Методика изучения многочленов на факультативных занятиях в старших класса средней общеобразовательной школе

Работа из раздела: «Математика»

0

/

Содержание

Глава I. Теоретические аспекты по теме «Многочлены»

§1. Понятие многочленов

§2. Многочлены от одной переменной

§3. Свойства делимости многочленов

§4. Метод неопределённых коэффициентов

§5. Деление многочленов на многочлен «столбиком» (или «углом»)

§6. Теорема Безу и её следствия

§7. Утверждения о корнях многочлена

§8. Разложения многочлена на множители

§9. Понятие кольца многочлена

§10. Операции над многочленами

§11. Степень многочленов

§12. Деление на двучлен и корни многочлена

§13. Максимальное число корней многочлена над областью целостности

§14. Алгебраическое и функциональное равенство многочленов

§15. Алгоритм Евклида. НОД двух многочленов

§16. Наименьшее общее кратное

§17. Формальная производная многочлена. Неприводимые кратные многочлена

§18. Свойства производных

Глава II. Методический и психолого-педагогический аспект в изучении темы « Многочлены»

§1. Развитие логического мышления при изучении темы

§2. Методы обучения, используемые при преподавании темы

§3. Методические рекомендации по проведению практических занятий

§4. Использование свойств делимости многочленов

§5. Методика изучения теоремы Безу и её следствий

§6. Применение утверждения о корнях многочлена

§7. Методы разложения многочлена на множители

Приложение

Заключение

Литература

Введение

Главной целью факультативных занятий по математике является углубление и расширение знаний, .развитие интереса учащихся к предмету, развитие их математических способностей, привитие школьникам интереса и вкуса к самостоятельным занятиям математикой, воспитание и развитие их инициативы и творчества.

Программа основного курса математики вместе с программой факультативных занятий по математике¹ для средней школы составляют программу повышенного уровня по данному предмету для учащихся данного класса.

Программа факультативных занятий по математике составлена так, что все вопросы ее могут изучаться синхронно с изучением основного курса математики в школе. В тех случаях, когда в данном классе основной курс математики ведет один учитель, а факультативный -- другой, изучение тем факультатива может проводиться независимо от основного курса программы (в этом случае изучение тем можно проводить с некоторым запозданием по отношению к основному курсу программы). Для того чтобы факультативные занятия по математике были аффективными, необходимо их организовать там, где есть:

1) высококвалифицированные учителя или другие специалисты, способные вести занятия на высоком научно-методическом уровне;

2) не менее 15 учащихся, желающих изучать данный факультативный курс.

Если школа имеет классы с небольшой наполняемостью (что особенно характерно для некоторых сельских школ), то группы учащихся для факультативных занятий можно комплектовать по параллелям или из учащихся смежных классов (IX--X классы, X--XI классы и т. п.).

Запись учащихся на факультативные занятия производится на добровольных началах в соответствии с их интересами. Не следует принуждать учащихся обязательно изучать факультативные предметы. Особенно внимательно следует относиться к тем учащимся, которые встречают трудности в изучении математики или совмещают обучение в школе с другими видами занятий (спорт, музыка и т. д.).

По окончании факультативного курса учащиеся сдают зачет (с оценкой), о чем делается отметка в аттестате.

Учитель математики несет полную ответственность за качество факультативных занятий; факультативные занятия вносятся в расписание и оплачиваются учителю.

Проведение факультативных занятий по математике не означает отказа от других форм внеклассной работы (математические кружки, вечера, олимпиады и т. д.). Они должны дополнять эти формы работы с учащимися, которые интересуются математикой.

Возможность 1--2 часа в неделю дополнительно работать со школьниками, проявляющими повышенный интерес и способности к математике, представляет собой одно из проявлений новой формы обучения математике -- дифференцированного обучения. По существу факультативные занятия являются наиболее динамичной разновидностью дифференциации обучения.

В какой бы форме и какими бы методами не проводились факультативные занятия по математике, они должны строиться так, чтобы быть для учащихся интересными, увлекательными, а подчас и занимательными. Необходимо использовать естественную любознательность школьника для формирования устойчивого интереса к своему предмету. Известный французский физик Луи де Бройль писал, что современная наука -- «дочь удивления и любопытства, которые всегда являются ее скрытыми движущими силами, обеспечивающими ее непрерывное развитие».

Основными формами проведения факультативных занятий по математике являются в настоящее время изложение узловых вопросов данного факультативного курса учителем (лекционным методом), семинары, собеседования (дискуссии), решение задач, рефераты учащихся (как по теоретическим вопросам, так и по решению цикла задач), математические сочинения, доклады учащихся и т. д.

Однако учителю не следует отдавать предпочтение какой-либо одной форме или методу изложения. Вместе с тем, памятуя о том, что на факультативных занятиях по математике самостоятельная работа учащихся должна занять ведущее положение, следует все же чаще применять решение задач, рефераты, доклады, семинары-дискуссии, чтение учебной и научно-популярной литературы и т. п.

Одной из возможных форм ведения факультативных занятий по математике является разделение каждого занятия на две части. Первая часть посвящается изучению нового материала и самостоятельной работе учащихся по заданиям теоретического и практического характера. По окончании этой части занятия учащимся предлагается домашнее задание по изучению теории, и ее приложений. Вторая часть каждого занятия посвящена решению задач повышенной трудности и обсуждению решений особенно трудных пли интересных задач. Эта форма проведения факультативных занятий может способствовать успешному переходу от форм и методов обучения в школе к формам и методам обучения в высших учебных заведениях.

Естественно также при проведении факультативных занятий в основном использовать методы изучения (а не обучения) математики, а также проблемную форму обучения.

