Олимпиадные задачи по математике за 8-9 классы

Работа из раздела: «Математика»

КУРСОВАЯ РАБОТА ПО АЛГЕБРЕ

«Олимпиадные задачи по математике за 8-9 классы»

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ШКОЛЬНЫЕ ОЛИМПИАДЫ 8-9 КЛАССОВ

1.1 Числовые ребусы

1.2 Восстановление цифр натуральных чисел

1.3 Четное и нечетное число

1.4 Признаки делимости

1.5 Деление с остатком

1.6 Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное

1.7 Простые и составные числа

1.8 Степень с натуральным показателем

1.9 Уравнения первой степени с двумя неизвестными в целых числах

1.10 Уравнения второй степени с двумя неизвестными в целых числах

1.11 Уравнения с несколькими неизвестными в натуральных числах

1.12 Неравенства в целых числах

ГЛАВА 2. РАЙОННЫЕ ОЛИМПИАДЫ

2.1 Принцип Дирихле. Принцип крайнего

2.2 Инварианты и раскраски

2.3 Графы

2.4 Игры. Стратегии

2.5 Логические задачи

2.6 Элементы комбинаторики

2.7 Многочлены

2.8 Тождественные преобразования. Преобразования выражений

2.9 Функции

2.10 Планиметрия

2.11 Уравнения

2.12 Неравенства

ГЛАВА 3. ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

математика задача олимпиада уравнение число

ВВЕДЕНИЕ

Олимпиады возникли в Древней Греции как состязания в ловкости, силе, красоте. Первая олимпиада состоялась 776 г. до н. э. Олимпиады проводились в Олимпии один раз в четыре года вплоть до 394 г. н. э., когда были запрещены в связи с распространением христианства. Вновь олимпиады возродились в 1896 г.

Различного рода состязания проводились не только в спорте. Хорошо известна любовь к состязаниям в решении задач как на Руси, так и во многих других странах мира. Математические соревнования по решению задач также называются олимпиадами, хотя они проводятся в настоящее время с периодом не в четыре года, а, как правило, ежегодно.

В России конкурсы по решению задач начали проводиться с 1886 г., в Венгрии и Румынии--с 1894 г., а в других странах значительно позже (в Беларуси - с 1950 г).

Развивающий потенциал олимпиадных задач неисчерпаем.

Несомненна польза занимательных заданий для того, чтобы сделать даже обычные уроки нескучными, душевно комфортными и при этом чрезвычайно насыщенными и эффективными. Бесспорна роль олимпиад в раскрытии творческого потенциала участника, в расширении его кругозора, развитии интереса к изучению предмета, в выявлении одаренных, творчески мыслящих учащихся.

Само словосочетание «одаренный ребенок» вызывает улыбку. В настоящее время ни у кого не вызывает сомнений важности и необходимости работы с одаренными детьми. Будущее страны зависит не столько от ее политических лидеров, сколько от наличия в данном обществе критической массы талантливых и одаренных людей, которые своей деятельностью обеспечивают общественный прогресс.

Хочется верить, что особая энергетика математических олимпиад всегда будет привлекать достаточное количество желающих в них участвовать. И любая квалифицированная помощь в этом направлении будет актуальна.

Решать самостоятельно и изучать решения других…Видимо, наивно полагать, что кто-то когда-то где-то даст окончательный универсальный рецепт решения любых олимпиадных нестандартных заданий. Если бы это произошло, само сочетание «нестандартная задача» потеряло бы смысл.

Говорить о методике подготовки к участию в олимпиадных соревнованиях можно только на основе обобщения собственного конкретного опыта, подкрепленного достаточно весомыми реальными результатами.

Решение олимпиадных задач служит хорошей подготовкой к будущей научной деятельности, заостряет интеллект. Роль олимпиад становится все более значимой.

Особенность олимпиадных задач состоит в том, что для их решения не требуется никаких знаний, выходящих за рамки школьной программы. Конечно, это верно лишь в некотором приближении -- такие «нешкольные» методы, как принцип математической индукции, уже давно не смущают составителей вариантов. Но если олимпиадные задачи не требуют специальных знаний, то что же тогда отличает олимпиаду по математике от соревнования по разгадыванию головоломок? Наше убеждение состоит в том, что, в отличие от головоломок, хорошие математические задачи глубоко связаны с важными разделами современной математики, иллюстрируют основополагающие математические принципы.

Нестандартные задачи могут быть побочными результатами математических исследований на переднем крае современной науки. В этом отношении составителям задач работать значительно проще, чем тем, кто отваживается на поиск решения. Более того, некоторые признанные сегодня педагогические авторитеты просто принципиально не возьмутся за решение нестандартных задач, считая для себя это занятие пустой тратой времени. И каждый из них будет по-своему прав. Ведь на самом деле на блестящее, всесторонне безупречное решение иной нестандартной задачи может уйти довольно много времени, а никакого нового знания и умения лично для них такое решение не принесет. Но тот, кто берется за подготовку учащихся, должен, по крайней мере, иметь в своем арсенале такие задачи собственного решения, которыми он мог бы гордиться.

С точки зрения вышесказанного, возможно, умеющим решать олимпиадные задания можно назвать того, кто этим заниматься достаточно регулярно, имеет опыт самостоятельного решения некоторых из них и большое желание решить еще хотя бы несколько. Как отмечал Джордж Пойа, нет ничего ценнее собственного опыта решений. [2, с.4]

Представляется возможность выделить семь основных взаимосвязанных факторов, способствующих успешному решению задач:

· объем фактических знаний;

· развитые воображение, фантазия, интуиция;

· опыт самостоятельных решений;

· навыки владения основными математическими операциями;

· знание основных классов нестандартных задач;

· постоянное совершенствование логических навыков;

· умение изучать, понимать и оценивать решения, предлагаемые другими.

Способность долго думать над задачей - одно из главных условий успешной работы в математике. В этой науке можно освоится, только если сам процесс учения, в частности решение задач, может доставить радость, несмотря на трудности и неудачи.

ГЛАВА 1. ШКОЛЬНЫЕ ОЛИМПИАДЫ 8-9 КЛАССОВ

1.1 ЧИСЛОВЫЕ РЕБУСЫ

Задачи на числовые ребусы--это те же знакомые вам задачи на восстановление записи при выполнении действий над натуральными числами, только цифры обозначаются не звездочками, а буквами. При этом добавляется важное условие: в одной и той же задаче одинаковые буквы означают одинаковые цифры, разные буквы--разные цифры. Причем первая цифра каждого числа должна быть отлична от нуля. Если задача имеет не один ответ, требуется найти их все.

Пример 1:

Решить ребус:

Присмотримся к последнему столбцу: в нем стоит одна и та же цифра А. Чему же она равна? Только нулю.

А теперь обратим внимание на второй столбец: в нем аналогичное положение с цифрой О. Отсюда О равна нулю или 9. Но первая возможность отпадает; остается О = 9.

Для нахождения К рассмотрим первый столбец. Очевидно, К отлична от нуля и не превосходит 4. Тогда К принимает одно из значений 1, 2, 3, 4. Разберем четыре случая.

1) Пусть К =1.

Получаем, что в третьем столбце Л = 9, поскольку во втором столбце должно быть 9 + 9 + 1 = 19. Но тогда Д = 0, а это невозможно.

2) Пусть К = 2.

Подставим в ребус значения К = 2, А = О, О = 9.

Из третьего столбца 2 + Л=10 + Д, Л = 8 + Д.

Отсюда Д = 0 или Д = 1, соответственно Л = 8 или Л = 9. Но обе эти возможности исключаются.

3) Пусть К = 3.

Получаем:

Тогда 3 + Л=10 + Д, Л = 7 + Д, а значит, Д = 1, Л = 8. Кроме того, В = 7.

4) Пусть К = 4.

Следовательно, В = 9. Но последнее невозможно.

Итак, решение получается только в третьем случае.

Ответ:

3930 + 3980 = 7910

Пример 2.

Восстановите запись: АВ•АВ = АСС.

Давайте подумаем: когда произведение АВ * АВ начинается той же цифрой А, что и число АВ? Это возможно только при А = 1.

А когда такое произведение оканчивается двумя одинаковыми цифрами? Это возможно в двух случаях: 10•10=100, 12•12=144.

Но первый вариант отпадает, так как тогда В = С = 0, а разные буквы должны обозначать разные цифры.

Ответ:

12•12= 144

Задачи

1.Восстановите записи:

Ответ:

а) 90909+10101=101010 б) 8126+8126=16252

2.Ребус не имеет решения. Почему?

Ответ:

Всего различных цифр--10 (от 0 до 9), а в ребусе их 11

3.Решить числовой ребус

**5

1**

2**5

+13*0

***

4*77*

Ответ:

325*147=47775

4.Решите ребусы

Ответ:

а) 6823+6823=13646 б) 18969+18969=37938 в) 649750*3=1949250

5.Рассмотрим запись

Из какого наименьшего количества елок может состоять ЛЕСОК?

(Буквы Е и Ё обозначают одну и ту же цифру)

Ответ:

Из трех

6.Восстановить запись: ТОРГ•Г=ГРОТ

Ответ:

1089*9=9801

7.Решите ребус: СИ•СИ=СОЛЬ

Ответ:

98*98=9604

8.Решите ребусы: а) СИГ²=СЕМГА б) СОМ²=ОГОГО

Ответ:

а) 128²=16384 б) 264²=69696

9.Восстановите запись: ААА^А=********

Ответ:

333³=36926037

10.Решите ребусы: а) ЯП^О=НИЯ б) И^Н=ДИЯ в) С^О=РОКА

Ответ:

а) 19²=361 б) 2⁷=128 в) 7⁴=2401

11.Решите ребус:

Ответ:

12.Число КУБ является кубом натурального числа, а число БУК простое. Какие это числа, если одинаковые буквы означают одинаковые цифры, а разные буквы--разные цифры?

Ответ:

125 и 521

13.Восстановить зашифрованные цифры: ТР^И=ИКС

Ответ:

17²=289

14.Заменить буквы цифрами так, чтобы равенство БЕСЫ=(Б+Е+С+Ы)⁴ оказалось верным.

Ответ:

Б=2, Е=4, С=0, Ы=1

15. Решить ребусы:

а) АВ•А=ССС б) А•В•АВ=ВВВ в) АА•АВС•ВС=АВСАВС

Ответ:

а) 37•3=111 б) 3•7•37=777 в) 77•713•13=713713

1.2 ВОССТАНОВЛЕНИЕ ЦИФР НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Здесь мы встретимся с задачами на арифметические действия над натуральными числами, где часть цифр чисел известна, а большая часть нет. Будем обозначать неизвестные цифры звездочками. Нужно найти все цифры, обозначенные звездочками; если ответов несколько, то требуется найти их все.

Любопытно проследить, как в задаче, где порой известны две-три, а то и одна цифра, а неизвестных цифр много, удается найти эти цифры -- почти из ничего получить все.

В задачах этой темы предполагается, что первая цифра каждого числа отлична от нуля.

Пример 1.

Восстановить запись:

Сначала найдем вторую цифру делителя. Так как она при умножении на 7 дает число, оканчивающееся на 8, то эта цифра равна 4.

А чему равна первая цифра делителя? Очевидно, 1 или 2. Если первая цифра делителя 1, то 14 при умножении на 7 дает двузначное число 98, а должно давать трехзначное число. Значит, этот случай невозможен.

Пусть первая цифра делителя равна 2. Найдем первую цифру частного. Она равна 1, поскольку 24 при умножении на эту цифру дает число 2*. Наконец, делимое легко найти, умножая делитель 24 на частное 17.

Ответ:

408 : 24 = 17

Пример 2.

Найдите неизвестные цифры в записи:

Первая цифра суммы может быть равна только 1. Тогда первая цифра второго слагаемого -- 9. Отсюда первая цифра второго множителя равна 5, а следовательно, второе слагаемое -- 95. Тогда первая цифра первого слагаемого равна 5. Поэтому вторая цифра второго множителя равна 3.

Ответ: 19•53 =1007.

Задачи:

1.Восстановите записи:

Ответ:

а) 97•11=1067 б) 23•34=782 в) 58•91=5278 г) 19•59=1121

2.Восстановите запись:

Ответ:

120•98=11760 или 115•98=11270

3.Восстановите запись:

Ответ:

а) 124•97=12028 б) 19•53=1007 в) 505•101=51005

4.Восстановите пример на умножение натуральных чисел, если известно, что сумма цифр у обоих сомножителей одинакова.

Ответ:

2231•26=58006

5. Можно ли какие-либо десять чисел расставить в кружки данной фигуры так, чтобы сумма чисел в вершинах любого черного треугольника была равна 1996, а сумма чисел в вершинах любого белого треугольника была равна 1997?

Ответ:

Нельзя

6.Восстановите записи:

а) *1* б) **3

3*2 **3

*3* 3**

+3*2* +*3*

*2*5 **3

1*8*3* *****

Ответ:

а) 415•382=158530 б) 113•133=15029

7.Восстановить запись: *3•3*=3**

Ответ:

13•30=390

8.Восстановить запись **

** *1_

****

Ответ:

91•11=1001 или 13•77=1001

9.Восстановить запись 91•**=***

Ответ:

91•10=910

10.Восстановить записи: а) **•*-*=1 б) ***•9=***

Ответ:

а) 10•1-9=1 б) 101•9=909, 111•9=999

11.Сколько всех решений имеет задача ***•9=*** ?

Ответ:

12.В примере на умножение допущена ошибка. Откуда это видно?

Ответ:

Вторая цифра второго множителя ровна 9, но его первая цифра должна быть больше 9, а это невозможно

13.Восстановить запись

Ответ:

11868:12=989

14.На какое наименьшее натуральное число нужно умножить число 7 для того, чтобы получить число, записывающимися одними девятками.

Ответ:

На 142857

15.На какое наименьшее натуральное число нужно умножить число 12345679 для того, чтобы получить число, состоящее из одних пятерок.

Ответ:

1.3 ЧЕТНОЕ И НЕЧЕТНОЕ ЧИСЛО

Обычно четные и нечетные числа связывают только с натуральными числами. Здесь мы распространим их на любые целые числа.

Целое число называется четным, если оно делится на 2, и нечетным, если оно на 2 не делится.

Например, число 6 -- четное, число 0 -- четное, 5 -- нечетное, число --1 -- тоже.

