Несовместные и достоверные события. Случайные величины
Работа из раздела: «
Математика»
/
Задание 1
Вероятность попадания в цель первым стрелком равна р1, а вторым стрелком р2. Стрелки выстрелили одновременно. Какова вероятность того, что один из них попадет в цель, а другой не попадет?
Решение:
Множество благоприятных событий состоит из следующих событий:
- первый стрелок попадает в цель, второй не попадает: вероятность равна произведению р1(1 - р2)
- второй стрелок попадает в цель, первый не попадает: вероятность равна произведению р2(1 - р1)
Поскольку эти два события несовместны, искомая вероятность равна сумме вероятностей этих событий:
Р = р1(1 - р2) + р2(1 - р1) = р1 - р1р2 + р2 - р1р2 = р1 - 2р1р2 + р2 = (р1 - р2)2
Задание 2
В последовательности из n ? 6 испытаний по схеме Бернулли с вероятностью успеха р произошел ровно один успех. Найти вероятность того, что успех произошел именно в шестом испытании.
Решение:
Воспользуемся формулой Байеса.
Здесь событие А - произошел один успех.
В6 - успех произошел в шестом испытании
Вероятность того, что успех произошел именно в шестом испытании равна вероятности того, что в предыдущих пяти испытаниях успех не произошел, помноженную на вероятность того, что в шестом испытании успех произошел, т.е.
Событие А при наступлении события В6 - событие достоверное, следовательно
Полная вероятность события А вычисляется по формуле Бернулли
В итоге получаем
Задание 3
Из 25 контрольных работ, среди которых 6 оценены на «отлично», случайным образом извлекаются 4.
Случайная величина о - число «отличных» работ среди выбраных.
Требуется:
1. Построить закон и многоугольник распределения случайной величины о;
2. Построить функцию распределения и ее график;
3. Найти математическое ожидание Мо, дисперсию Dо, среднее квадратическое отклонение уо случайной величины о;
4. Вычислить вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее своего среднего значения, т.е.P(о < Mо).
Решение:
1. Вероятность того, что случайно выбранная работа будет отличной, равна
Случайная величина о - число «отличных» работ среди выбранных - может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4.
Вероятности этих событий посчитаем по формуле биномиального распределения
, где n = 4, р = 0,24
Ряд распределения будет таким:
|
X
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
|
|
P
|
0,334
|
0,421
|
0,200
|
0,042
|
0,003
|
|
|
2) Найдем функцию распределения дискретной случайной величины
|
х
|
< 0
|
|
|
|
|
|
|
|
P
|
0
|
0,334
|
0,421
|
0,200
|
0,042
|
0,003
|
|
|
F = P(X<x)
|
0
|
0,334
|
0,755
|
0,955
|
0,997
|
1
|
|
|
/
3) Для дискретной величины
4) Тогда
Задание 4
Дана плотность распределения случайной величины о
Требуется:
1. Найти постоянную А, функцию распределения Fо(x), математическое ожидание Мо, дисперсию Dо случайной величины о.
2. Построить графики fо(x), Fо(x), при м = 1.
3. Вычислить Р(х1< о<x2) двумя способами: с помощью плотности распределения, с помощью функции распределения при х1 = м/3, х2 = м/2
Решение:
Функция распределения равна
Постоянная А находится из условия, что
Т.е. функция распределения будет
Задание 5
Задана нормально распределенная случайная величина о с параметрами
а = 6, у = 1 + 6/7 = 13/7 , ()
Требуется:
1. Построить график плотности распределения fо(x),
2. Вывести формулу, связывающую функцию распределения Fо(x) с функцией Ф(х) Лапласа-Гаусса:
Ф(х) =
3. Используя полученную выше связь Fо(x) с Ф(х), построить график функции распределения Fо(x).
4. Выразить Р(х1< о<x2) через функцию Ф(х) (вывести формулу) исходя из соотношения
Р(х1< о<x2)=
5. Получить численное значение вероятности при х1 = ,+3у х2 = - 3у .
Решение:
Плотность вероятности для нормального распределения имеет вид
График этой функции приведен на рис. Он имеет вид колокола с максимумом в точке х = а=6 и расстоянием до точек перегиба у = 13/7.