В частности, ее можно осуществить, если представить изучаемый факультативный курс в виде серии последовательно расположенных задач. «Решая последовательно все задачи самостоятельно или при незначительной помощи преподавателя, школьники постепенно изучают курс при большом личном участии, проявляя активность и самостоятельность, овладевая техникой математического мышления. Теоремы имеют вид задач. Если теорема, которую учащиеся должны доказать, является большой или трудной, то она разбивается на несколько задач так, что решение предыдущей помогает решить последующую. Определения либо включаются преподавателем в текст задачи, либо сообщаются особо. В необходимых случаях преподаватель проводит предварительную беседу или делает обобщения. Листочки с заданиями, размноженные на машинке, на каждое занятие выдаются всем ученикам».

Полезно также широко использовать задачи проблемного характера.

В настоящее время факультативные занятия по математике проводятся по двум основным направлениям на:

а) изучение курсов по программе «Дополнительные главы и вопросы курса математики»;

б) изучение специальных математических курсов. Содержание программы «Дополнительные главы и вопросы» систематического курса математики позволяет решить и углубить изучение программного материала, ознакомить учащихся с некоторыми общими современными математическими идеями, раскрыть приложение математики в практике, готовит учителя к работе по новой программе».

Актуальность данной темы заключается в сложности понимания изучаемого материала учениками из - за обильного количества понятий и формул, новизны изложения и различного символьного обозначения. Всё это приводит к плохой усвояемости материала. Так же влияет на усвоение материала количество часов, отводимых на изучение данной темы. Основной упор делается на внеклассные, индивидуальные и групповые занятия для более подробного и углубленного изучения предложенного материала.

Объектом исследования данной выпускной квалификационной работы является организация изучения темы «Многочлены».

Предметом исследования является методика изучения многочленов в 10-х, 11-х классах.

Цель: дать методические рекомендации по изучению данной темы.

Задачи:

· рассмотреть применение многочленов в 10-х и 11-х классах;

· привести методические рекомендации по проведению занятий по данной теме.

Методы исследования:

· анализ научной, учебной литературы;

· обобщение и систематизация теоретического материала;

· подбор методических разработок.

Данная работа содержит:

1. Содержит основные теоретические сведения по теме «Многочлены» в курсе алгебры и начал анализа в 10 - 11 классах.

2. Методические рекомендации о проведению внеклассных занятий по данной теме.

Практическая значимость работы состоит в том, что собранный материал может быть использован начинающими учителями школ в организации учебного процесса, а так же студентами педагогических ВУЗов в подготовке и проведении дополнительных, индивидуальных и групповых занятий, в период прохождения педагогической практики, в процессе изучения теории и методики преподавании математики.

Глава I. Теоретические аспекты по теме многочлены

§1. Понятие многочленов

Одночленом называется алгебраическое выражение, в котором числа и буквы связаны только двумя действиями - умножением и возведением в натуральную степень.

Например, каждое из алгебраических выражений

8; a; -10; bc; 4a; -c; -a·b²·c²; m·n·p⁴·k;

является одночленом. Если в одночлене произведение всех чисел записать перед буквами, а произведение каждой его буквы и ее степеней представить в натуральной степени этой буквы, то после такого преобразования одночлен считается записанным в стандартном виде, а его числовой множитель называется коэффициентом одночлена.

Степень одночлена, представляющего собой число, считается равной нулю.

Чтобы умножить одночлен, нужно перемножить их коэффициенты и перемножить степени с одинаковыми основаниями.

Чтобы возвести одночлен в степень, нужно возвести его коэффициент в эту степень и умножить показатель степени каждой буквы на показатель степени, в которую возводится одночлен.

Многочленом называется алгебраическая сумма нескольких одночленов.

Одночлены, из которых состоит многочлен, называются его членами. Одночлен есть частный случай многочлена.

Одночлены называются подобными, если, будучи записанными в стандартном виде, они совпадают или различаются только коэффициентами.

Например, одночлены 2a³·a; a⁴; 7a²; -5a⁴ подобны.

Подобные члены многочлена можно объединить в один член, им подобный, с коэффициентом, равным алгебраической сумме коэффициентов объединяемых членов; такая их замена называется привидением подобных членов.

Многочлен, содержащийся в скобках, перед которыми стоит знак плюс, можно записать без скобок, сохранив знаки, стоящие перед его одночленами.

Например: 1+3a+(8b-4kc-5k+x) = 1+3a 8b-4kc-5k+x.

Многочлен, содержащийся в скобках, перед которыми стоит знак минус, можно записать без скобок, поменяв знак, стоящий перед каждым его одночленом, на противоположный.

Например: 4x-(4a-3bx+4ab-x²) = 4x-4a+3bx-4ab+x².

Суммой (разностью) двух многочленов называется многочлен, коэффициенты которого являются суммой (разностью) коэффициентов при подобных членах этих многочленов. Например, разность многочлена 5x+7y·x-3b и многочлена 4x-2y+5x·y есть многочлен x+2xy+2y-3.

Часто на практике для нахождения суммы и разности многочленов используют указанное выше правило раскрытия скобок.

Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно умножить каждый член первого многочлена на одночлен и сложить полученные одночлены.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно умножить каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена и полученные одночлены сложить.

Пример. (x+y)·(x-a-b)=x·x+x·(-a)+x·(-b)+y·x+y·(-a)+y·(-b)=x²-ax-xb+yx-ya-yb;

Свойства степеней для многочленов аналогичны соответствующим свойствам для чисел.

Пример. (a²+1)⁰=1;

а) (a²+a)⁰=1, если a0, a-1;

Представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов называется разложением многочлена на множители. Для разложения многочлена на множители применяются различные методы: формулы сокращенного умножения, вынесение общего множителя за скобки, метод группировки и др.

При разложении на множители бывает полезным использовать метод выделения полного квадрата относительно некоторой буквы (или выражения) с помощью формулы

P²2PQ+Q²=(PQ)².

Например,

a) x²+4x+8=x²+2·2·x+2²+4=(x+2)²+4;

b) a²·b²-a·b+1=(a·b)²-2··a·b++=(a·b-)²+;

§2. Многочлены от одной переменной

Многочлен P_n(x) относительно переменной x вида

P_n(x) = a₀·xⁿ + a₁·x^n-1+ a₂·x^n-2+…+ a_n-1·x+ a_n, (1),

где a₀, a_1, a₂… a_n- действительные числа и a₀ 0, называется многочленом, расположенным по убывающим степеням x, или многочленом, представленном в каноническом виде.