Любое четное число можно представить в виде 2а, а любое нечетное -- в виде 2а + 1 (или 2а - 1), где число а -- целое.

Два целых числа называются числами одинаковой четности, если оба они четные или оба нечетные. Два целых числа называются числами разной четности, если одно из них четное, а другое нечетное.

Рассмотрим свойства четных и нечетных чисел, важные для решения задач.

1. Если хотя бы один множитель произведения двух (или нескольких) чисел четен, то и все произведение четно.

2. Если каждый множитель произведения двух (или нескольких) чисел нечетен, то и все произведение нечетно.

3. Сумма любого количества четных чисел -- число четное.

4. Сумма четного и нечетного чисел -- число нечетное.

5. Сумма любого количества нечетных чисел -- число четное, если число слагаемых четно, и нечетное, если число слагаемых нечетно.

Пример

В пятиэтажном доме с четырьмя подъездами подсчитали число жителей на каждом этаже и, кроме того, в каждом подъезде. Могут ли все полученные 9 чисел быть нечетными?

Обозначим число жителей на этажах соответственно через a₁,a₂,a₃,а₄,a₅, a число жителей в подъездах соответственно через b₁,b₂,b₃,b₄. Тогда общее число жителей дома можно подсчитать двумя способами -- по этажам и по подъездам: а₁ + а₂ + а₃ + а₄ + а₅ = b₁ + b₂+ b₃ + b₄.

Если бы все эти 9 чисел были нечетными, то сумма в левой части записанного равенства была бы нечетной, а сумма в правой части -- четной. Следовательно, это невозможно.

Ответ: не могут

Задачи

1.Можно ли число 1 представить в виде суммы + + + , где a, b, c, d--натуральные числа?

Ответ:

Нельзя

2.Найдите все целые p и q при которых трехчлен f(x)=x²+px+q принимает при всех целых х: а) четные б) нечетные значения.

Ответ:

а) p нечетно q четно б) p и q нечетно

3. Дано 125 чисел, каждое из которых равно 1 или 3. Можно ли их разбить на

две группы так, чтобы суммы чисел, входящих в каждую группу, были равны?

Ответ:

Нельз

4.Страницы книги пронумерованы подряд, от первой до последней. Гриша вырвал из разных мест книги 15 листов и сложил номера всех 30 вырванных страниц. У него получилось число 800. Когда он сказал об этом Мише, тот заявил, что Гриша при подсчете ошибся. Почему Миша прав?

Ответ:

Сумма номеров всех страниц нечетна

5.По кругу сцепили несколько шестеренок. Смогут ли они одновременно

вращаться, если их: а) 5; б) 6?

Ответ:

а) не смогут б) смогут

6. В шести коробках лежат шарики: в первой -- 1, во второй -- 2, в третьей -- 3, в четвертой -- 4, в пятой -- 5, в шестой -- 6. За один ход разрешается в любые две коробки прибавить по одному шарику. Можно ли за несколько ходов уравнять количество шариков во всех коробках?

Ответ:

Нельзя

7.Числа a и b нечетные. Каким будет число a²+b+1?

Ответ:

Нечетное

8.Кузнечик прыгал вдоль прямой и вернулся в исходную точку (длина прыжка 1 м). Докажите, что он сделал четное число прыжков.

Ответ:

Поскольку кузнечик вернулся в исходную точку, количество прыжков вправо равно количеству прыжков влево, поэтому общее количество прыжков четно.

9.Существует ли замкнутая 7-звенная ломаная, которая пересекает каждое свое звено ровно один раз?

Ответ:

Не существует

10.Петя купил общую тетрадь объемом 96 листов и пронумеровал все ее страницы от 1 до 192. Его младший брат вырвал из тетради все листы и разбросал по комнате. Петя подобрал наугад с пола 25 листов и сложил все 50 чисел, которые на них написаны. Могло ли у него получиться 2006?

Ответ:

Нет

11.Сколько существует четырехзначных чисел, не делящихся на 1000, у которых первая и последняя цифры четны?

Ответ:

1996

12. Можно ли разменять 125 рублей при помощи 50 купюр достоинствами 1, 3, и 5 рублей?

Ответ:

Нельзя

13.Вдоль забора растут 8 кустов малины. Число ягод на соседних кустах отличается на 1. Может ли на всех кустах вместе быть 225 ягод?

Ответ:

Нет

14. Можно ли выпуклый 13-угольник разрезать на параллелограмм?

Ответ:

Нельзя

15. Сумма нескольких последовательных четных чисел ровна 100. Найти эти числа.

Ответ:

22+24+26+28=100, 16+18+20+22+24=100

1.4 ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ

Вспомним известное из школьного курса математики определение: говорят, что целое число а делится на целое число b, не равное нулю, если существует такое целое число m, что а = bm.

Число а называется делимым, число b -- делителем, число m -- частным. В этом случае говорят также, что число а кратно числу b. Тот факт, что число а делится на число b, будем обозначать так: аb.

А теперь вспомним признаки делимости натуральных чисел:

-делимость натурального числа на 2 равносильна тому, что его последняя цифра четная;

-делимость натурального числа на 5равносильна тому, что его последняя цифра -- 0 или 5;

-делимость натурального числа на 10 равносильна тому, что оно оканчивается цифрой 0;

-делимость натурального числа на 25 равносильна делимости на 25 числа, образованного двумя его последними цифрами;

-остаток от деления натурального числа на 3 (на 9) совпадает с остатком от деления суммы его цифр на 3 (на 9);

-делимость натурального числа на 4равносильна делимости на 4 числа, образованного двумя его последними цифрами;

-делимость натурального числа на 8равносильна делимости на 8 числа, образованного тремя его последними цифрами;

-делимость натурального числа на 11 равносильна делимости на 11 разности между суммой его цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах (другими словами, делимости на 11 знакочередующейся суммы всех его цифр).

Пример

К числу 43 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное четырехзначное число делилось на 45. Найдите все решения.

Обозначим неизвестные цифры через а и b. Тогда четырехзначное число можно записать в виде.

По признаку делимости на 5 b = 0 или b = 5. Рассмотрим оба случая.

1) Пусть 6 = 0. Полученное число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр, равная а + 7, делится на 9. Отсюда а =2.

2) Пусть b = 5. Аналогично находим, что а = 6.

Ответ:

четырехзначное число равно 2430 или 6435

Задачи

1.Найдите все значения цифр, обозначенных звездочками, если число 4•8•2 делится на 88.

Ответ:

0,3 или 7,7

2.Найдите все значения цифр х и у, при которых число делится на 198.

Ответ:

х=1, у=0

3.Из натурального числа вычли сумму его цифр, а затем у полученной разности вычеркнули одну цифру. Сумма оставшихся цифр разности равна 131. Какую цифру вычеркнули?

Ответ:

4. У трехзначного числа, делящегося на 45, разность между второй и первой цифрами равна разности между третьей и второй. Найдите все такие трехзначные числа.

Ответ:

135, 630 или 765

5.Найдите все трехзначные числа, делящиеся на 11, у которых сумма цифр делится на 11.

Ответ:

209, 308, 407, 506, 605, 704, 803, 902

6.Найдите все значения цифр а и b, при которых число делится на 99.

Ответ:

a=9, b=4

7.Найдите все значения цифры а, если число делится на 11.

Ответ: 4

8.Найдите наименьшее натуральное число, которое записывается одинаковыми цифрами и делится на 18.

Ответ:

666

9.Найдите наименьшее натуральное число, которое записывается

одинаковыми цифрами и делится на: а) 72, б) 693.

Ответ:

а) 888888888 б) 333333

10.Пятизначное число делится на 72, причем три его цифры -- единицы.

Найдите все такие числа.

Ответ:

41112, 14112, 11016, 11160

11.Пятизначное число делится на 315, причем три его цифры -- четверки.

Найдите все такие числа.

Ответ:

44415

12.Найдите значения х и у в числе 12х3у4, если оно кратно 599.

Ответ:

х=9, у=8

13.Какие две цифры можно приписать к числу 1313 справа, чтобы полученное шестизначное число делилось на 53?

Ответ:

5, 4 или 8, 7

14.Найти наименьшее натуральное число вида n³+3n²-4, делящееся на 19.

Ответ:

19²•16=5776

15.Сколько существует двузначных чисел, делящихся на произведение своих цифр?

Ответ:

5 чисел: 11, 12, 24, 36, 15

1.5 ДЕЛЕНИЕ С ОСТАТКОМ

При решении многих задач на делимость деление с остатком используется часто.

Теорема о делении с остатком читается следующим образом.

Для любых натуральных чисел а и b существует, и притом единственная, такая пара целых неотрицательных чисел q и r, где r<b, что a = bq + r. (1)

При этом число а называется делимым, b -- делителем, q -- частным (неполным частным), г -- остатком.

В случае, когда натуральное число a делится на натуральное число b:

a = bq (qN), (2) можно считать, что получилось равенство вида (1), когда г = 0, т. е. равенство (2) -- частный случай равенства (1).

Сформулируем равенство (1) словами: делимое равно произведению делителя на частное, сложенному с остатком.

Пример 1.

Найдите все натуральные числа, при делении которых на 6 в частном получится то же число, что и в остатке.

Обозначим искомое число через а, частное и одновременно остаток через q. Тогда а = 6q + q = 7q.

Казалось бы, ответом являются все натуральные числа, делящиеся на 7. Однако это не так, поскольку остаток q должен удовлетворять неравенству

0 < q < 6. Полагая q = 1, 2, 3, 4 и 5, находим все возможные значения а.

Ответ:

7, 14,21,28,35

Пример 2.

Докажите, что два различных натуральных числа при делении на их

разность дают одинаковые остатки.

Обозначим эти числа через а и b, где а > b. Тогда

a = (a-b)q₁+r₁

b = (a-b)q₂ + r₂

Вычтем почленно эти равенства: a-b=(a-b) (q₁-q₂)+(r₁-r₂)

Отсюда разность r₁- г₂делится на a-b.

Но r₁< a-b, r₂< a-b, поэтому разность г₁- г₂ по модулю меньше а-b. Следовательно, она может делиться на а-b только в одном случае, когда г₁-г₂ = 0, г₁=г₂.

Задачи

1.При делении натурального числа а на 2 в остатке получается 1, а при делении на 3 -- остаток 2. Какой остаток получится при делении а на 6?

Ответ:

2. Натуральное число n при делении на 6 дает остаток 4, а при делении на 15 -- остаток 7. Найдите остаток отделения n на 30.

Ответ:

3. Натуральное число а -- четное, не делящееся на 4. Найдите остаток от деления а² на 32.

Ответ:

4. Какой остаток дает 5¹⁰⁰⁰ при делении на 11?

Ответ:

5. Чему равен остаток от деления числа на 6?

Ответ:

6. Найдите остаток от деления: а) 2¹⁰⁰⁰ на5; б) З¹²⁸ на 11; в) 4⁹³ на 13.

Ответ:

а) 1 б) 5 в) 12

7.Найдите остаток от деления 2003•2004•2005+2006³ на 7.

Ответ:

8.Найдите остаток от деления 9¹⁰⁰ на 8.

Ответ:

9.При делении чисел 1108, 1453, 1844 и 2281на натуральное число а получится один и тот же остаток. Найти все значения а.

Ответ:

10.Если числа 826 и 4373 разделить на одно и тоже натуральное число, то получатся соответственно остатки 7 и 8. Найти все значения делителя.

Ответ:

11.Частное от деления трехзначного числа на сумму его цифр равно 13, а остаток 15. Найти все такие трехзначные числа.

Ответ:

106, 145, 184

12.Найти наименьшее натуральное число, которое при делении на 1997 дает в остатке 97, а при делении на 1998--остаток 98.

Ответ:

3988106

13.Четырехзначчное число делится на 7 и 29. После умножения на 19 и деления нового числа на 37 получится остаток 3. Найти все такие четырехзначные числа.

Ответ: 5075

14.Двузначное число при делении на цифру единиц дает в частном цифру единиц, а в остатке цифру десятков. Найти все такие двузначные числа.

Ответ:

15.Когда трехзначное число, у которого две первые цифры одинаковые, а третья равна 2, разделили на однозначное число, то в остатке получили 8. Найти делимое, делитель и частное. Укажите все решения.

Ответ:

332, 9, 36

1.6 НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ И НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ

Вспомним определения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного.

Наибольшим общим делителем двух или нескольких натуральных чисел называется наибольшее из натуральных чисел, на которое делится каждое из данных чисел.

Обозначение наибольшего общего делителя чисел а и b: НОД(а, d).

В частном случае, когда наибольший делитель двух чисел равен 1, эти числа называются взаимно простыми.

Наименьшим общим кратным двух или нескольких натуральных чисел называется наименьшее из натуральных чисел, которое делится на каждое из данных чисел.

Обозначение наименьшего общего кратного двух чисел а и b: НОК(а, b).

Пример 1:

Найдите наибольший общий делитель всех девятизначных чисел, в записи которых каждая из цифр 1, 2, 3,..., 9 встречается по одному разу.

Обозначим этот наибольший общий делитель через d.

Из всех девятизначных чисел указанного вида возьмем только два -- 123456798 и 123456789.

Так как эти числа делятся на d, то и их разность, которая равна 9, делится на d:

9:d. Отсюда d = 1, d = 3 или d = 9.

Какой из этих случаев дает ответ? Для выяснения истины определим с помощью признаков делимости на 3 и на 9, делится ли каждое из девятизначных чисел на 3 или 9. С этой целью найдем сумму цифр любого из них: 1 + 2 + 3+...+ 9 = 45.

Поскольку 45 делится на 9, то каждое из девятизначных чисел делится на 9. Из предыдущего следует, что 9 является их наибольшим делителем.

Ответ:

Пример 2:

Найдите наименьшее общее кратное натуральных чисел п и п + 3.

Ответ зависит от того, чему равен наибольший общий делитель чисел n и n + 3.

Он равен 1, если n не делится на 3, и 3, если n делится на 3.

Ответ:

n(n + 3), если п не делится на 3, и (n + 3), если n делится на 3.

Задачи:

1.Найти наибольший общий делитель чисел 111111 и 111111111.

Ответ:

111

2.Найдите все пары натуральных чисел, сумма которых ровна 288, а наибольший общий делитель--36.

Ответ:

252, 36, 180, 108

3. Найти наибольший общий делитель чисел 121212 и 121212121212.

Ответ: 121212

4.Среди первых ста натуральных чисел найти 3 различные числа, наименьшее общее кратное которых наибольшее из всех возможных.

