель относится к классу задач линейного программирования, так как критерий и все ограничения линейны. Для решения таких задач разработано несколько методик. В данном случае из-за большой размерности задача решалась на ЭВМ в пакете LINDO. оптимальный задача прибыль затрата

При решении основной задачи было получено распределение посевов по участкам и вычислено значение критерия: 814315 руб.

При решении первой доп. задачи вводится ограничение: Ячмень можно сеять только на 3-м и на 4-м участках. Затраты на посев уменьшились, но и доход тоже.

Во второй доп. задачи предполагается сократить площадь под кукурузу до 1800 га, а под ячмень увеличивается до 800 га, при этом затраты на посев уменьшились, но и доход тоже.

При решении третей доп. задачи были изменены одновременно затраты под пшеницу с 49 до 55, под ячмень с 53 до 62 и под просо с 98 до 80. В итоге так же затраты будут меньше, как и прибыль.

Список литературы

Ю.П. Зайченко, Исследование операций, Киев, изд-во «Высшая школа», 2010.

Линейное и нелинейное программирование. Под ред. И.Н.Лященко, Киев: Вища школа, 2009 - 372 с.

Учебное пособие “Оптимизация в LINDO”. А.Л.Гольдштейн 2007.