Числа a₀, a_1, a₂… a_n называются его коэффициентами, одночлен a₀·xⁿ - называют старшим членом, а число n-степенью многочлена.

Если у многочлена, представленного в каноническом виде, отсутствует некоторая степень x, то коэффициент соответствующего одночлена равен нулю.

Два многочлена, представленные в каноническом виде, тождественно равны, если равны их степени и равны коэффициенты при одинаковых степенях x.

Пример. Найти числа если многочлен x³+6x²+x+ является кубом двучлена x+.

Решение. Используя определение тождественного равенства двух многочленов, получаем систему:

откуда

Если многочлены Р_n(x), Q_m(x), и K_l(x) таковы, что справедливо тождественное равенство

то говорят, что каждый из многочленов и является делителем многочлена При этом говорят, что многочлен делится (нацело) на многочлен (или , и тогда многочлен (соответственно ) называют частным от деления многочлена на многочлен (соответственно .

Доказывается, что если многочлен степени n делится на многочлен степени m, то частным от деления будет многочлен степени n-m и этот многочлен единственный.

Отсюда следует, что если многочлен степени n делится на многочлен степени n, то , где , т.е. коэффициенты этих многочленов пропорциональны. Например если известно, что многочлен 2x²+b·x+c делится на многочлен x²-x+1, то b= -2 и c=2.

§3. Свойства делимости многочленов

1. Если многочлен делится на многочлен , а многочлен делится на многочлен , то многочлен делится на многочлен .

Например, многочлен x⁴-1 делится на многочлен х+1, поэтому многочлен х⁴-1 также делится на многочлен x²+1.

2. Если многочлены Р_n(x) и Q_m(x) делятся на многочлен , то многочлены

Р_n(x)+ Q_m(x) и Р_n(x)- Q_m(x) делятся на многочлен , а многочлен Р_n(x)· Q_m(x) делится на многочлен .

Например, каждый из многочленов x³-1 и 5·x²-x-4 делится на многочлен x-1; поэтому многочлен x³+5·x²-x-5, равный их сумме, и многочлен x³-5·x²+x+3, равный их разности, делится на x-1 , а многочлен 5·x⁵-x⁴-4·x³-5·x²+x+4, равный их произведению, делится на многочлен (x-1)² = x²-2x+1.

3. Если многочлен Р_n(x) делится на многочлен Q_m(x), то произведение многочлена Р_n(x) на любой многочлен также делится на многочлен Q_m(x).

Например, многочлен x²-x+1 делится на x²-x+1; поэтому многочлен x⁴+x²+1, равный произведению многочленов x²-x+1 и x²+x+1, делится на многочлен x²-x+1.

4. Многочлены Р_n(x) и Q_m(x) тогда и только тогда делятся друг на друга, когда

Р_n(x)=C· Q_m(x), где C0.

Пример. Известно, что многочлен x³+x+1 и многочлен Р_n(x) делятся друг на друга и Р_n(0) = 3. Найти многочлен Р_n(x).

Решение. Из свойства 4 следует Р_n(x) =c·( x³+x+1).Так как Р_n(0) = 3, то c = 3. Итак, Р_n(x) = 3x³+3x+3.

5. Если многочлен Р_n(x)= Q_m(x)· делится на двучлен x-, то хотя бы один из многочленов - Q_m(x) или - делится на x-.

Например, так как многочлен x⁴-1 делится на двучлен x-1 и x⁴-1=( x+1)·( x³-x²+x-1), то многочлен x³-x²+x-1 делится на двучлен x-1.

Разделить с остатком многочлен Р_n(x) на многочлен (m) это значит найти многочлены и (x) такие, что справедливо тождественное равенство

Р_n(x)= ·+(x),

где 0k<m. При этом многочлен называется частным, а многочлен (x)- остатком.

Заметим, что если многочлен Р_n(x) делится с остатком на многочлен , то существует единственная пара многочленов и (x) таких, что Р_n(x)= ·+(x), причем l = n-m, 0k<m.

Любой многочлен P_x(x) делится на многочлен T_m(x) (mn) либо нацело, либо с остатком. В первом случае (при делении нацело) частное от деления, а во втором случае (при делении с остатком) частное и остаток можно найти методом неопределённых коэффициентов.

многочлен множитель методика изучение

§4. Метод неопределённых коэффициентов

Даны многочлен: P_x(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1·x+a_n степени n и T_m(x)=b₀x^m+b₁x^m-1+…+b_m-1·x+b_m степени m (mn).

Положим частное q_n-m(x)=x^n-m+c₁x^n-m-1+…+c_n-m (1)

и остаток r_l(x)=d₀x^m-1+d₁x^m-2+…+d_m-1, (2)

где числа c1, c2, …,c_n-m и d₀, …,d_m-1 не определены.

Напишем тождественное равенство

P_n(x)=T_m(x)·q_n-m(x)+r_l(x). (3)

Перемножая многочлены T_m(x) и q_n-m(x) и приводя подобные члены, в правой части равенства (3) получим многочлен n-ой степени, который записывается в каноническом виде. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х этого многочлена и многочлена P_n(x), получим систему n уравнений, решая которую находим числа c₁, c₂, …,c_n-m, d₀, d₁,…,d_m-1.

Если окажется, что все числа d₀, d₁, …,d_m-1 равны нулю, то это означает, что многочлен P_n(x) делится нацело на многочлен T_m(x). Если хотя бы один из коэффициентов d_0, d_1, …, d_m-1 отличен от нуля, то многочлен P_n(x) делится на многочлен T_m(x) с остатком, при этом степень остатка l равна максимальной степени одночлена от x правой части (2), при котором коэффициент не равен нулю.

Пример. Разделить многочлен 2x⁴+x³-5x²-x+1 на многочлен x²-x.