Ответ:

97, 99, 100

5. Три теплохода заходят в порт после каждого рейса. Первый теплоход совершает рейс за 4 дня, второй -- за 6, третий -- за 9. Однажды они встретились в порту все вместе. Через какое наименьшее число дней они снова встретятся в порту все вместе?

Ответ:

Через 36 дней

6. Отец и сын шли по занесенной снегом дороге друг за другом. Длина шага отца -- 80 см, сына -- 60 см. Их шаги совпали 601 раз, в том числе в самом начале и в конце пути. Какое расстояние они прошли?

Ответ:

1 км 440 см

7. Покупатель хотел купить у продавщицы все имеющиеся у нее яйца и спросил, сколько у нее яиц. Та ответила, что не помнит, но знает, что если яйца раскладывать по 2, 3, 4, 5 или 6, то каждый раз в остатке остается одно яйцо. Какое наименьшее число яиц могло быть у продавщицы?

Ответ:

8. Найдите все пары натуральных чисел, если их сумма равна 60, а наименьшее общее кратное -- 72.

Ответ:

24 и 36

9. Найдите все пары натуральных чисел, наибольший общий делитель которых равен 24, а наименьшее общее кратное -- 360.

Ответ:

24 и 360, 72 и 120

10. Найдите наименьшую дробь, при делении которой на каждую из дробей -- и

получаются натуральные числа.

Ответ:

11. Два школьника вышли одновременно из пункта А и отправились друг за другом по занесенной снегом тропинке. Шаг одного из них равен 75 см, другого -- 65 см. В первый раз их шаги совпали через 18 сек. после начала движения, а после 10 мин. движения их шаги совпали впервые в пункте В. Найдите расстояние АВ.

Ответ:

331,5 м

12.Найдите наибольший общий делитель чисел 2¹⁹⁹⁵ -1 и 2¹⁹⁹⁸ -1.

Ответ: 7

13.На какое число и при каких натуральных n сократим дробь ? Найдите все решения.

Ответ:

На 2 при всех нечетных n

14. Пусть а и b -- натуральные числа, а > b и числа а + b и а-b взаимно просты. Найдите все значения наибольшего общего делителя чисел а и b.

Ответ:

15. Натуральные числа аи b взаимно просты. Найдите все значения наибольшего общего делителя чисел 11а + 2b и 18а + 5b.

Ответ: 1 и 19

1.7 ПРОСТЫЕ И СОСТАВНЫЕ ЧИСЛА

Вспомним соответствующие определения.

Натуральное число, большее 1, называется простым, если оно делится только на 1 и на само себя. Натуральное число называется составным, если оно имеет больше двух различных делителей.

Принято считать, что число 1 не относится ни к простым, ни к составным числам. Отсюда следует, что множество натуральных чисел можно разбить на такие три подмножества: множество простых чисел, множество составных чисел и множество, содержащее единственный элемент 1.

Справедлива следующая теорема.

Любое натуральное число, большее 1, можно, и притом единственным образом, представить в виде произведения простых чисел.

Это предложение называется основной теоремой арифметики натуральных чисел.

Среди простых делителей натурального числа могут быть равные, и их произведение можно записать в виде степени. Тогда разложение натурального числа а на простые множители можно представить в следующем виде:

где -различные простые числа, -натуральные.

Пример 1:

Натуральные числа а и b таковы, что 31a=54b. Докажите, что число а + b составное.

Так как число 31а делится на 54 и числа 31 и 54 -- взаимно простые, то а делится на 54: а = 54n, где nN. Тогда 31•54•n = 54b, b= 31n.

Отсюда a+b=54n+31n=85n, а следовательно, число а + b является составным.

Пример 2:

Найдите все натуральные n, при которых число а²- 10a + 21 простое.

Разложим этот квадратный трехчлен на линейные множители:

а²- 10a + 21=(a-3)(a-7)

Отсюда видно, что данное число, вообще говоря, составное. А когда оно простое? Когда один из множителей равен 1, а другой -- простому числу или когда один из них равен -- 1, а другой равен --p, где число р -- простое. Переберем все случаи.

1)Пусть a-3= 1.

Тогда а = 4, откуда а -7 = -3. Получилось, что число а² - 10a + 21 отрицательно. Значит, этот случай невозможен.

2)Пусть a-7= 1.

Тогда а = 8, а - 3 = 5, где 5 -- число простое. Следовательно, значение а = 8 удовлетворяет требованию задачи.

3) Положим а-3 = -1.

В этом случае а = 2, а-7 = -5. Так как число 5 -- простое, то значение а = 2 также

подходит.

4) Пусть а-7 = -1.

Тогда а = 6, а-3 = 3. Поскольку здесь (а -- 3)(а -- 7) < 0, то этот случай невозможен.

Ответ:

8, 2

Задачи:

1.Простое число разделено на 21 с остатком. Найдите все значения остатка, являющиеся составными числами.

Ответ:

4, 8, 10, 16, 20

2.Может ли быть составным числом остаток от деления простого числа на а) 30 б) 60

Ответ:

а) не может б) может, если остаток равен 49

3.Простое или составное число 2⁸⁰+3⁸⁰?

Ответ:

составное

4.Натуральные числа a, b, c, d таковы, что ab=cd. Может ли число a+b+c+d быть простым?

Ответ:

не может

5.Является ли число 4⁹+6¹⁰+3²⁰ простым?

Ответ:

является

6.Найти такое простое число p, что p²+9 тоже простое.

Ответ:

р=2

7.Простым или составным является число 20²⁰⁰⁷+1?

Ответ:

составным

8.Найти все целые n, при которых модуль числа n²-7n+10--число простое.

Ответ:

3, 4

9. Найти все натуральные n, при которых число n⁴+4 составное.

Ответ:

все n?1

10.Найти все целые х, для которых 8•3-12•2+6х-217 простое число.

Ответ:

при х=4

11.На какое наибольшее число натуральных слагаемых можно разложить число 96 так, чтобы все слагаемые были больше 1 и попарно взаимно просты?

Ответ:

на 7

12.Доказать, что для любого натурально n найдется такое число а, что an+4 составное.

Указание:

достаточно взять а=n+4

13.P и Q--различные простые числа. Сколько делителей у числа

а) PQ б) P²Q в) P²Q² г) PⁿQ^m?

Ответ:

а) 4 б) 6 в) 9 г) (n+1)(m+1)

14.P--простое число. Сколько существует натуральных чисел

а) меньших P и взаимно простых с ним

б) меньших P² и взаимно простых с ним

Ответ:

а) условия выполняются для Р-1 числа б) выполняются для Р(Р-1) числа

15.Натуральные числа а и b удовлетворяют условию 15а=32b. Может ли число а-b быть простым?

Ответ:

Может, если а=32, b=15

1.8 СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ

Здесь мы встретимся с задачами на степени целых, главным образом натуральных чисел с натуральными показателями.

Назовем точной степенью степень целого числа с натуральным показателем, большим 1. В частности, квадрат и куб целого числа будем называть точным квадратом и точным кубом.

Пример 1:

Сумма двузначного числа и его обращенного -- точный квадрат. Найдите все такие числа.

Сложим двузначное число ab с его обращенным:

+ = (10а + b) + (10b + а) = 11(а + b)

Так как число 11(а + b) -- точный квадрат, то сумма а + b делится на 11. Но поскольку а и b являются цифрами, то она равна 11: а + b = 11.

Далее нетрудно перебрать все возможные случаи, связанные с а и b.

Ответ:

29, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 92

Пример 2:

Натуральное число записывается с помощью 10 шестерок и нескольких нулей. Может ли оно быть точной степенью?

Сумма цифр этого числа равна 60. Тогда на основании признаков делимости на 3 и на 9 число делится на 3, но не делится уже на 3²= 9. Следовательно, оно не является ни точным квадратом, ни точным кубом, ни вообще точной степенью с каким-либо натуральным показателем, большим 1.

Ответ:

не может

Задачи:

1.Какой точный квадрат равен произведению четырех последовательных нечетных чисел?

Ответ:

9=(-3)•(-1)•1•3

2.Может ли произведение n(n+1) при каком-либо натуральном n быть точной степенью?

Ответ:

не может

3. Четырехзначное число -- точный квадрат, причем две первые его цифры одинаковы и две последние тоже одинаковы. Найдите все такие числа.

Ответ:

7744=82²

4. Натуральное число оканчивается на 316. Может ли оно быть точным кубом?

Ответ:

не может

5.Найдите наибольшее значение n, при котором последовательность с общим членом х_n=n²-n+19 является точным квадратом?

Ответ:

n=19

6.Разность между трехзначным числом и суммой его цифр есть полный квадрат. Найти все такие числа.

Ответ:

для у² возможны значения 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. Из этих значений всего получим 70 чисел

7.Найдите двузначное число, если сумма его цифр состоит из одинаковых чисел, а сумма квадратов его цифр, увеличенная на 10, равна самому числу.

Ответ:

8.При каких значениях a и b многочлен х⁴+ах³+bx²-8x+1 обращается в точный квадрат?

Ответ:

а₁=-8, а₂=8, b₁=18, b₂=14

9. Какие остатки могут давать при делении на 4: а) сумма; б) разность двух точных квадратов?

Ответ:

а) 0, 1 или 2 б) 0, 1 или 3

10. Существует ли такое натуральное n, что 6n -- точный куб, а 8n -- точная четвертая степень?

Ответ:

существует, например n=209952

11. Наборщик рассыпал часть набора -- набор пятизначного числа, являющегося точным квадратом, записывающимся цифрами 1, 2, 5, 5 и 6. Найдите все такие пятизначные числа.

Ответ: 125²=15625

12.Верно ли, что число 2004•2005•2006•2007+1 является точным квадратом?

Ответ:

верно

13.Доказать, что выражение является целым числом--квадратом.

Ответ:

А=4=2²

14.Показать, что многочлен (х+а)(х+2а)(х+3а)(х+4а)+а⁴ есть квадрат трехчлена.

Указание:

показать, что данный многочлен имеет вид (х²+Вх+Са²)². Далее раскрыть скобки.

15.Существует ли четырехзначное число-квадрат, у которого сумма цифр равна числу, образованному первыми двумя цифрами, причем, первые два и последние два числа, также являются квадратами.

Ответ:

1681

1.9 УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ

В данной теме мы займемся решением уравнений первой степени с двумя неизвестными в целых числах. Общий вид такого уравнения:

ах + by = с,

где а, b, с -- данные целые числа, х и у -- неизвестные, принимающие только целые значения.

Пример:

Имеются контейнеры двух видов: по 130 кг и 160 кг. Сколько было контейнеров первого и сколько второго вида, если вместе они весят 3 тонны? Укажите все решения.

Обозначим количество контейнеров первого вида через х, второго -- через у.

Получаем уравнение

130х + 160у = 3000, 13х+ 16у = 300.

Попробуем воспользоваться делимостью на 13. Для этого 16у представим в виде

13у + 3у, а 300 разделим на 13 с остатком:

13х+13у + 3у=13•23+ 1, 13у- 1 = 13•23-13х-13у.

Правая часть последнего уравнения делится на 13, следовательно, и левая его часть должна делиться на 13. Для того чтобы найти значения у, при которых разность 13у - 1 делится на 13, применим перебор. При этом проще не придавать у последовательные значения 1, 2, 3 и т. д., а приравнивать 13у - 1 к числам, делящимся на 13: 13, 26, 39, 52, 65 и т. д., выясняя каждый раз, является ли корень соответствующего уравнения целым или дробным. Целые корни получаются в следующих случаях:

Зу-1 = 26, у = 9; Зу-1 = 65, у = 22

и др. Но уже значение у = 22 слишком велико, так как в этом случае 16у=16•22 = 352>300.

При у = 9 из уравнения можно найти х: 13х+16•9 = 300, 13х=156, х=12.

Ответ:

12 контейнеров по 130 кг и 9 по 160 кг

Задачи:

1.Решите в целых числах уравнения:а) ху - Зх + 2у = 13; б) ху = 5х + 4у + 3; в)

Ответ:

а) (5, 4), (-1, 10), (-9, 2), (-3, 4)

б) (5, 28), (3, -18), (27, 6), (-19, 4)

в) (6, 30), (30, 6), (4, -20), (10, 10), (-20, 4)

2.Длины сторон прямоугольника выражаются целыми числами, а периметр численно равен площади. Найдите все такие прямоугольники.

Ответ:

длины сторон прямоугольника равны 6, 3 или 4, 4

3.Решите в целых числах уравнение 3ху+у=7х+3

Ответ:

(0, 3), (-1, 2)

4. Решите в целых числах уравнения:

а) х + у = 2ху б) х + 2у = 3ху + 1.

Ответ:

а) (1, 1), (0, 0) б) (1, 0)5.Решите в натуральных числах уравнение

Ответ:

(999, 999•1997), (999•1997, 999), (1997, 1997)

6.На базе имеются несколько грузовых автомобилей одинаковой грузоподъемности, выражающейся целым числом тонн. Для перевозки груза каждый автомобиль сделал одно и то же число рейсов, а затем 7 машин сделали еще по 12 рейсов каждая. Если бы каждая машина сделала на 6 рейсов больше, то для перевозки в два раза меньшего груза потребовалось бы на 7 машин меньше. Сколько автомобилей было на базе?

Ответ:

7.Решить систему уравнений

+=7

3х+2у=23

Ответ:

(5, 4), (-9, 25)

8.Решить уравнение в целых числах х+у=ху

Ответ:

(0, 0), (2, 2)

9. Определите день и месяц рождения некоего человека, если у него сумма произведений числа месяца на 12 и номера месяца на 31 равна 436.

Ответ:

26 апреля

10. При стрельбе по мишени стрелок выбивает только по 8, 9 и 10 очков. Всего он, сделав более 11 выстрелов, выбил 100 очков. Сколько выстрелов сделал стрелок, и какие были попадания?

Ответ:

12 выстрелов, 9 попаданий по 8 очков, 2--по 9, 1--10 очков

11. Решите в целых числах х и у уравнения:

а) 11х + 7у = 1; б) 11x-60у = 7; в) 81х+25у=1

Ответ:

а) х=2-7t, y=11t-3 (t)

б) x=60t+17, y=11t+3 (t)

в) x=25t-4, y=13-81t (t)

12.Найдите все решения уравнения 5х-7у=3 в целых числах х и у.