2. Выведем формулу, связывающую функцию распределения Fо(x) с функцией Ф(х) Лапласа-Гаусса:
Ф(х) =
Т.е. графики этих функций совпадают с точностью до значений по оси х
несовместный достоверный случайный событие
4. Выразим Р(х1< о<x2) через функцию Ф(х) (вывести формулу) исходя из соотношения
5. Получить численное значение вероятности при х1 = ,+3у х2 = - 3у .
Задание 6
Дайте подробные ответы на вопросы
Доказательство неравенства Чебышева
Пусть Х - случайная величина, имеющая конечную дисперсию. Тогда для любого е > 0 справедливо неравенство
Для доказательства неравенства Чебышева запишем выражение для дисперсии случайной величины
Пусть е - любое положительное число. Если в выражении для дисперсии мы выбросим из суммы все члены, где и оставим только те, где , то от этого сумма может только уменьшиться
На эта сумма уменьшится еще более, если в каждом члене заменить множитель меньшей величиной е2:
Сумма, стоящая теперь в правой части, есть сумма вероятностей всех тех значений хi случайной величины Х, которые отклоняются от МХ в ту или другую сторону больше чем на е; по правилу сложения это есть вероятность того, что величина х получит какое-либо одно из этих значений. Другими словами, это есть вероятность того, что отклонение х от средней величины окажется больше, чем е;
Таким образом, находим
Закон больших чисел в форме Чебышева
Если Х1, Х2, … - последовательность попарно независимых случайных величин, дисперсии которых равномерно ограничены, т.е. DXk ? C для каждого k, то эта последовательность подчиняется слабому закону больших чисел, т.е. для любого е > 0 справедливо равенство
Другими словами, если
сходится к нулю «по вероятности».
Законами больших чисел принято называть утверждения об условиях, при которых последовательность случайная величина «удовлетворяет закону больших чисел».
Если случайные величины одинаково распределены, то математические ожидания у них одинаковы и равны, например, а, то приведенное выше утверждение можно записать в виде.
И тогда закон больших чисел в форме Чебышева формулируется так:
Для любой последовательности независимых и одинаково распределенных случайных величин с конечной дисперсией для любого е > 0 справедливо равенство
То есть, по сути это означает, что среднее арифметическое большого числа случайных слагаемых «стабилизируется» с ростом этого числа. Как бы сильно каждая случайная величина не отклонялась от своего среднего значения, при суммировании эти отклонения «взаимно гасятся», так что среднее арифметическое приближается к постоянной величине.
Доказательство.
Обозначим через сумму первых n случайных величин, а через
их среднее арифметическое. Тогда
Пусть е > 0. Воспользуемся неравенством Чебышёва
Т.к. случайные величины независимы и одинаково распределены
при , поскольку DX, по условию, конечна.
Получим в качестве следствия из ЗБЧ Чебышёва закон больших чисел Я. Бернулли (1713). В отличие от доказанного через полтора столетия ЗБЧ Чебышёва, описывающего предельное поведение среднего арифметического с. в. с произвольными распределениями, ЗБЧ Бернулли -- утверждение только для схемы Бернулли.
Закон больших чисел в форме Бернулли
Пусть А -- событие, которое может произойти в любом из n независимых испытаний с одной и той же вероятностью Р(А) . Пусть m -- число осуществлений события A в испытаниях. Тогда частота
стремится «по вероятности к Р(А), т.е. для любого е > 0
Доказательство.
Заметим, что m есть сумма независимых, одинаково распределенных случайных величин, имеющих распределение Бернулли с параметром, равным вероятности успеха Р(А) (индикаторов того, что в соответствующем испытании произошло А):
,
xi = 1, если А произошло в i - м испытании;
xi = 0, если А не произошло в i - м испытании;
Осталось воспользоваться законом больших чисел в форме Чебышёва и неравенством Чебышева
Список литературы
1. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятности и математической статистике. М., 1979.
2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика (4-е изд.). М.: Высшая школа, 1972
3. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей (2-е изд.) М.: Наука, 1974
4. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. М., Наука, 1986