Решение. Ищем частное от деления многочленов в виде многочлена q₂(x)=2x²+c₁x+c₂, а остаток в виде многочлена r₁(x)=d₀x+d₁. Имеем тождественное равенство 2x⁴+x³-5x²-x+1=(2x²+c₁x+c₂)·(x²-x)+d₀x+d₁. Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем 2x⁴+x³-5x²-x+1=2x⁴+(c₁-2)·x³+(-c₁+c₂)·x²+(d₀-c₂)·x+d₁.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, имеем систему

c₁-2=1,

-c₁+c₂=-5,

d₀-c₂=-1,

d₁=1,

откуда c₁=3, c₂=-2, d₀=-3, d₁=1.

Следовательно, q₂(x)=2x²+3x-2, а r₁(x)=-3x+1, т.е.

2x⁴+x³-5x²-x+1=(2x²+3x-2)·(x²-x)-3x+1.

Пример. Разделить многочлен -12x⁶+4x⁵-3x⁴+4x³+8x²-1 на многочлен x²+1.

Решение. Ищем частное от деления многочленов в виде многочлена q₄(x)=-12x⁴+c₁·

x³+c₂x²+c₃x+c₄, а остаток в виде многочлена r₁(x)=d₀x+d₁. Имеем тождественное равенство

-12x⁶+4x⁵-3x⁴+4x³+8x²-1=(-12x⁴+c₁x³+c₂x²+c₃x+c₄)·(x²+1)+d₀x+d₁, или

-12x⁶+c₁x⁵+(c₂-12)·x⁴+(c₃+c₁)·x³+(c₄+c₂)·x²+(c₃+d₀)·x+c₄+d₁.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем систему:

откуда c₁=4, c₂=9, c₃=0, c₄=-1, d₀=0, d₁=0.

Следовательно, q₄(x)=-12x⁴+4x³+9x³+9x²-1 и r₁(x)=0, т.е.

многочлен -12x⁶+4x⁵-3x⁴+4x³+8x²-1 нацело делится на многочлен x²+1 и -12x⁶+4x⁵-3x⁴+4x³+8x²-1=(-12x⁴+4x³+9x²-1)·(x²+1).

§5. Деление многочленов на многочлен «столбиком» (или «углом»)

Проиллюстрируем этот метод на примере деления многочлена 2x⁴-3x³+4x²+1 на многочлен x²-1:

В общем случае при делении многочлена P_n(x) на многочлен T_m(x) «столбиком» многочлены P_n(x) и T_m(x) располагают по убывающим степеням x. Затем старший член многочлена P_n(x) делят на старший член многочлена T_m(x) и получают старший член частного-многочлена q(x) умножают затем на делитель-многочлен T_m(x) и полученный многочлен вычитают из многочлена P_n(x). В результате вычитания получается некоторый многочлен D₁(x), степень которого меньше n.

Если степень многочлена D₁(x) меньше m, то процесс деления окончен, при этом многочлен D₁(x)-остаток. Если степень многочлена D₁(x), больше или равна m, то описанная процедура деления повторяется для многочлена D₁(x), т.е. старший член многочлена D₁(x) делят на старший член многочлена T_m(x) и полученный многочлен вычитают из многочлена D₁(x). В результате вычитания получается многочлен D₂(x), степень которого меньше n-1. Если степень многочлена D₂(x) меньше m,то процесс деления окончен, при этом многочлен D₂(x)-остаток. Если же степень многочлена D₂(x) больше или равна m, то описанная процедура деления повторяется для многочлена D₂(x). Процесс продолжается до тех пор, пока степень полученного на k-м шаге многочлена D_k(x) станет меньше степени многочлена T_m(x), т.е. меньше m. При этом многочлен D_k(x) -остаток.

При делении многочлена P_n(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n, расположенного по убывающим степеням x, на двучлен применяется метод сокращённого деления, называемой схемой Горнера. Этот метод есть непосредственное следствие метода неопределённых коэффициентов. Заметим, что при делении многочлена P_n(x) степени n на двучлен в частном получается многочлен Q_n-1(x)=a_0·x^n-1+b_1·x^n-2+…+b_n-1 степени n-1, а в остатке - число (в частности, нуль). По методу неопределённых коэффициентов имеем

т.е.

+…

+ (4)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой части равенства (4), находим

Откуда получаем рекуррентные формулы для нахождения коэффициентов частного b₁, b₂, … ,b_n-1 и остатка r:

Практически вычисление коэффициентов частного Q_n-1(x) и остатка r проводится по следующей схеме (схема Горнера):

0

/

В этой схеме, начиная с коэффициента b₁, каждое число третьей строки получается из предыдущего числа этой строки умножением на число и прибавлением к полученному результату соответствующего числа первой строки, стоящего над искомым числом.

При делении многочлена P_n(x) на x- имеем тождественное равенство

P_n(x) =(x - )· Q_n-1(x)+r .

Оно справедливо, в частности, при x =, т. е. P_n() = r

Следующая теорема позволяет найти остаток от деления многочлена на двучлен, не находя частного.

§6. Теорема Безу и её следствия

Остаток от деления многочлена P_n(x) на двучлен x - равен значению многочлена P_n(x) при x =, т.е. r = P_n().

Число называется корнем многочлена P_n(x), если при x = числовое значение многочлена равно нулю, т.е. P_n(x)= 0.

Замечание: При делении многочлена P_n(x) на двучлен вида ax+b получается остаток, равный значению этого многочлена при x = т.е. r = P_n(-).

Следствия

1. Многочлен P_n(x) делится на x- тогда и только тогда, когда число является корнем многочлена P_n(x).

2. Многочлен xⁿ-ⁿ делится на x- при любом натуральном n, причем

= .

3. Многочлен x²ⁿ-²ⁿ делится на x+ при любом натуральном n, причем

= .

4. Многочлен x²ⁿ⁺¹+²ⁿ⁺¹ делится на x+ при любом натуральном n, причем

А для всякого многочлена P_n(x) (n2) существует двучлен x- такой, что многочлен P_n(x) делится нацело на этот двучлен x-. Примером этого может служить многочлен второй степени вида a·x²+b·x+c, a0, в случая, когда b² - 4·a·c < 0.