Ответ:

x=7t-12, y=5t-9, где t--любое целое число

13.Сколько точек с целочисленными координатами, удовлетворяющими условию х > 0,

у > 0 лежит на прямой:

а) Зх + 4у = 133; б) 7х + 24у = 1408?

Ответ:

а) 11 б) 8

14. Пол шириной 3 м нужно устлать досками шириной 11 и 13 см так, чтобы между ними не оставалось промежутков. Сколько нужно досок того и другого размера?

Ответ:

19 досок первого размера, 7--второго или 6 досок первого размера, 18--второго

15. Требуется проложить трассу газопровода на участке длиной 450 м. В распоряжении строителей имеются трубы длиной 9 и 13 м. Сколько труб той и другой длины нужно взять для прокладки трассы, чтобы число сварных швов было минимальным? Трубы резать не следует.

Ответ:

11 девятиметровых и 27 тринадцатиметровых труб

1.10 УРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ

Общий вид уравнения второй степени с двумя неизвестными --

ах² + bxy + су² + dx + ey +f= 0,

где а, b, с, d, e,f-- данные числа, причем среди коэффициентов a, b и с по меньшей мере один отличен от нуля.

Пусть все эти шесть коэффициентов -- числа целые. Будем заниматься решением таких уравнений в целых числах х и у.

Пример:

Докажите, что уравнение 3х²=16у²+ 8у+ 5 не имеет решений в целых числах.

Дополним сумму 16х²+ 8у в правой части уравнения до квадрата суммы:

Зх² = (16у²+ 8у + 1) + 4, Зх² = (4у + 1)² + 4.

Отсюда видно, что сумма 4у + 1 не делится на 3. Тогда (4у + 1)² при делении на 3

дает в остатке 1: (4у+1)² = Зk+1, где k -- целое неотрицательное число. Получаем:

Зх² = 3k + 1 + 4, Зх² = Зk + 5.

Но последнее равенство невозможно ни при каких целых х и k, так как его левая

часть делится на 3, а правая не делится.

Задачи:

1.Решите в целых числах уравнение 2х²-2ху + 9х + у = 2.

Ответ:

(1, 9), (2, 8), (0, 2), (-1, 3)

2. Имеет ли уравнение х² + 2ху = 2002 решение в целых числах?

Ответ:

не имеет

3.Решить в целых числах уравнение ху²-7(х+у²)=1

Ответ:

(32, -3), (32, 2)

4.Решить уравнение (у-2х)=х²+у²+

Ответ:

х=-, у=

5.Решить систему уравнений

49х²+36у²-14ху-266х-102у+501=0

7х²-3у²+11ху+73х-93у+135=0

Ответ:

(3, 2)

6.Решить уравнение х²=у^у+2у+13

Ответ:

(4, 1), (4, -3), (-4, 3), (-4, -1)

7. В шахматном турнире в один круг участвовали два ученика 9 класса и несколько учащихся 10 класса. Два девятиклассника набрали вместе 8 очков, а все десятиклассники набрали по одинаковому числу очков. Сколько десятиклассников участвовали в турнире? Приведите все ответы.

Ответ: 7 или 14

8. Приведите пример уравнения вида: ах² + bху + сх + dy + е = 0, где а, b, с, d, е -- данные целые числа, а?0, которое имеет бесконечное множество решений в целых числах х и у.

Ответ:

например, (х-у-1)(х+3)=0

9. Решите в целых числах уравнение х² -у² =1997.

Ответ:

(999, 998), (999, -998), (-999, -998), (-999, 998)

10. Решите в целых числах уравнения:

а)х²-Зху + 2у= 11; б) Зх² + 4ху- 7у²= 13

Ответ:

а) (21, 10), (9, 10), (-21, -10), (-9, -10)

б) (2, 1), (-2, 1).

11. Найдите натуральное число, которое становится точным квадратом, если к нему прибавить любое из чисел 145 и 98. Укажите все такие числа.

Ответ:

431

12. Решите в целых числах уравнение 5х² + 4ху + у² = 121

Ответ:

(0, 11), (0, -11), (11, -22), (-11, 22)

13.Решите в целых числах уравнение х²-ху+у²=х+у

Ответ:

(1, 2), (2, 2), (0, 0), (1, 0), (0, 1), (2, 1)

14. Решите в целых числах уравнение у²=х²-х+1

Ответ:

(0, 1), (0, -1), (1, 1), (1, -1)

15. Решите в целых числах уравнения:

а) х² - ху + х - 2у + 3 = 0; б) х + у² = ху; в) у² + 2ху = 2х + 2; г) х² - 2ху + 4х + 3у - 2 = 0.

Ответ:

а) (-1, 3), (-3, -9), (3, 3), (-7, -9)

б) (4, 2), (0, 0)

в) (-1, 2), (-1, 0)

г) (2, 10), (1, -3), (4, 6), (-1, 1), (14, 10), (-11, -3)

1.12 НЕРАВЕНСТВА В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ

Иногда приходится решать в целых числах не уравнения, а неравенства. Так, при решении уравнений первой степени с двумя неизвестными в натуральных числах мы нередко решали эти уравнения в целых числах, а затем для выделения решений в натуральных числах решали систему двух неравенств первой степени с одним

неизвестным в целых числах. Необходимость в этом возникает и при решении некоторых других уравнений в целых числах. Например, при решении в натуральных числах уравнения z -- х + у -- ху приходится решать в натуральных числах неравенство

х + у - ху > 0. Наконец, встречаются текстовые задачи, решение которых сводится к решению в целых (а чаще натуральных) числах неравенств или систем неравенств.

Пример:

Решите в целых числах x,y и z неравенство

Соберем все члены неравенства в левой части: х² +у² + z² -ху - 3у - 2z + 3 < 0.

Заменим это неравенство следующим: х² + у² + z² -ху - 3у - 2z + 4 ? 0.

Полученное неравенство при целых х, у и z равносильно предыдущему. Теперь выделим в левой части квадраты сумм. Полезно предварительно умножить неравенство на 4.

Ясно, что сумма в левой части последнего неравенства отрицательной быть не

может, она может только равняться нулю. Тогда

Находим отсюда х, у и z: у = 2, х=1, z=l.

Ответ:

(1, 2, 1)

Задачи:

5. Решите в целых числах х и у систему неравенств

Ответ:

(0, 0), (2, 0), (1, 1)

6. Решите систему неравенств в натуральных числах х и у.

Ответ:

(1, 2)

7. Сколько решений в целых числах х и у имеет неравенство

Ответ:

181

8. Три одноклассника купили 13 пирожков, причем Костя купил в два раза меньше Толи, а Володя -- больше Кости, но меньше Толи. Сколько пирожков купил каждый из них?

Ответ:

3, 4, 6

9. В гараже 40 автомобилей разных типов: грузовые, легковые и автобусы. Автобусов меньше, чем легковых машин, а легковых машин в 12 раз меньше, чем грузовых. Найдите число автомобилей каждого типа.

Ответ:

36 грузовых, 3 легковых, 1 автобус

10. На одинаковых грузовиках перевезли 10 560 кг груза. Легковых автомобилей было на 6 меньше, чем грузовиков, и они перевезли 560 кг груза. Сколько было легковых автомобилей, если каждый из них перевозил груза меньше, чем грузовик, более чем на 1 т и машины грузились равномерно?

Ответ:

11. В отчете о лыжных соревнованиях говорится, что процент участников, прошедших дистанцию до конца, заключен в пределах от 94,2 % до 94,4 % участников. (Некоторая неопределенность этих данных объясняется неясностью с выступлениями отдельных участников.) Каково наименьшее число участников соревнований?

Ответ:

12. Найдите два натуральных числа, если их произведение заключено между 200 и 240, а отношение -- между 20 и 24. Укажите все решения.

Ответ:

(67, 3), (68, 3), (69, 3), (70, 3), (71, 3)

13. Сколько решений в целых числах имеет неравенство

Ответ:

14. Найдите два натуральных числа, если их произведение заключено между 120 и 130, а отношение -- между 2 и 3. Укажите все решения.

Ответ:

18 и 7

15. Решите в целых числах х, у и z систему неравенств

Ответ:

(0, 0, 0), (1, 1, 1)

ГЛАВА 2: РАЙОННЫЕ ОЛИМПИАДЫ

2.1 ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ. ПРИНЦИП КРАЙНЕГО

Принцип крайнего.

Особые, крайние объекты часто служат «краеугольным камнем» решения.

Так, например, рассматривают наибольшее число, ближайшую точку, угловую точку, вырожденную окружность, предельный случай. Поэтому полезно сразу рассматривать особые, крайние объекты. В задачах на метод крайнего работает метод минимального контрпримера: допустим, утверждение задачи неверно. Тогда существует минимальный в некотором смысле контрпример. И если окажется, что его можно уменьшить, то получится искомое противоречие.

Принцип Дирихле.

Принцип Дирихле (по имени П.Г.Л.Дирихле) принцип ящиков--предложение удовлетворяющее, что в случае m>n при отнесении каждого из m предметов к одному из n классов хотя бы в один класс попадет не менее двух предметов. Это чрезвычайно простое предложение применяется при доказательстве многих важных теорем теории чисел, относящихся к приближению иррациональных чисел рациональными, в доказательстве трансцендентных чисел и других вопросах.

Пример:

В магазин привезли 25 ящиков с тремя разными сортами яблок (в каждом ящике яблоки только одного сорта). Доказать, что среди них есть по крайней мере 9 ящиков с яблоками одного и того же сорта.

25 ящиков-«кроликов» рассадим по трем клеткам-сортам. Так как 25 = 3 · 8 + 1, то применим «обобщенный принцип Дирихле» для N= 3, k = 8 и получим, что в какой-то клетке-сорте не менее 9 ящиков.

Задачи

1.Дано 8 различных натуральных чисел, каждое из которых не больше 15. Докажите, что среди их положительных попарных разностей есть три одинаковых.

Указание:

Здесь необходимо использовать дополнительное соображение: в клетке с номером 14 может сидеть не более одного кролика, ведь число 14 может быть записано только как разность двух натуральных чисел, не превосходящих 15, лишь одним способом: 14 = 15-1

2. Вшколе 400 учеников. Докажите, что хотя бы двое из них родились в один день года.

3.На Земле океан занимает больше половины площади поверхности. Докажите, что в мировом океане можно указать две диаметрально противоположные точки.

Указание:

Отразите океан симметрично относительно центра Земли. Сумма площадей океана и его образа превышает площадь земной поверхности

4. На собеседование пришли 65 школьников. Им предложили 3 контрольные работы. За каждую контрольную ставилась одна из оценок: 2, 3, 4 или 5.Верно ли, что найдутся два школьника, получившие одинаковые оценки на всех контрольных?

Ответ:

верно

5. В каждой клетке шахматной доски записано число. Оказалось, что любое число равно среднему арифметическому чисел, записанных в соседних (по стороне) клетках. Докажите, что все числа равны.

Указание:

рассмотрите наибольшее из чисел

8. Из точки внутри выпуклого многоугольника опускают перпендикуляры на его стороны или их продолжения. Докажите, что хотя бы один перпендикуляр попадёт на сторону.

Указание:

рассмотрите ближайшую точку границы.

9.В квадрате со стороной 10 отметили 201 точку. Докажите, что какие-то три выбранных точки можно накрыть квадратом со стороной 1.

Указание:

нужно разбить квадрат на 100 квадратов со стороной 1

10. Десять команд играют в футбольном турнире, проходящем в один круг. Докажите, что в любой момент найдутся две команды, сыгравшие в этом турнире одинаковое количество матчей.

2.2 ИНВАРИАНТЫ И РАСКРАСКИ

Инвариант--величина, которая не изменяется в результате некоторых операций (например, разрезание и перестановка частей фигур не меняет суммарной площади). Если инвариант различает два положения, то от одного нельзя перейти к другому. В качестве инварианта может использоваться чётность или раскраска.

Говорят, что фигура покрашена в несколько цветов, если каждой точке фигуры приписан определённый цвет. Бывают задачи, где раскраска уже дана, например для шахматной доски, бывают задачи, где раскраску с данными свойствами нужно придумать, и бывают задачи, где раскраска используется как идея решения.

Пример 1:

Из шахматной доски вырезали две противоположные угловые клетки. Докажите, что оставшуюся фигуру нельзя разрезать на «домино» из двух клеток. Каждая фигура «домино» содержит одну белую и одну чёрную клетку. Но в нашей фигуре 32 чёрных и 30 белых клеток (или наоборот).

Пример 2:

Можно ли круг разрезать на несколько частей, из которых сложить квадрат? (Разрезы это участки прямых и дуги окружностей.)

Рассмотрим инвариант: разность сумм длин вогнутых и выпуклых граничных дуг всех частей. Эта величина не изменяется при разрезании одной части на две и при складывании одной части из двух. Для единичного круга этот инвариант равен 2, а для квадрата--нулю. Поэтому «квадратура круга» невозможна.

Задачи:

1.Можно ли доску 10х10 разрезать на прямоугольники 4х4?

Ответ:

нельзя

2.Можно ли покрыть шахматную доску доминошками (прямоугольниками 1х2) так, чтобы свободными остались только клетки а1 и h8?

Ответ:

нельзя

3.Можно ли расставить числа от 1 до 9 в клетки квадраты 3х3 так, что сумма любых двух чисел, стоящих в соседних клетках (имеющих общую сторону), была простым числом?

Ответ:

нельзя

4.Написанное на доске четырехзначное число можно заменить на другое, прибавить к двум его соседним цифрам по единице, если ни одна из этих цифр не ровна 9, либо вычтя из соседних двух цифр по единице, если ни одна из них не ровна 0. Можно ли с помощью таких операций из числа 1234 получить число 2002?

Ответ:

нельзя

5.На доске написаны числа 1, 2 и 4. Разрешается стереть с доски два числа а и b, а вместо них записать числа и . Можно ли с помощью таких операций получить на доске числа , 2 и 3?

Ответ:

нельзя

6. На доске были написаны три числа. Когда их стерли и написали их произведение, сумму и сумму их попарных произведений, оказалось, что на доске снова написаны те же числа. Какие числа могли быть первоначально написаны на доске?

Ответ:

-1, -1 и 1 или 0, 0 и х, где х--любое действительное число

7. Можно ли разрезать квадрат на несколько равных прямоугольных треугольников с острым углом 30°?

Ответ:

нельзя

8. Вася отметил 10 клеток в квадрате 10 х 10. Всегда ли Петя может вырезать из этого квадрата по линиям сетки 20 фигурок вида так, чтобы они не содержали отмеченные клетки? (Петя может вырезать фигурки разных типов.)

Ответ:

не всегда

9. Куб 1x1x1 полностью оклеили шестью квадратами общей площадью 6. Обязательно ли все эти квадраты равны?

Ответ:

не обязательно

10. Дан куб 6 Ч 6 Ч 6. Найдите максимально возможное число параллелепипедов

4 Ч 1 Ч 1 (со сторонами параллельными сторонам куба), которые можно поместить в этот куб без пересечений.

Ответ:

2.3 ГРАФЫ

Во многих ситуациях удобно изображать объекты точками, а связи между ними--линиями или стрелками. Такой способ представления называется графом. Например, схема метро --это граф. Точки называют вершинами графа, а линии--ребрами.

Вершину называют чётной, если из неё выходит чётное число рёбер и нечётной в противном случае. Граф называют связным, если между любыми вершинами существует путь, состоящий из рёбер графа, ориентированнымесли на каждом ребре указано направление, плоским --если он нарисован на плоскости и его ребра не пересекаются (во внутренних точках).

Пример:

В стране Радонежии некоторые города связаны между собой авиалиниями. Из столицы выходит 1985 авиалиний, из города Дальнего --одна, а из остальных городов --по 20 линий. Докажите, что из столицы можно добраться до Дальнего (быть может, с пересадками).

Рассмотрим множество городов, до которых можно добраться из столицы. Это граф: его вершины--города, ребра--авиалинии, их соединяющие. Из каждой вершины графа выходит столько рёбер, сколько всего авиалиний выходит из соответствующего города. Граф содержит нечётную вершину --столицу. Поскольку число нечётных вершин в графе чётно, в нем есть ещё одна нечётная вершина. Этой вершиной может быть только город Дальний.

Задачи:

1. Между 9 планетами Солнечной системы введено космическое сообщение. Ракеты летают по следующим маршрутам: Земля -- Меркурий, Плутон -- Венера, Земля -- Плутон, Плутон - Меркурий, Меркурий - Венера, Уран - Нептун, Нептун - Сатурн,

Сатурн -- Юпитер, Юпитер -- Марс и Марс -- Уран. Можно ли добраться (возможны пересадки) с Земли до Марса?

Ответ6

нет

2. Сколькими способами, двигаясь по указанным отрезкам, можно кратчайшим путем переместиться из точки А в точку В?

Ответ:

10-ю способами

3. Доска имеет форму креста, который получается, если из квадратной доски 4x4 выкинуть угловые клетки. Можно ли ходом шахматного коня обойти эту доску и вернуться на исходное поле, побывав на всех полях ровно по одному разу?

Ответ:

да

4. В деревне есть 15 телефонов, а АТС отсутствует. Можно ли телефоны соединить проводами так, чтобы каждый телефон был соединен ровно с пятью другими?

Ответ:

невозможно

5. В классе 30 человек. Может ли быть так, что 9 из них имеют по 3 друга (в этом классе), 11 - по 4 друга, а 10 - по 5 друзей.

Примечание. Если Петя друг Васи, то Вася - друг Пети.

Ответ:

нет

6. В стране Семерка 15 городов, каждый из которых соединен дорогами не менее, чем с 7 другими. Можно ли из любого города можно добраться до любого другого (возможно,

проезжая через другие города).

Ответ:

нельзя

7. Можно ли нарисовать графы, изображенные на рисунках, не отрывая карандаша от бумаги?

Ответ:

можно, можно, нельзя

8.Можно ли так расставить фишки в клетках доски 8х8, чтоб в любых двух столбцах количество фишек было одинаковым, а в любых двух--различным?

Ответ:

можно

9.В футбольном первенстве Мячландии изъявили желание участвовать сразу 2008 команд. Причем турнир решено провести так, что каждая команда встречается со всеми другими по одному разу. Может ли случится так, что в какой-то момент времени каждая из участвующих команд сыграет ровное количество матчей?

Ответ:

ситуация, описанная в задаче не существует ни в Мячландии ни в какой либо другой стране

10. В Тридевятом царстве лишь один вид транспорта -- ковер-самолет. Из столицы выходит 21 ковролиния, из города Дальний -- одна, а из всех остальных городов по 20. Можно ли из столицы долететь в Дальний (возможно с пересадками)?

Ответ:

можно

2.4 ИГРЫ, СТРАТЕГИИ

При изложении решения игровых задач школьники испытывают большие трудности. Ведь необходимо, во-первых, грамотно сформулировать стратегию, а во-вторых, доказать, что она действительно ведет к выигрышу. Поэтому задачи-игры очень полезны для развития разговорной математической культуры и четкого понимания того, что означает «решить задачу».

Во всех встречающихся играх предполагается, что играют двое, ходы делаются по очереди (игрок не может пропускать ход). Ответить всегда нужно на один и тот же вопрос -- кто побеждает: начинающий (первый) игрок или его партнер (второй)? В дальнейшем

это оговариваться не будет.

Пример:

Двое по очереди разламывают шоколадку 5х 10. За ход разрешается сделать прямолинейный разлом любого из имеющихся кусков вдоль углубления. Выигрывает тот, кто первым отломит дольку lxl.

В этой игре проигрывает тот, кто отломит кусок шириной 1. Выигрывает первый игрок. Первым ходом он разламывает шоколадку на два куска 5x5, а далее проводит симметричную стратегию.

Ответ:

выигрывает 1-ый игрок

Задачи:

1.Двое ломают шоколадку 6х 8. За ход разрешается сделать прямолинейный разлом любого из имеющихся кусков вдоль углубления. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Проигравший игрок покупает сопернику шоколадку.

Ответ:

34 хода

2. Двое по очереди ставят ладей на шахматную доску так, чтобы ладьи не били друг друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Ответ:

последний выигрывает, ход будет сделан 2-ым игроком

3. На доске написано 10 единиц и 10 двоек. За ход разрешается стереть две любые цифры и, если они были одинаковыми, написать двойку, а если разными -- единицу. Если последняя оставшаяся на доске цифра - единица, то выиграл первый игрок, если двойка - то второй.

Ответ:

выигрывает 2-ой игрок

4. На доске написаны числа 25 и 36. За ход разрешается дописать еще одно натуральное число -- разность любых двух имеющихся на доске чисел, если она еще не встречалась. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Ответ:

игра буде продолжаться в 34 хода и выигрывает 2-ой игрок

5. Двое по очереди кладут пятирублевые монеты на стол симметричной формы, причем так, чтобы они не накладывались друг на друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Ответ:

выигрывает 1-ый игрок

6. Двое по очереди ставят слонов в клетки шахматной доски так, чтобы слоны не били друг друга. (Цвет слонов значения не имеет). Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Ответ:

выигрывает 2-ой игрок

7. Двое ставят королей в клетки доски 9х 9 так, чтобы короли не били друг друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Ответ:

выигрывает 1-ый игрок

8. Король стоит на поле al. За один ход его можно передвинуть на одно поле вправо, или на одно поле вверх, или на одно поле по диагонали «вправо -- вверх». Выигрывает тот, кто поставит короля на поле h8.

Ответ:

выигрывает 1-ый игрок

9. В коробке лежат 300 спичек. За ход разрешается взять из коробки не более половины имеющихся в нем спичек. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Ответ:

выигрывает тот, у кого остается 2ⁿ-1 спичка

10. У ромашки а) 12 лепестков; б) 11 лепестков. За ход разрешается оторвать либо один лепесток, либо два рядом растущих лепестка. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Ответ:

выигрывает 2-ой игрок в обоих случаях

2.5 ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

Логические задачи стоят несколько особняком среди математических задач: в них как правило отсутствуют вычисления. Однако решение логических задач является обязательным компонентом подготовки к решению олимпиадных задач. Главной задачей преподавателя при рассмотрении этого раздела является формирование культуры мышления. Очень важно, чтобы даже младшеклассники не путали причину со следствием, тщательно проводили перебор вариантов, правильно строили цепочку рассуждений.

Как правило у логической задачи имеется единственный ответ. Обратимся к примеру.

Пример:

В трех урнах лежат шары: в одной - два белых, в другой -- два черных, в третьей - белый и черный. На урнах висят таблички: ББ, ЧЧ и БЧ так, что содержимое каждой из урн не соответствует табличке. Как, вытащив один шар, определить, в какой урне какие шары лежат?

Вытащим шар из урны с надписью БЧ. Если вытащенный шар окажется белым, то в этой урне лежат два белых шара, в урне с надписью ББ не может быть белого и черного шаров, поскольку при этом в урне с надписью ЧЧ содержимое совпадает с надписью. Делаем вывод о том, что в урне с надписью ББ лежат два черных шара, а в урне с

надписью ЧЧ лежат два шара разных цветов. Если вытащенный шар окажется черным, то в урне с надписью БЧ лежат два черных шара, в урне с надписью ЧЧ лежат два белых шара, а в урне с надписью ББ лежат два шара разных цветов.

Задачи:

1. Пять школьников приехали из пяти разных городов в Ставрополь на краевую олимпиаду по математике.

«Откуда вы, мальчишки?» -- спросили их хозяева.

Вот что ответил каждый из них:

Андреев: «Я приехал из Невинномысска, а Григорьев живет в Кисловодске».

Борисов: «В Кисловодске живет Васильев. Я прибыл из Светлограда».

Васильев: «Я прибыл из Невинномысска, а Борисов из Буденновска».

Григорьев: «Я прибыл из Кисловодска, а Данилов из Пятигорска.

Данилов: «Да, я действительно из Пятигорска, Андреев же живет в Светлограде.

Хозяева удивились противоречивости ответов приехавших гостей. Ребята объяснили им, что каждый из них высказал одно утверждение правильное, а второе ложное. При этом по их ответам вполне можно установить, откуда приехал каждый из участников олимпиады. Откуда приехал каждый школьник?

Ответ:

Андрей из Невинномысска, Борисов--Будденовска, Васильев--Кисловодска, Григорьев--Светлограда, Данилов--Пятигорска.

2. Петя, Вася, Коля и Миша играли в футбол. Один из них разбил мячом стекло. На вопрос «Кто это сделал?» Петя, Вася и Коля ответили «Не я», а Миша -- «Не знаю». Потом

оказалось, что двое из мальчишек сказали правду, а двое -- неправду. Знает ли Миша, кто разбил стекло?

Ответ:

Миша знакл, кто разбил стекло

3. Сегодня Петина мама сказала: «Все чемпионы хорошо учатся». Петя говорит: «Я хорошо учусь, значит я чемпион». Правильно ли он рассуждает?

Ответ:

нет

4. Пришел Иван-царевич в подземелье к Кащею Бессмертному Василису Прекрасную освобождать. В подземелье 3 темницы. В одной из них томится Василиса, в другой расположился Змей Горыныч, а третья темница пустая. На дверях есть надписи, но все они ложные. На первой темнице написано «Здесь Василиса Прекрасная»; на второй темнице «Темница № 3 не пустая»; на третьей темнице написано «Здесь Змей Горыныч». В какой же темнице Василиса?

Ответ:

во второй

5. На улице, став в кружок, беседуют четыре девочки: Аня, Валя, Галя, Надя. Девочка в зеленом платье (не Аня и не Валя) стоит между девочкой в голубом платье и Надей.

Девочка в белом платье стоит между девочкой в розовом платье и Валей. Какое платье носит каждая из девочек?

Ответ:

Галя в зеленом, Валя--голубом, Аня--розовом, Надя--розовом.

6. Словам соответствуют цифры: корова -- 2, кошка - 3, кукушка -- 4. Какая цифра по Вашему мнению должна соответствовать слову «собака»?

Ответ:

7. Человек говорит о себе: «Я лжец». Является ли он жителем острова?

Ответ:

нет

8. Есть три человека: А, В и С, про которых известно, что один из них рыцарь, другой - лжец, а третий - приезжий, нормальный человек, который может и говорить правду, и лгать.

А говорит: «Я нормальный человек».

В говорит: «А и С иногда говорят правду».

С говорит: «В -- нормальный человек».

Ответ:

А--лжец, В--приезжий, С--рыцарь.

9. На столе лежат четыре карточки, на которых сверху написано: А, Б, 4, 5. Какое наименьшее количество карточек и какие именно нужно перевернуть, чтобы проверить, верно ли утверждение: «Если на одной стороне карточки написано четное число, то на другой стороне карточки -- гласная буква»?

Ответ:

нужно перевернуть 2 указанные карточке

10. Какой вопрос нужно задать на острове аборигену, чтобы узнать, куда ведет интересующая нас дорога - в город лжецов или в город рыцарей.

Ответ:

Нужно, указав на дорогу, спросить аборигена: «Ты живешь в городе, в который ведет эта дорога?». Если человек ответит «Да» (рыцарь сказал правду, а лжец солгал), то эта дорога ведет в город рыцарей, если ответит «Нет», то дорога ведет в город лжецов

2.6 ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

Комбинаторика - раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Другими словами, это раздел математики, в котором изучаются задачи

выбора элементов из заданного конечного множества и размещения этих элементов в каком-либо порядке. Например, ответ на вопрос «Сколько различных четырехзначных чисел можно написать с помощью цифр 1, 2, 3, 4 без повторения цифр?» дает комбинаторика.

Пример:

Сколькими способами можно сделать трехцветный флаг с горизонтальными полосами одинаковой ширины, если имеется материя шести различных цветов?

= 60. Это решение можно пояснить и иначе. Для верхней полосы полотнища мы можем выбрать материю любого из пяти цветов (5 вариантов выбора), для следующей полосы остается выбор из четырех цветов материи, поскольку цвета не должны повторяться (4 варианта), а для последней полосы остается материя трех цветов, поскольку два цвета мы уже использовали (3варианта). Итак, могут быть изготовлены 5 * 4 * 3 = 60 флагов.

Задачи:

1.Мама может дать сыну в школу какой-то из фруктов, имея 3 яблока, 5 груш и 7 бананов. Сколько разных способов выбора фруктов есть у мамы?

Ответ:

существует всего 15 способов

2.Из пункта А в пункт В можно добраться самолетом, поездом и автобусом, причем между этими пунктами существуют 2 авиалинии, 2 железнодорожных и 3 автобусных

маршрута.