Многочлен a·x²+b·x+c, где a0, называется квадратным трехчленом.

Проведем преобразование квадратного трехчлена, которое называется выделением полного квадрата :

a·x²+b·x+c = a·(x²+·x+) =

= a·(x²+2x· +()²+ -()²) =

a·((x+)² +-) = a·( x+)² - .

выражение b² - 4·a·c называется дискриминантом квадратного трехчлена и обозначается D, т.е. по определению D= b² - 4·a·c. Если D > 0, то квадратный трехчлен представим в виде

a·x²+b·x+c = a·( x+)²- = a·( x+)²- ² =

=a·(x+ +)·(x+ -) =

=a·( x-)·( x +),

т.е. в этом случае квадратный трехчлен разлагается в произведение двух линейных множителей, а каждое из чисел

x₁ = и x₂ =

является корнем квадратного трехчлена.

Если D = 0, то квадратный трехчлен представим в виде

a·x²+b·x+c = a·( x+)²,

т.е. разлагается в произведение двух совпадающих линейных множителей и обращается в нуль при x = ( корень кратности два).

При D > 0 квадратный трехчлен на линейные множители не разлагается и не имеет действительных корней.

Пример. Разложить на множители квадратный трехчлен:

1) 2·x² -12·x +18;

2) 3·x²-3·x -6;

3) x²-x +1.

Решение.

1) Так как D = 12² - 8·18 =0, то x₁=x₂=3; следовательно,

2·x² -12·x +18 = 2·(x-3)²;

2) так как D = 9+4·3·6 >0, то x₁=2 и x₂=-1;

следовательно, 3·x²-3·x -6=3·(x-2)·(x+1);

3) так как D=1-4<0, то квадратный трехчлен x²-x +1 не имеет действительных корней и на линейные множители не разлагается.

Заметим, что если D 0, то для корней x₁ и x₂ квадратного трехчлена a·x²+b·x+c справедливы равенства (Теорема ВИЕТА):

x₁·x₂ = и x₁+x₂ = -.

Справедливо и обратное утверждение: если числа и таковы, что ·= и +=-, то они являются корнями квадратного трехчлена a·x²+b·x+c.

В случае приведенного квадратного трехчлена x² +p·x+q иногда легко найти два таких числа, произведение которых равно свободному члену q, а их сумма равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, т.е. -p. Согласно теореме Виета, эти найденные числа и являются корнями приведенного квадратного трехчлена x² +p·x+q.

Для любого многочлена степени больше 2 доказывается, что существует квадратный трехчлен, на который данный многочлен делится нацело.

Для многочлена третьей степени P₃(x)=a·x³+b·x²+c·x+d из двух: либо он разлагается в произведение двучлена и квадратного трехчлена, т.е.

P₃(x)=a·(x-)·(x)·(x-),

где числа не обязательно различные, либо он разлагается в произведение двучлена и квадратного трёхчлена, т.е.

P₃(x)=a·(x-)·(x²+).

§7. Утверждения о корнях многочлена

1. Многочлен n-й степени имеет не более n действительных корней (с учётом их кратностей).

2. Многочлен нечётной степени имеет хотя бы один действительный корень.

3. (Теорема Виета). Если x₁, x₂, …, x_n-действительные корни многочлена

P_n(x)=a₀·xⁿ+a₁·x^n-1+…+a_n, то имеют место следующие равенства:

4. Если P_n(x)=Q_m(x)·K_l(x), то каждый корень многочлена P_n(x) есть корень хотя бы одного из многочленов Q_m(x) и K_l(x), а каждый корень многочлена Q_m(x) и каждый корень многочлена K_l(x) являются корнями многочлена P_n(x).

5. Если - корень многочлена P_n(x), то P_n(x) = (x-)· Q_m-1(x), где Q_m-1(x) - некоторый многочлен степени n-1.

Нахождение корней многочлена представляет собой в общем случае не простую задачу, однако в тех случаях, когда многочлен P_n(x) разложен в произведение многочленов, степень каждого из которых не больше 2, эту задачу удается решить полностью, так как по свойству 4 множество корней многочлена P_n(x) совпадает с множеством корней его делителей.

Для того чтобы несократимая дробь p/q (p-целое, q-натуральное) была корнем многочлена

P_n(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n

С целыми коэффициентами, необходимо, чтобы число p было делителем свободного члена a_n, а число q-делителем старшего коэффициента a₀.

В частности, если многочлен P_n(x) имеет целые коэффициенты и a₀=1, то рациональными корнями такого многочлена могут быть только целые числа, которые являются делителями свободного члена a_n.

Пример. Найти корни многочлена

P(x)=2x³+x²-4x-2.

Решение. Выясним, имеет ли данный многочлен своим корнем рациональное число. Пусть несократимая дробь p/q является корнем данного многочлена, тогда, согласно приведённому выше утверждению, число p может принимать значения: -1, 1, -2, 2, а число q-может принимать значения 1, 2. Таким образом, рациональными корнями данного многочлена могут быть только следующие числа:

-2, -1, -, , 1, 2.

Непосредственной подстановкой каждого из этих чисел в данный многочлен получаем

P(-2)0, P(-1)0, P(-)0, P()0, P(1)0, P(2)0.

Следовательно, x =- является корнем данного многочлена P(x) и P(x)=(x+)·Q(x).

Применяя схему Горнера, находим выражение Q(x)=2x²-4, корнями которого являются числа и -. Поэтому данный многочлен имеет корни x₁=-, x₂= и x₃=-.

Пример. Разложить на множители многочлен P(x)=2x⁴+2x²+3x-2.

Решение. Выясним, имеет ли многочлен своим корнем рациональное число. Пусть несократимая дробь p/q является корнем данного многочлена, тогда число p может принимать значения -1, 1, -2, 2, а число q-значения 1 и 2. Таким образом, рациональными корнями данного многочлена могут быть следующие числа:

-2, -1, -, , 1, 2.

Непосредственной подстановкой каждого из этих чисел в многочлен получаем

P(-2)0, P(-1)0, P(-)0, P()0, P(1)0, P(2)0.

Так как P(-1)= P()=0, то числа -1 и являются корнями данного многочлена; следовательно, P(x)=(x+1)·(x- )·Q(x).

Многочлен Q(x) можно найти, например, делением «столбиком» многочлена P_n(x) на многочлен (x+1)·(x-)=x²+- или делением по схеме Горнера многочлена P_n(x) на x+1, а затем делением полученного частного на x- или методом неопределённых коэффициентов.

Найдём многочлен Q(x)=2x²+bx+c методом неопределённых коэффициентов.

Поскольку справедливо тождественное равенство

2x⁴-x³+2x²+3x-2=(x²+-)·(2x²+bx+c)

И свободный член многочлена, стоящего в левой части, равен -2, а свободный член многочлена, стоящего в правой части, равен -c, то c=4. Подставляя в тождество вместо c значение 4, а вместо х число 1, находим b:

2·1-1+2·1+3·1-2=(1+-)·(2·1+b·1+4), откуда b=-2.

Итак, Q(x)=2x²-2x+4.

Многочлен 2x²-2x+4 действительных корней не имеет и на множители не разлагается. Поэтому данный в условии задачи многочлен разлагается на множители следующим образом: 2x⁴-x³+2x²+3x-2=2(x -)·(x²-x+2).

§8. Разложения многочлена на множители

1. Вынесение общего множителя за скобки и способ группировки. В ряде случаев, целесообразно заменить некоторые члены на сумму (разность) подобных слагаемых или ввести взаимно уничтожающиеся члены.

2. Использование формул сокращённого умножения. Иногда приходится выносить множители за скобки, группировать члены, выделять полный квадрат и только затем сумму кубов, разность квадратов или разность кубов представлять в виде произведения.

3. Использование теоремы Безу и метода неопределённых коэффициентов.

Пример. Разложить на множители:

P₃ (x)= x³+4x²+5x+2;

Так как P₃ (-1)=0, то многочлен P₃ (x) делится на x+1. Методом неопределённых коэффициентов найдём частное от деления многочлена

P₃ (x)= x³+4x²+5x+2 на двучлен x+1.

Пусть частное есть многочлен x²+. Так как x³+4x²+5x+2=(x+1)·( x²+)=x³+(+1)·x²+()·x+, получим систему:

Откуда . Следовательно, P₃ (x)=(x+1)·(x²+3x+2).

Поскольку x²+3x+2=x²+x+2x+2=x·(x+1)+2·(x+1)=(x+1)·(x+2), то P₃ (x)=(x+1)²·(x+2).

4.Использование теоремы Безу и деления «столбиком».

Пример. Разложить на множители

P₄ (x) = 5·x⁴+9·x³-2·x²-4·x -8.

Решение. Поскольку P₄ (1) = 5+9-2-4-8 = 0, то P₄ (x) делится на (x-1). Деление «столбиком» найдем частное

Следовательно,

P₄ (x) = (x-)·(5·x³+14x²+12x+8)=

= (x-1) ·P₃(x).

Так как P₃ (-2) = -40+56-24+8=0, то многочлен P₃ (x) = 5·x³+14x²+12x+8 делится на x+2.

Найдем частное делением «столбиком»:

Следовательно,

P₃ (x) = (x+2)·( 5·x²+4x+4).

Так как дискриминант квадратного трехчлена 5·x²+4x+4 равен D = -24<0, то этот квадратный трехчлен на линейные множители не разлагается.

Итак, P₄ (x) = (x-1)·(x+2)·( 5·x²+4x+4)

5. Использование теоремы Безу и схемы Горнера. Полученное этими способами частное можно разлагать на множители любым другим или этим же способом.

Пример. Разложить на множители:

P₃ (x) = 2·x³ -5·x² -196·x+99;

Решение.

Если данный многочлен имеет рациональные корни, то они могут быть только среди чисел 1/2, 1, 3/2, 3, 9/2, 11/2, 9, 33, 99, 11.

Для нахождения корня данного многочлена воспользуемся следующим утверждением:

Если на концах некоторого отрезка значения многочлена имеют разные знаки, то на интервале(a;b) существует хотя бы один корень этого многочлена.

Для данного многочлена P₃(0) =99, P₃(1) = - 100. Следовательно, на интервале (0; 1) имеется по крайней мере один корень данного многочлена. Поэтому среди выписанных выше 24 чисел целесообразно вначале проверить те числа, которые принадлежат интервалу

(0; 1). Из этих чисел только число принадлежит этому интервалу.

Значение P₃(x) при x=1/2 можно находить не только непосредственной подстановкой, но и другими способами, например по схеме Горнера, так как P() равно остатку от деления многочлена P(x) на x-. Более того, во многих примерах этот способ предпочтительнее, так как одновременно находятся и коэффициенты частного.

По схеме Горнера для данного примера получим

Так как P₃(1/2) = 0, то x =1/2 является корнем многочлена P₃(x), и многочлен P₃(x) делится на x-1/2, т.е. 2·x³-5·x²-196·x+99 =(x-1/2)·(2·x²-4·x-198).

Поскольку 2·x²-4·x-198 = 2·(x²-2·x+1-100) = 2·((x-1)²-10²) = 2·(x+9)·(x-11), то

P₃(x) = 2·x³-5·x²-196·x+99 = 2·(x-1/2)·(x+9)·(x-11).

Понятие кольца многочлена

Пусть К и L коммутативные кольца

Определение 1: Кольцо К называется простым расширением кольца K с помощью элементов x и пишут:

L=K[x] , если выполняются условия:

подкольцо кольца

Основное множество K[x] обозначают сомволами L, K[x].