Ответ:

3. В магазине «Все для чая» есть 5 разных чашек и 3 разных блюдца. Сколькими способами можно купить пару «чашка - блюдце»? В магазине есть еще 4 чайные ложки. Сколько наборов из трех предметов можно составить?

Ответ:

4. Сколькими способами можно разместить четыре шара по двум лункам, если в каждую помещается только один шар?

Ответ:

5. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белого и черного королей так, чтобы получилась допустимая правилами игры позиция?

Ответ:

3612

6. Сколько словарей нужно издать, чтобы можно было непосредственно выполнять переводы с любого из пяти языков: Русского, немецкого, английского, французского, итальянского -- на любой другой из этих пяти языков?

Ответ:

7. В седьмом классе изучается 14 предметов. Сколькими способами можно составить расписание занятий на субботу, если в этот день недели должно быть 5 различных уроков?

Ответ:

240240

8. В стену здания вмонтированы 8 гнезд для флажков. В каждое гнездо вставляется либо голубой, либо красный флажок. Сколько различных случаев распределения флажков на здании возможны?

Ответ:

256

9. Сколько пятизначных чисел можно составить из всех цифр кроме нуля?

Ответ:

6561

10. Монету бросают трижды. Сколько разных последовательностей орлов и решек можно при этом получить?

Ответ:

2.7 МНОГОЧЛЕНЫ

Многочлен--это алгебраическая сумма одночленов. Степень многочлена есть наибольшая из степеней одночленов, входящих в данный многочлен.

Произведение суммы двух или нескольких выражений на любое выражение равно сумме произведений каждого из слогаемых на это выражение:

(p+q+r)a=pa+qa+ra--раскрытие скобое

Вместо букв p, q, r, a может быть взято любое выражение.

Произведение сумм равно сумме всех возможных произведений каждого слогаемого одной суммы на каждое слогаемое другой суммы.

Пример:

Найдите все целые а, при которых дробь равна целому числу.

Разделим почленно числитель дроби на знаменатель:

Представление алгебраической дроби в виде суммы многочлена и дроби с тем же знаменателем, у которой степень числителя меньше степени знаменателя, называется выделением целой части дроби; многочлен и называется целой частью дроби.

В данном случае целая часть дроби равна а-21. Так как разность а- 21 при всех целых а принимает целые значения, то вопрос задачи сводится к следующему: при каких целых а дробь -- равна целому числу?

Для полного ответа на этот вопрос нужно перебрать все делители числа 17, включая и целые отрицательные.

Получаем числа: 1, --1, 17, --17.

Ответ:

±1,± 17

Задачи:

1.Разложить многочлен х⁹ + х⁸ + х⁷ - х³ + 1 на множители.

Ответ:

(х²+х+1)(х²-х+1)

2. Разложить многочлен на множители с целыми коэффициентами.

Ответ:

3. Разложить на множители

Ответ:

4. При каких значениях а и b многочлен делится на

Ответ:

a=2019, b=24084, c=12

5. Разложить на множители многочлен

Ответ:

6. Разложить на множители выражение

Ответ:

7. При каких значениях параметров m и n многочлен делится без остатка на

Ответ:

m=-3, n=-2

8. Разложить на множители

Ответ:

9.Найдите все значения х, при которых многочлен 2х²-х-36 принимает значения, равные квадратам простых чисел.

Ответ:

х=5 и х=13

10.При каких ограничениях на целые числа p и q

а) многочлен Р(х)=х²+px+q принимает при всех х четные (нечетные) значения

б) многочлен Q(x)=x³+px+q принимает при всех х значения, делящиеся на 3?

Ответ:

а) при нечетном p и четном q (соответственно) б) при условиях q0 (mod 3), p2 (mod 3)

2.8 ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ

Алгебраическим выражением называется совокупность конечного количества чисел, обозначенных буквами или цифрами, соединенных между собой знаками алгебраических действий и знаками последовательности этих действий (скобками).

Алгебраическое выражение, в котором указаны только действия сложения, вычитания, умножения и возведения в степень с натуральным показателем, называют целым рациональным выражением. Если кроме указанных действий входит действие деления, то выражение называют дробно-рациональным.

Целые рациональные и дробно-рациональные выражения вместе нациваются рациональными. Если входит еще и действие извлечения корня, то такое выражение называют иррациональным.

Числовым значением алгебраического выражения при заданных числовых значениях букв называют тот результат, который получится после замены букв их числовыми значениями и выполнения указанных в выражении действий.

Тождественным преобразованием алгебраического выражения на множестве M ? D(E) называется замена этого выражения на тождественно равное ему на множестве M

Пример:

Определить, являются ли выражения A и B тождественно равными на множестве M.

a) Так как на множестве M, то, применив формулу сокращенного умножения, получим:

Условие a > b > 0 влечет и, следовательно, Отсюда получаем, что Таким образом, выражения A и B тождественно равны на множестве M.

b) Подобно предыдущему примеру

При преобразованиях учитывается, что, если то , и

Задачи:

1.Упростить выражение

Ответ:

2. Сократить дробь

Ответ:

3. Упростить выражение

Ответ:

4. Упростить выражение

Ответ:

5. Сократить дробь

Ответ:

6. Освободиться от корня в знаменателе дроби

Ответ:

7. Упростить выражение

Ответ:

8.Найдите наименьшее значение выражения 3х²+3у²+6ху+2х+2у+3

Ответ:

9.Упростить выражение: ( ++²·

Ответ:

10. Упростить выражение: :

Ответ:

2.9 ФУНКЦИИ

Функцией, заданной (или определенной) на некотором множестве X, называется соответствие, в силу которого любой элемент x множества X определяет некоторый (соответствующий ему) объект f(x).

Множество всех тех значений, которые принимает аргумент функции , называется областью определения этой функции.

Множество всех тех значений, которые принимает сама функция , называется областью значений (изменения) этой функции.

Функция называется четной, если при всех значений из области определения этой функции .

Функция называется нечетной, если при всех значений из области определения этой функции .

Область определения четной и нечетной функции симметрична относительно начала координат.

Функция называется возрастающей (убывающей) на данном промежутке, если при произвольных двух различных значениях аргумента, из данного промежутка, большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции.

Функция называется периодической, с периодом , где , если значение функции не изменяется при прибавлении числа к любому допустимому значению аргумента: .

Функция называется ограниченной, если можно указать такое положительное число , что для всех значений из области определения функции. Если же точка не существует, то функция называется неограниченной.

Пример:

Найти область изменения функции: .

Первый способ. Область определения данной функции . Для нахождения области изменения удобно данную функцию записать в таком виде: .

Дробь принимает в области определения функции всевозможные значения, кроме нуля. Следовательно, областью изменения данной функции является множество всех действительных чисел, кроме, .

Второй способ. Разрешают данное уравнение функции относительно . Получают . Откуда следует, что может быть любым действительным числом, кроме 2.

Задачи:

1.На рисунке изображен график функции у = ах² + bх + с. Указать знаки коэффициентов а, b и с.

Ответ:

а>0, b<0, c<0

2. Найти область определения функции

Ответ:

D(y)=(, -3)(2, +?)

3. Найти наименьшее значение функции

Ответ:

t= и у=-3,75

4. Найти наименьшее значение функции

Ответ:

у_наим.=у()=-

5. Почему на приведенном рисунке изображена невозможная ситуация?

Ответ:

Очевидно, что координата точки пересечения прямой с осью ОХ находится из условия

2ах + b = 0, откуда х = -что совпадает с абсциссой вершины параболы. Поскольку эти две точки не совпадают, то такая ситуация невозможна.

6. Найти расстояние между осью параболы у= -х² -7х + 2 и осью Оу.

Ответ:

-3,5

7. При каком значениит, график функции у=2х²- Зх+17+m имеет одну общую точку с осью Ох?

Ответ:

m=-15

8. На рисунке изображен график функции у = х³ - х² - 4х + 4. Найти координаты точек М, N и К.

Ответ:

M(-2, 0), N(0, 4), K(2, 0)

9. Построить график функции

Ответ:

10. Найти наименьшее целое положительное число из области определения функции

Ответ:

2.10 ПЛАНИМЕТРИЯ

Планиметрия (от лат. planum -- плоскость и... метрия), часть элементарной геометрии, в которой изучаются свойства фигур, лежащих в плоскости. Обычно под планиметрией понимают часть курса геометрии в средней школе. Содержание планиметрии и способ её изложения были установлены древнегреческим учёным Евклидом(3 в. до н. э.)

Фигуры, изучаемые планиметрией:

· Точка--абстрактный объект в пространстве, обладающий координатами, но не имеющий размеров, массы, направленности и каких-либо других геометрических или физических характеристик. Одно из фундаментальных понятий в математике и физике.

· Прямая--одно из основных понятий геометрии. При систематической изложении геометрии прямая линия обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. Если основой построения геометрии служит понятие расстояния между двумя точками пространства, то прямую линию можно определить как линию, путь вдоль которой равен расстоянию между двумя точками.

· Параллелограмм (частные случаи Квадрат, Прямоугольник, Ромб) (от греч. parallelos -- параллельный и gramme -- линия) -- это четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, т. е. лежат на параллельных прямых.

· Трапеция --геометрическая фигура, четырехугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны. Эти параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются боковыми сторонами . Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции

· Окружность--замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра окружности), лежащей в той же плоскости, что и кривая.

· Треугольник--простейший многоугольник, имеющий 3 вершины и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, не лежащими на одной прямой, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки.

· Многоугольник--это геометрическая фигура, обычно определяется как замкнутая ломаная без самопересечений, однако иногда самопересечения допускаются. Иногда многоугольник определяется как замкнутая область плоскости ограниченная замкнутой ломаной без самопересечений. Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а отрезки -- сторонами многоугольника. Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон. Отрезки, соединяющие не соседние вершины многоугольника, называются диагоналями.

Пример:

Две окружности касаются внешним образом. К первой из них проведена касательная, проходящая через центр второй окружности. Расстояние от точки касания до центра второй окружности равна утроенному радиусу этой окружности. Во сколько раз длина первой окружности больше длины второй окружности ?

Пусть О₁ и О₂ - центры окружностей, А - точка касания. Тогда О₁А=R₁, О₁О₂ = R₁+R₂, О₂А=3ЧR₂ (по условию). Требуется найти отношение . В прямоугольном треугольнике О₁АО₂ (РА - прямой) имеем , или . Упростив это равенство, получим , откуда .

Ответ:

в 4 раза

Задачи:

1.Три стороны трапеции равны по 10 дм, а острый угол равен 60°. Найти длину отрезка, соединяющего центр вписанной окружности с вершиной меньшего основания.

Ответ:

10 дм.

2. Найдите площадь прямоугольника ABCD, если S_Д_AMD = 33 см² , CK=BK.

Ответ:

33 см²

3. Диагонали параллелограмма равны 16 м и12 м, а угол между ними равен 30°. Найдите площадь параллелограмма.

Ответ:

48 м²

4. В параллелограмме АСВМ АС = 16 м, СВ = 24 м, СЕ и CF -- соответственно высоты, проведенные к сторонам AM и ВМ, яECF = 60°. Найти длину высоты СЕ.

Ответ:

8 см.

5. По трем медианам m_a, m_b и m_c ДABC, найти длину стороны АС = b.

Ответ:

6. Основания трапеции а и b. Найти длину отрезка, соединяющего середины диагоналей.

Ответ:

(a-b)

7. Найти длину средней линии прямоугольной трапеции, вписанной в окружность, если расстояния от центра окружности до концов большей боковой стороны равны соответственно 6 и 8 дм.

Ответ:

9,8 дм.

8. Найти площадь заштрихованной фигуры.

Ответ:

40,5 дм²

9.На стороне АВ равнобедренного треугольника АВС (АВ=ВС) взяли точки N и M (N ближе к В, чем М), такие, что NM=AM и яMAC=яBAN. Найдите угол CAN.

Ответ:

60°

10.Трапеция АВСD с основанием ВС и AD описана около окружности. Известно, что яBCD=2яBAD. Найдите отношение .

Ответ:

2.11 УРАВНЕНИЯ

Уравнемние -- равенство вида или , где f и g -- функции (в общем случае -- векторные) одного или нескольких аргументов. Решение уравнения -- задача по нахождению таких значений аргументов, при которых это равенство достигается. На возможные значения аргументов могут быть наложены дополнительные условия (целочисленности, вещественности и т. д.).

Аргументы заданых функций (иногда называются «переменными») в случае уравнения называются «неизвестными».

Значения неизвестных, при которых это равенство достигается, называются решениями, или корнями данного уравнения. Про корни говорят, что они удовлетворяют данному уравнению.

Решить уравнение означает найти множество всех его решений (корней) или доказать, что корней нет.

Равносильными называются уравнения, множества корней которых совпадают. Равносильными также считаются уравнения, которые не имеют корней.

Пример:

Решить уравнение:

Сложим дроби, расположенные в левой части уравнения:

Приравняем к нулю числитель полученной дроби:

Преобразовав и упростив левую часть, получим биквадратное уравнение:

Решим ее обычным способом, найдем:

; и .

Следовательно, имеем:

Ни одно из этих чисел не обращает в нуль знаменатели дробей в исходном уравнении. Значит, эти числа и представляют собой искомые корни. Итак, данное уравнение имеет следующие четыре корня:

, , , .

Рассмотрим несколько способов решения систем алгебраических уравнений. Пусть надо решить систему уравнений:

I способ (графический). Построим в одной координатной плоскости графики функций и (рис. 3). Эти графики пересекаются в четырех точках. Абсциссы и ординаты точек пересечения являются корнями данной системы уравнений. Из рис.3 видно, что значения корней следующие: .

II способ (аналитический). Умножим второе уравнение на 2 и сначала сложим с первым, а затем вычтем из первого. Получим:

или

Задача сводится к системе линейных уравнений с двумя неизвестными:

то есть

Применяя к полученным системам метод сложения (т.е. сперва сложим эти уравнения, а далее вычтем из первых - вторые), получим:

т.е. тот же ответ.

Рассмотрим еще один пример решения системы уравнений графическим и аналитическим способами.

Пусть надо решить систему уравнений:

I способ (графический). Построим в одной координатной плоскости графики функций и (рис.4). Эти графики также пересекаются в четырех точках .

II способ (аналитический). Если применить метод подстановки, т.е. подставить в первое уравнение значение переменной , выраженное через , после некоторых упрощений получим биквадратное уравнение:

или в каноническом виде: .

Корни последнего уравнения нетрудно найти: .