Определение 2: Простое расширение L=K[x] кольца K с помощью x - простое трансцендентное расширение кольца K с помощью x, если выполняются условия:

подкольцо кольца

, если , то

Определение 3: Элемент x называется трансцендентным над кольцом K, если выполняется условие: , если , то

Предложение. Пусть K[x] простое трансцендентное расширение. Если и , где , то

Доказательство. По условию , вычтем из первого выражения второе, получим: так как элемент x трансцендентен над K, то из (3) получим:.

Вывод. Любой элемент простого трансцендентного расширения неравного нулю, коммутативного кольца K с помощью элемента x допускает единственное представление в виде линейной комбинации целых неотрицательных степеней элемента x

Определение: Кольцом многочлена от неизвестного x над, неравным нулю, кольцом K называется простое трансцендентное расширение не нулевого коммутативного кольца K с помощью элемента x.

Теорема. Для любого не нулевого коммутативного кольца K, существует его простое трансцендентное расширение с помощью элемента x, k[x]

Операции над многочленами

Пусть k[x] кольцо многочленов не нулевого коммутативного кольца K

Определение 1: Многочлены f и g принадлежащие k[x], называются равными и пишут f = g, если равны между собой все коэффициенты многочленов f и g, стоящие при одних степенях неизвестного x.

Следствие. В записи многочлена порядок следования слагаемых не существенно. Приписывая и исключая из записи многочлена слагаемые с нулевым коэффициентом, не изменит многочлен.

Пусть ;

Определение 2. Суммой многочленов f и g называется многочлен f + g, определяемый равенством:

, где ; , .

Определение 3: - произведение многочленов, обозначается , который определяется по правилу:

, где .

Степень многочленов

Пусть коммутативное кольцо. k[x] кольцо многочленов над полем K : ,

Определение: Пусть - любой многочлен. Если , то целое неотрицательное число n - степень многочленов f. При этом пишут n=deg f.

Числа - коэффициенты многочлена, где - старший коэффициент.

Если , f - нормированный. Степень нулевого многочлена неопределенна.

Свойства степени многочлена

и .

ии

K - область целостности

Доказательство:

, так как и . К - область целостности .

Следствие 1: k[x] над полем К (область целостности) в свою очередь является областью целостности. Для любой области целостности существует область частности.

Следствие 2: Для любого k[x] над областью целостности К существует поле частных.

Деление на двучлен и корни многочлена.

Пусть , элемент называется значением многочлена f от аргумента .

Теорема Безу: Для любого многочлена и элемента , существует элемент : .

Доказательство: Пусть - любой многочлен

.

Следствие: Остаток от деления многочлена на , равно .

Определение: Элемент называется корнем многочлена f , если .

Теорема: Пусть , элемент является корнем f тогда и только тогда, когда делит f

Доказательство:

Необходимости. Пусть , , из теоремы Безу следует, что , из свойств делимости следует, что

Достаточности. Пусть , что . ч.т.д.

Максимальное число корней многочлена над областью целостности.

Теорема: Пусть k - область целостности . Число корней многочлена f в области целостности k не больше степени n многочлена f.

Доказательство:

Индукцией по степени многочлена. Пусть многочлен f имеет ноль корней, и их число не превосходит .

Пусть теорема доказана для любого .

Покажем, что из пункта 2 следует истинность утверждения теоремы для многочленов .

Пусть и , возможны два случая:

А) Многочлен f не имеет корней, следовательно, утверждение теоремы истинно.

Б) Многочлен f имеет, по крайней мере, корень, по теореме Безу , , так как k - область целостности то по свойству 3 (степени многочлена), следует, что

Пусть и

, так как , k - область целостности.

Таким образом, все корни многочлена , является корнем многочлена g так как , то по индукционному предположению, число всех корней многочлена g не больше n, следовательно, f имеет не больше (n+1) корень.

Следствие: Пусть k- область целостности, если число корней многочлена f больше числа n, где , то f- нулевой многочлен.

Алгебраическое и функциональное равенство многочленов.

Пусть , - какой-то многочлен, он определяет некоторую функцию

в общем случае, любой многочлен может определять одну функцию.

Теорема: Пусть k- область целостности, таким образом, для равенства многочленов и равенство (тождественное равенство ()) определяемыми и .

Доказательство:

Необходимости. Пусть и - область целостности, , .

Пусть , то есть

Достаточности. Предположим, что . Рассмотрим , , так как k область целостности, то многочлен h имеет число корней, из следствия следует, что h нулевой многочлен. Таким образом, ч.т.д.

Теорема о делимости с остатком

Определение: Евклидовым кольцом K называется такая область целостности k, что на множестве определена функция h, приминающая целые неотрицательные значения и удовлетворяет условию

, и или .

В процессе нахождения элементов для данных элементов называется делением с остатком, - неполное частное, - остаток от деления .

Пусть - кольцо многочленов над полем .

Теорема (о делении с остатком): Пусть - кольцо многочленов над полем и многочлен существует единственная пара многочленов , такая, что и выполняется условие или . или

Доказательство: Существование многочлена. Пусть , то есть . Теорема верна, очевидно, если - нулевой или , так как или . Докажем теорему, когда. Доказательство проведём по индукции степени многочлена , предположим, что теорема доказана (кроме единственности), для многочлена . Покажем, что в этом случае утверждение теоремы выполнено для . Действительно, пусть - старший коэффициент многочлена , следовательно, многочлен будет иметь тот же старший коэффициент и тужу степень, что у многочлена , следовательно многочлен будет иметь или является нулевым многочленом. Если , то , следовательно, при и получим . Если , то по индуктивному предположению , следовательно, , то есть, при получаем или . Существование многочлена доказано.

Покажем, что такая пара многочленов единственна.

Пусть существует или , вычтем: . Возможны два случая или .

Пусть .

С другой стороны. По условию степени или , или .

Если . Получено противоречие, таким образом . Единственность доказана.

Следствие 1: Кольцом многочленов над полем , является Евклидово пространство.

Следствие 2: Кольцом многочленов над , является кольцом главных идеалов (любой идеал имеет единственную образующую)

Любое Евклидово кольцо факториально: Кольцо многочлена над , называется факториальным кольцом.