Откуда, путем обратной подстановки в выражение значений , находим: .

Итак, мы получили тот же ответ: .

Задачи:

1.Решить уравнение: х+

Ответ:

-2

2. Найти по крайней мере 19 решений уравнения у²= х² + х³ в целых числах.

Ответ:

соотношения х=а²-1 и у=а(а²-1) задают бесконечную серию решений

3. Решить в натуральных числах уравнение х³ - 27у³= 37.

Ответ:

(4, 1)

4. Решить уравнение (6х²- 7х²)² - 2(6х² - 7х) - 3 = 0.

Ответ:

х₁=, х₂=, х₃=1, х₄=

5. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений:

имеет хотя бы одно решение.

Ответ:

При любом а, кроме а=0 и а=

6. Решить уравнение

Ответ:

х=, n

7. Решить уравнение

cos 2007°+cos 27°+tg 30°·=-3sin 30°

Ответ:

х_{1, 2}=2

8. Решить уравнение

Ответ:

х=2, х=

9. Решить уравнение

Ответ:

х=8, m

10. При каких значениях параметрам система уравнений

имеет бесконечное множество решений?

Ответ:

при а=2 и а=-1

1.12 НЕРАВЕНСТВА

Пусть функции и определены на некотором множестве . Поставим задачу: найти множество , на котором значения одной из функций больше (меньше) значений другой из них, другими словами, найти все значения , для которых выполняется неравенство: >(<).

При такой постановке каждое из этих неравенств называется алгебраическим неравенством с неизвестным .

Как при решении уравнения, так и при решении неравенства требуется найти все те значения неизвестной величины, для каждого из которых указанное соотношение оказывается верным. Поэтому естественно и для неравенств ввести понятия, аналогичные тем, которые мы ввели для уравнений.

Множество называется множеством (областью) допустимых значений неизвестного для данного неравенства.

Множество называется множеством решений данного неравенства.

Решить неравенство - значит найти множество всех , для которых данное неравенство выполняется.

Два неравенства называются равносильными, если множества решений их совпадают, т.е. если всякое решение каждого из них является решением другого. Значение неизвестного называется допустимым для неравенства, если при этом значении обе части неравенства имеют смысл. Совокупность всех допустимых значений неизвестного называется областью определения неравенства.

Пример: Решить неравенство:

Разлагая числитель и знаменатель на множители, перепишем данное неравенство в виде:

не является корнем левой части неравенства, поэтому равносильное последнему неравенству будет следующее:

при .

С помощью «пробных» точек найдем знак выражения в каждом промежутке, которые были получены, когда мы нанести на числовую ось числа 1, 2 и 5, при которых числитель и знаменатель обращаются в нуль.

Выпишем интервалы, где выполняется неравенство:

Уравнение имеет четыре

Задачи:

1.Решить неравенство

Ответ:

при n?4

2. Решить неравенство

Ответ:

3. Решить неравенство

Ответ:

1<x<16

4. Решить систему неравенств:

Ответ:

[5, +?)

5. Решить неравенство если а

Ответ:

(-?, 2][3, +?)

6. При каком наибольшем значении параметрам неравенство

выполняется для всех хR?

Ответ:

a=7

7. Найти длину промежутка на котором выполняется неравенство

Ответ:

8. Решить неравенство

Ответ:

9. Решить неравенство

Ответ:

10. Решить неравенство

Ответ:

ГЛАВА 3. ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ

ЧИСЛОВЫЕ РЕБУСЫ

1. Решите ребусы:

а) РЕКА * 7 = МОРЕ; б) НАЛИМ * 4 = ЛИМАН; в) ОКУНЬ * 8 = СУДАК.

Ответ:

а) 1402·7=9814 б) 123958·4=95832 в) 10295·8=82360

2. Восстановите запись:

Ответ:

12345679·9=111111111

3. Число БАОБАБ, где одинаковые буквы означают одинаковые цифры, разные буквы -- разные цифры, делится на 101. Какое это число?

Ответ:

910919

4. Докажите неравенство: ДВА * ШЕСТЬ < ДВАДЦАТЬ, где одинаковые буквы означают одинаковые цифры, разные буквы -- разные цифры.

Ответ: ДВА·ШЕСТЬ<ДВА·10⁵< ДВА·10⁵+ДЦАТЬ=ДВАДЦАТЬ

5. Числа ТРИ, СТИХ и СПОРТ, где одинаковые буквы означают одинаковые цифры, разные буквы -- разные цифры, являются соответственно квадратом, кубом и четвертой степенью некоторых натуральных чисел. Что это за числа?

Ответ:

ТРИ=169, СТИХ=2197, СПОРТ=28561

ЧЕТНЫЕ И НЕЧЕТНЫЕ ЧИСЛА

1.Докажите, что сумма и разность любых двух целых чисел имеют одинаковую четность.

Указание:

рассмотреть 3 случая: 1) а и b четны 2) а и b нечетны 3) а четно и b нечетно

2. Найдите все целые значения а, при которых число х³ + ах² + 5х + 9 нечетно для всех целых значений х.

Ответ:

все четные а

3. На семи карточках написали числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. Затем карточки перевернули, перемешали и на обратных сторонах написали те же числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Числа, написанные на обеих сторонах каждой карточки, сложили и полученные суммы перемножили. Четно или нечетно полученное произведение?

Ответ:

четно

4. Какое наибольшее количество натуральных чисел можно записать в строку так, чтобы сумма любых трех соседних чисел была четной, а сумма любых четырех соседних чисел нечетной?

Ответ:

5. Сумма номеров домов одного квартала равна 99, а соседнего квартала той же улицы -- 117. Найдите номера всех домов этих кварталов.

Ответ:

31, 33, 35, 37, 39, 41

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ

1.Найдите такое трехзначное число, делящееся на 27, что при любой перестановке его цифр получается число, также делящееся на 27. Укажите все такие числа.

Ответ: 999

2. Использовав цифры от 1 до 9 по одному разу, составьте наименьшее девятизначное число, делящееся на 11.

Ответ:

123475869

3.Можно ли из цифр от 1 до 6 составить шестизначное число с различными цифрами, делящееся на 11?

Ответ:

нельзя

4.Можно ли из цифр от 0 до 9 составить десятизначное число с различными цифрами, делящееся на 1980?

Ответ:

можно, например, 9876523140

5.Доказать, что при любом натуральном n число 5⁵ⁿ⁺¹+4⁵ⁿ⁺²+3⁵ⁿ делится на 11.

Указание:

выполнить преобразование заданного выражения. Принять во внимание бином Ньютона n-ой степени

НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ И НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ

1.Натуральные числа а, b и с таковы, что НОК(а, b)=60 и НОК(а, с)=270. Найти НОК(b, с).

Ответ:

540, 108

2.Чему равен наибольший общий делитель всех чисел 7ⁿ⁺²+8²ⁿ⁺¹ (n)?

Ответ:

3. При каком наименьшем натуральном п каждая из дробей

несократима?

Ответ: 28

4. Пусть a₁, a₂, ..., а₁₀ -- натуральные числа, сумма которых равна 1001. Какое наибольшее значение может принимать их наибольший общий делитель?

Ответ:

91, когда 9 чисел равны 91, а десятое -182

ПРОСТЫЕ И СОСТАВНЫЕ ЧИСЛА

1.Докажите, что любое число вида а=101010...101 (n нулей, n + 1 единица, где n > 1) составное.

Указание:

рассмотрите 2 случая 1) n-четно 2) n-нечетно

2. Какое наибольшее число простых чисел может быть среди 15 последовательных натуральных чисел, больших 2?

Ответ:

3. Составьте из простых чисел все возможные арифметические прогрессии с разностью 6 и числом членов, большим 4.

Ответ:

5, 11, 17, 23, 29

4. Найдите все простые p, при которых являются простыми числа:

Ответ:

а) 3 б) 3

5. Найдите все простые р, при которых являются простыми числа:

Ответ:

а) 2 б) 3 в) 3 г) 5 д) 5

ВОССТАНОВЛЕНИЕ ЦИФР НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

1.Восстановите запись:

Ответ:

а) 1431:27=53 б) 100034:34=9094

2. Восстановите деление с остатком, где все девять цифр различны:

Ответ:

3.В примере на сложение ¦+¦+__=^^^ различные фигурки обозначают различные цифры. Какую цифру заменяет квадратик?

Ответ:

4.Расставить цифры 1, 2, …, 8 в клетки неполного квадрата так, чтобы получилась одинаковая сумма по горизонтали, вертикали и большой диагонали.

Ответ:

4	8
2	3	7
6	1	5

ДЕЛЕНИЕ С ОСТАТКОМ

1.Какой остаток дает 46⁹²⁵ при делении на 21?

Ответ:

2. Найдите остаток от деления:

Ответ:

а) 25 б) 5 в) 1944

3. Найдите остаток от деления числа на 13, где число р-- простое.

Ответ:

р=2, р=3

4. Число 2001²⁰⁰¹разбили на несколько слагаемых, являющихся натуральными числами, возвели эти слагаемые в куб и полученную сумму кубов разделили на 6. Какой получится остаток?

Ответ:

5. Найдите остаток отделения на 3 числа

Ответ:

СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ

1.Найдите все пятизначные числа, которые являются точными квадратами и остаются точными квадратами при зачеркивании первой, двух первых или трех первых цифр.

Ответ:

81225, 34225, 27225, 15625, 75625

2. Четырехзначное число является точным квадратом. Если отбросить его последнюю цифру или две первые, то получаются также точные квадраты. Найдите все такие числа.

Ответ:

3249=57²

3. Найдите все точные степени числа 2, которые встречаются среди чисел вида 6n + 8(n = 0, 1,2,...).

Ответ:

степень числа 2 с любым нечетным натуральным показателем, большим 1

4. Найдите все натуральные я, при которых числа вида n² -- n+ 41 являются точными квадратами.

Ответ:

n=41

5. Найдите все натуральные я, при которых число 2ⁿ + 3ⁿ + 4ⁿ является точным квадратом.

Ответ:

n=1

УРАВНЕНИЯ

1.Решите уравнения: а) х²+=0 б) х²-2х-3=

Ответ:

а) ±1 б) 5, -3

2.Сумма квадратов корней уравнения х²-4х+р=0 равна 16. Найдите р.

Ответ:

3.При каких целых а оба корня уравнения х²+ах+6=0 является целыми числами?

Ответ:

±5, ±7

4.Решить систему уравнений:

х² -ху+у²=21

у²-2ху+15=0

Ответ:

(3, , (-3, , (4, 5), (-4, 5)

5.Решить уравнение: х⁴-2х³+-2х+1=0

Ответ:

ИГРЫ. СТРАТЕГИИ

1.Двое кладут по очереди пятаки на круглый стол. Проигрывает тот, кто не сможет положить очередной пятак. Кто выигрывает?

Ответ:

выигрывает первый игрок

2. Две компании A и B получили право освещать столицу международной шахматной мысли Нью-Васюки, представляющую собой прямоугольную сетку улиц. Они по очереди ставят на неосвещённый перекресток прожектор, который освещает весь северо-восточный угол города (от нуля до 90° ). Премию О. Бендера получит та компания, которой на своем ходе нечего будет освещать. Кто выиграет при правильной игре?

Ответ:

выигрышная стратегия у А

3. Конь стоит на поле al. За ход разрешается передвигать коня на две клетки вправо и одну клетку вверх или вниз, или на две вверх и на одну вправо или влево. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Ответ:

выигрывает второй игрок

4. В каждой клетке доски 11x11 стоит шашка. За ход разрешается снять с доски любое количество подряд идущих шашек либо из одного вертикального, либо из одного горизонтального ряда. Выигрывает снявший последнюю шашку.

Ответ:

выигрывает первый игрок

5. Двое по очереди ставят коней в клетки шахматной доски так, чтобы кони не били друг друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Ответ:

выигрывает второй игрок

ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

1.У Йозефа 100 мышей, некоторые из них белые, некоторые--серые. Известно, что хотя бы одна мышь серая, а из двух мышей хотя бы одна белая. Сколько серых мышей у Йозефа?

Ответ:

одна серая мышь

2.Эд и Билл весят меньше, чем Чарли и Дэн. Чарли и Шон вместе весят меньше, чем Френк и Билл. Какое из следующих утверждений заведомо является верным?

А) Шон и Эд вместе весят меньше, чем Френк и Ден.

Б) Дэн и Шон вместе весят больше, чем Чарли и Френк.

В) Дэн и Френк вместе весят больше, чем Эд и Чарли.

Г) Эд и Билл вместе весят меньше, чем Чарли и Френк.

Д) Эд, Билл и Чарли вместе весят столько же, сколько Френк, Шон и Ден.

Ответ:

3.На острове живут лжецы, которые всегда лгут, и правдивые, которые всегда говорят правду. Однажды собрались 12 островитян и сделали следующее заявление. Двое сказали: «Ровно двое из собравшихся--лжецы». Четверо сказали: «Ровно четыре из собравшихся--лжецы». Остальные шестеро сказали: «Ровно шестеро из собравшихся--лжецы». Сколько на самом деле лжецов среди 12 островитян, если известно, что не все они лжецы?

Ответ:

6 лжецов

4.У Сани, Вани и Жени 30 мячей. Если Ваня даст 5 мячей Жене, Женя 4 мяча Сане, а Саня 2 мяча Ване, то у всех мальчиков станет мячей поровну. Сколько мячей у Сани?

Ответ:

8 мячей

5.На острове живут правдивые, которые говорят правду и лжецы, которые всегда лгут. Однажды у островитянина А спросили, кем является он и его приятель Б. Островитянин А заявил, что по крайней мере один из них--лжец. Какое из следующих утверждений является истинным?

А) А не мог сделать такого заявления.

Б) А и Б лжецы.

В) А--лжец, Б--правдивый.

Г) А и Б правдивые.

Д) Б--лжец, А--правдивый.

Ответ:

ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ. ПРИНЦИП КРАЙНЕГО

1.Для каждого натурального числа n существует число вида 111... 100...О, делящееся на n. Доказать.

Указание:

рассмотреть числа вида 1, 11, 111,

2. 15 белок собрали 100 орехов. Докажите, что какие-то две из них собрали одинаковое количество орехов.

Указание:

предположить, что все белки собрали разное количество орехов. Затем рассмотреть их сумму

3. Кот Базилио пообещал Буратино открыть великую тайну, если он составит чудесный квадрат 6 Ч 6 из чисел +1, ?1, 0 так, чтобы все суммы по строкам, по столбцам и по большим диагоналям были различны. Можно ли составить такой квадрат?

Ответ:

нет

4. На собеседование пришли 65 школьников. Им предложили 3 контрольные работы. За каждую контрольную ставилась одна из оценок: 2, 3, 4 или 5. Верно ли, что найдутся два школьника, получившие одинаковые оценки на всех контрольных?

Ответ:

верно

5.Для любого 100-значного числа М найдется число, делящееся на 2006, последние цифры которого составляют число М. Доказать.

Указание:

рассмотреть числа, получающиеся из одного, двух, трех, …, 2006 чисел М, написанные подряд

ИНВАРИАНТЫ. РАСКРАСКИ. ЗАМОЩЕНИЯ

1.На чудо-яблоне растут бананы и ананасы. За один раз разрешается сорвать с неё два плода. Если сорвать два банана или два ананаса, то вырастет ещё один ананас, а если сорвать один банан и один ананас, то вырастет один банан. В итоге остался один плод. Какой это плод, если известно, сколько бананов и ананасов росло вначале?

Ответ:

если число бананов было четным, то--ананас, если--нечетным, то--банан

2. В одной клетке квадратной таблицы 4 Ч 4 стоит знак минус, а в остальных стоят плюсы. Разрешается одновременно менять знак во всех клетках, расположенных в одной строке или в одном столбце. Можно ли получить таблицу из одних плюсов, если мы будем проводить такую перемену знака.

Ответ:

нет

3. На 44 деревьях, расположенных по кругу, сидели по одному веселому чижу. Время от времени какие-то два чижа перелетают один по часовой стрелке, а другой (против, каждый) на соседнее дерево. Могут ли все чижи собраться на одном дереве?

Ответ:

нет

4.За какое наименьшее количество выстрелов можно с гарантией подбить четырехклеточный корабль в игре «Морской бой»?

Ответ:

не менее 24 выстрелов

5.Из шахматной доски вырезали две противоположные угловые клетки. Можно ли оставшуюся фигуру разрезать на домино из двух клеток?

Ответ:

нет

ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

1.Неисправный калькулятор не показывает цифру 1. Например, если набрать число 3131, то на дисплее будет 33(без пробелов). Сколько существует способов набрать на этом калькуляторе шестизначное число, чтобы на дисплее появилось число 2007?

Ответ:

15 способов

2.две школы соревнуются между собой по настольному теннису. В команду каждой школы входит по 5 спортсменов. Все матчи проводятся между парами так, чтобы каждая пара спортсменов из одной школы сыграла с каждой парой из другой школы. Сколько игр придется сыграть каждому спортсмену?

Ответ:

40 игр

3.Сколько существует путей из верхней точки гипотенузы в ее нижнюю точку, если можно передвигаться только по линиям стрелки на рисунке, причем только вниз вправо или вниз влево (параллельно гипотенузе)?

Ответ:

90 путей

4.На вечеринке 5 друзей собрались вручить друг другу подарки так, что каждый из них вручит ровно 1 подарок и получит ровно 1 подарок (разумеется, никто не должен получить свой собственный подарок). Сколько всего существует способов это сделать?

Ответ:

44 способов

5.Сколько существует шестизначных чисел, в записи которых есть хотя бы одна четная цифра?

Ответ:

884375

ПЛАНИМЕТРИЯ

3.Найдите координаты точки пересечения медиан треугольника с вершинами (1, 0), (2, 3), (3, 2)

Ответ:

(2,

4.В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АD, ВЕ, СF. Найдите углы ДDEF, зная углы ДАВС.

Ответ:

яD=180°-2яА, яА=180°-2яВ, яF=180°-2яC

5.Как изменится сторона АВ ДАВС, если яС возрастает, а длины сторон АС и ВС остаются без изменений?

Ответ:

сторона АВ увеличивается

ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ

1.Упростите выражения:

а) б)

Ответ:

а) б) 4-7

2. Упростите выражения:

· + : (3+ )

Ответ:

3.Сократить дробь:

Ответ:

4.Вычислить:

Ответ:

5.Упростить выражение:

Ответ:

МНОГОЧЛЕНЫ

1.Разложить на множители многочлен n?+n+1

Ответ:

(nІ+n+1)(nі-nІ+1)

2. Разложить на множители многочлен x⁸+4xІ+4

Ответ:

(х⁴-2х³+2х²-2х+2)( х⁴+2х³+2х²+2х+2)

3.Доказать, что многочлен х⁸-х⁵+х²-х+1 положителен при всех действительных х.

Указание:

рассмотреть 2 случая 1) 0<х<1 2) х>1

4.Найдите все целые k, при которых значения дроби являются целыми числами

Ответ:

6, 2, 0, -4

5.Многочлен р(х) с целыми коэффициентами таков, что р(а)=1, р(b)=-1, где а и b--различные целые числа. Найти все значения, которые может принимать разность а-b.

Ответ:

-2, -1, 1, 2

ГРАФЫ

1.В углах шахматной доски 3 Ч3 стоят 4 коня: 2 белых (в соседних углах) и два чёрных. Можно ли за несколько ходов (по шахматным правилам) поставить коней так, чтобы во всех соседних углах стояли кони разного цвета?

Ответ:

нет

2. Выпишите в ряд цифры от 1 до 9 так, чтобы число, составленное из двух соседних цифр, делилось либо на 7, либо на 13.

Ответ:

784913526

3.Муровей ползет по проволочному каркасу куба. При этом он никогда не поворачивает назад. Может ли он побывать в одной из вершин куба 25 раз, а в остальных по 20?

Ответ:

нет

4.В каждой клетки доски 5х5 сидит жук. В некоторый момент все жуки переползают на соседние (по горизонтали или вертикали) клетки. Обязательно ли при этом останется пустая клетка?

Ответ:

нет

ФУНКЦИИ

1.Прямая у = х + 2 пересекает параболу у = х² - Зх + 2 в двух точках А и В. Найдите на дуге АВ параболы точку, наиболее удаленную от прямой АВ.

Ответ:

точка дуги АВ параболы, наиболее удаленная от прямой у = х + 2, имеет координаты

x = 2, у = 0

2. Область определения функции f -- множество Z, а область значений -- множество

{-1; 1}. Функция обладает свойством: для любых целых а и b верно равенство f(a + b) = f(a) * f(b). Найдите f(0) и соотношение между f(-x) и f(x).

Ответ:

f(0)=1, f(-x)=

3. Область определения функции g -- множество Z и g(l) = ky где k Z. Функция обладает свойством: g(a + b) = g(a) + g(b) для любых целых а и b. Найдите g(0) и соотношение между g(-x) и g(x). Задайте функцию g формулой.

Ответ:

4. При каких значениях а любое значение функции f(x)= принадлежит промежутку (-9; 6)?

Ответ: а (-3; 6)

5. Известно, что функция четная и что она обращается в нуль при х = -2 и х = 3.

Существуют ли какие-либо другие значения аргумента, при которых (х) = 0?

Ответ:

2, -3

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Увлечение математикой часто начинается с размышления над какой-то особенно понравившейся задачей. Она может встретиться и на школьном уроке, и на занятии математического кружка, и в журнале или книжке. Богатым источником таких задач служат различные олимпиады--от школьных и городских до международных.

В данной курсовой работе собрана коллекция задач для 8-9 классов тура математических олимпиад, проводимых по всей стране.

Темы математических задач взяты в соответствии с программой факультативного занятия по подготовке к олимпиадам по математике.

В разработанной курсовой работе выделены 3 главы:

-школьные олимпиады;

-районные олимпиады;

-задачи повышенной сложности.

К задачам приведены ответы, а некоторые снабжены краткими указаниями.

Задачи школьной олимпиады в среднем попроще, но и здесь встречаются замысловатые головоломки, подобрать ключ к которым нелегко. Очень разнообразны задачи и по математическому содержанию. В определенных темах олимпиадных заданий встречаются традиционные задачи о уравнениях и неравенствах, признаках делимости и делении с остатком, о треугольниках и т.п.

Конечно, это не просто упражнения на проверку знаний и применение стандартных школьных приемов, а теоремы, которые нужно доказать, задачи, требующие некоторого исследования. В основном, такого типа задачи приведены в главах «Районные олимпиады» и «Задачи повышенной сложности».

Встречаются задания с далеко нестандартной формулировкой. Для поиска ответа и доказательства здесь нужны не столько школьные знания, сколько здравый смысл, изобретательность, умение логично рассуждать, перевести необычное условие на подходящий математический язык.

Однажды Павел Сергеевич Александров, президент Московского математического общества, избранный членом-корреспондентом в первые аккадемические выборы советского периода в 1929 году (он был председателем оргкоммитета олимпиады) писал: «Одной из наиболее действенных форм нашей помощи самым молодым дарованиям является организация олимпиады, т. е. широкого состязания, широкого социалистического соревнования всех наших школьников, одаренных математически и интересующихся математикой. Это состязание должно заставить лучших из них почувствовать себя уже настоящими математиками, будущими учеными. Оно должно укрепить их веру в себя, зажечь их научный энтузиазм и в то же время заставить их почувствовать, что лишь длинный путь упорной работы приведет их к цели, к участию в качестве квалифицированных математиков, а иногда и больших самостоятельных ученых в той громадной стройке социализма, которая развернулась в нашей стране». [12, с.8] Многие понятия, которыми оперировал П. С. Александров, ныне ушли в прошлое, но я постараюсь выделить из сказанного им то содержание, которое, по моему мнению, должно сохраниться на все времена.

Наука -- арена нескольких видов борьбы. Это -- и борьба человечества с незнанием, и борьба ученых со своими заблуждениями, и стремление принести пользу людям, и поиск красоты мира, и стремление к славе, и делание собственной карьеры, и заработок. Чтобы наука жила полноценно, нужно, чтобы ее поддерживали различные стимулы -- внутренние и внешние. Каждого ученого какой-то стимул подтолкнул в сторону науки. И если этот стимул антинаучный и низменный, большой беды в этом нет. Важно только, чтобы своевременно возникли другие стимулы, соответствующие высшему назначению науки. Наука -- великое достояние человечества, и для развития науки человечеству разумно озаботиться тем, чтобы ни одно математическое дарование не пропало бы.

Одаренные люди могут принести пользу своему отечеству, и потому государству следовало бы обеспечить полное внимание, полную и всестороннюю помощь и поддержку каждому из подрастающих талантов.

Безусловной истиной является и то, что одной из наиболее действенных форм содействия молодым дарованиям является организация олимпиад, т. е. широкого состязания школьников, интересующихся математикой; это состязание призвано укрепить их веру в себя и зажечь в них научный энтузиазм. Итак, олимпиады могут принести пользу Личности, Стране и Миру.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Галкин Е. В. Нестандартные задачи по математике. Задачи с целыми числами: Учеб. пособие для учащихся 7--11 кл. -- Челябинск: Взгляд, 2005. -- 271 с. -- (Нестандартные задачи по математике).

2. В. А. Шеховцов. Олимпиадные задания по математике. 9-11 классы: решение олимпиадных задач повышенной сложности / авт.-сост. В. А. Шеховцов. - Волгоград: Учитель, 2009. - 99 с.

3. Севрюков. П. Ф. Подготовка к решению олимпиадных задач по математике / П. Ф. Севрюков. -- Изд. 2-е. -- М. : Илекса ; Народное образование ; Ставрополь : Сервисшкола, 2009. - 112 с.

4. Агаханов Н. X. Математика. Районные олимпиады. 6--11 классы / Н. X. Агаханов, О. К. Подлипский. -- М. : Просвещение, 2010. -- 192 с. : ил. -- (Пять колец).

5. Агаханов Н. X . Математика. Областные олимпиады. 8--11 классы / [Н. X. Агаханов, И. И. Богданов, П. А. Кожевников и др.]. -- М. : Просвещение, 2010. -- 239 с. : ил. -- (Пять колец).

6. И.И.Семеня . Психологические основы взаимодействия учителя с одареными детьми/ авт. сост. И.И.Семеня--2-ое изд..--Мозырь: Содействие, 2007--с.419.

7. Балаян Э.Н. Олимпиадная и занимательная задачи по математике / Э.Н. Балаян. -- 3-е изд. -- Ростов н/Д : Феникс, 2008. -- 364, [1] с.: ил. -- (Библиотека учителя).

8. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5-6 кл. сред.шк.--М.: Просвещение, 1989--287 с.

9. Петраков И.С. Математические олимпиады школьников. Пособие для учителей.--М.: Просвещение, 1982.--96 с.

10. Зарубежные математические олимпиады. Конягин С.В., Тоноян Г.А. и др.; под ред. И.Н.Сергеева.--М: Наука. Гл.ред.физ.мат.лит 1987--(Б-ка мат. кружка)--416 с.

11. Канель-Белов А. Я., Ковальджи А. К. Как решают нестандартные задачи / Под ред. В. О. Бугаенко. | 4-е изд., стереотип. | М.: МЦНМО, 2008. | 96 c.

12. Р. М. Федоров, А. Я. Канель-Белов, А. К. Ковальджи, И. В. Ященко Московские математические олимпиады 1993--2005 г. / Р. М. Федоров и др. Под ред. В. М. Тихомирова. -- М.: МЦНМО, 2006. -- 456 с.

13. Супрун В.П. Избранные задачи повышенной сложности по математике:--Мн: Полымя, 1998.--108 с.--(«В помощь абитуриентам и студентам»).

14. Олимпиада «Ломоносов» по математике (2005--2008). -- М.: Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ, 2008. -- 48 с, илл.

15. международный математический конкурс «Кенгуру--2007» в Бел. Условия и решения заданий для 5-11 кл/ М-во образ. Респ. Беларусь; Акад. Последеплом. образования., Беларус. Ассоц. «Конкурс»: авт.сост. Е.А.Барабанов [и др].--Минск: Белорус.ассоц. «Конкурс», 2007.--96 с.: ил.

16. Васильев Н. Б., Егоров А. А. Задачи Всесоюзных математических олимпиад --М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат.лит., 1988.-- 14 л.-- (Б-ка мат. кружка; вып. 18). --288 с.

17. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. -- 7-е изд., испр. и доп. -- М. : Мнемозина, 2008. -- 447 с. : ил.

18. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 8 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. -- 10-е изд., испр. -- М. : Мнемозина, 2010. -- 384 с. : ил.