Алгоритм Евклида. НОД двух многочленов.

Пусть кольцо многочленов над .

Определение 1: Пусть и , если существует многочлен , то остаток от деления равен нулю, то называется делителем многочлена и обозначается: ().

Определение 2: Наибольший общий делитель многочленов и называется многочлен :

и (- общий делитель и ).

( на любой общий делитель и ).

Наибольший общий делитель многочленов и обозначается НОД(;). К числу общих делителей любых многочленов относят все многочлены нулевой степени из , то есть не нулевого поля . Может оказаться так, что два данных многочлена и не имеют общих делителей, не являющиеся нулевыми многочленами.

Определение: Если многочлены и не имеют общих делителей не являющихся многочленами нулевой степени, то они называются взаимно простыми.

Лемма: Если многочлены от над полем , имеет место , то наибольшим общим делителем многочленов и ассоциированы НОД . ~

Запись (a~b) означает, что ( и ) по определению.

Доказательство: Пусть и

и , отсюда следует, что и поучаем, что - общий делитель многочлена и .

общий делитель и , получаем

Алгоритм Евклида.

Пусть и многочлены из кольца над . Алгоритм Евклида, нахождения , заключается в том, что методом последовательного деления задача нахождения НОД многочленов и , сводится к задаче нахождения НОД двух многочленов меньшей степени.

Пусть , по теореме о делимости с остатком существуют многочлены , возможны два случая:

,

, по теореме о делимости с остатком , в этом случае разделим с остатком на : . Предположим . Продолжим процесс деления по изложенной схеме до появления нулевого остатка от деления. Получим следующую цепочку последовательности деления:

и

и

…

и

.

Полученная цепочка последовательности деления конечна, так как , и при этом - целое неотрицательное число, следовательно, существует конечное число целых неотрицательных чисел меньше степени , является степенями полученных остатков от деления. По лемме:

.

Таким образом, , при последовательном делении с помощью алгоритма Евклида.

Наименьшее общее кратное

Пусть кольцо многочленов над .

Определение: многочлен называется наименьшим общим кратным многочленов и , если выполняются условия:

, - общее кратное и .

.

- наименьшее среди всех общих кратных многочленов и .

Используем следующие обозначения - произвольный отрезок. Наименьшее общее кратное и - нормированное. Символом НоК обозначается нормированное наименьшее общее кратное.

Замечание: Для произвольных многочленов и , существует (пересечение главных идеалов)

,

.

Теорема (связь НОД и НОК): Пусть и - произвольные многочлены от над , таким образом, имеет место следующее отношение: .

Доказательство: Введём обозначения . Рассмотрим многочлен .

, таким образом, существуют и , такие, что , где .

Рассмотрим , тогда и и , таким образом .

Получили , ч.т.д.

Пример: , найти

Решение:

Таким образом

Ответ:

Формальная производная многочлена. Неприводимые кратные многочлена.

Пусть кольцо многочленов , образующие . Пусть - простое трансцендентное расширение с помощью .

. Элемент - многочлен от переменной , коэффициент которой является многочленом от переменной над . Если и зависит от , то пишут через . Если зависит от , то пишут через .

Пусть , , обозначим , таким образом: . .

Определение 1: Пусть . Формальной производной многочлена называется многочлен , формальная производная обозначается или.

Свойства производных

Для любых многочленов и

1°

2°

3°

4°

Доказательство 1°

Таким образом: , ч.т.д.

Доказательство 2°

,

ч.т.д

Доказательство 3°

Следует из свойств 2° при ;

Доказательство 4° следует из свойства 2° при индукцией по степени .

Глава II. Методический и психолого-педагогический аспект в изучении темы « Многочлены»

§1. Развитие логического мышления при изучении темы

Наше познание окружающей действительности начинается с ощущений и восприятия и переходит к мышлению. Функция мышления - расширение границ познания путем выхода за пределы известного восприятия. Мышление позволяет с помощью умозаключения раскрыть то, что не дано непосредственно в восприятии.

Задача мышления - раскрытие отношений между предметами, выявление связей и отделение их от случайных совпадений. Мышление оперирует понятиями и принимает на себя функции обобщения и планирования. Мышление - наиболее обобщенная и опосредованная форма психического отражения, устанавливающая связи между познаваемыми объектами.

С развитием общества мышление эволюционирует и все более переходит к обобщенному, теоретическому мышлению в понятиях. Появляются и развиваются абстракции числа, пространства и времени. Так же как развитие технического потенциала общества приводит к оперированию понятиями, не имеющими не только чувственных, но и вообще каких-либо представлений.

Поэтому развитие мышление ребенка происходит постепенно. Поначалу оно в большей степени определяется развитием манипулирования предметами, которое вначале не имеет осмысленности, затем начинает определяться объектом, на который оно направленно, и приобретает осмысленный характер.

Интеллектуальное развитие ребенка осуществляется в ходе его предметной деятельности и общения, в ходе освоения общественного опыта.

Последовательные ступени интеллектуального развития - это наглядно- действенное и словесно - логическое мышление. Так же на развитие мышления большое влияние оказывает развивающая речь, несущая появление множества понятий.

Надо отметить, что восприятие слов (сенсорная речь) побуждает ребенка к правильности понимания объекта и к его характеристикам. Примитивная же абстракция, при которой ученик выделяет одни стороны и отвлекается от других не менее важным приводит к первому элементарному обобщению.

Таким образом, важной основной для мыслительной деятельности ребенка является наблюдение. Так, например, при изучении темы многочлены по возможности необходимо использовать наглядные пособия. В результате этого, мыслительная деятельность выражается в сопоставлении и сравнении. При этом усваиваются различия между такими понятиями, как вещь и свойства вещи. Благодаря этому, ребенок учится делать умозаключение о закономерности. Связь мышления при этом хоть и сохраняется с практическими действиями, но не является такой тесной, прямой и непосредственной, как раньше. В ряде случаев не требуется практического манипулирования с объектом, но во всех случаях необходимо отчетливо воспринимать и наглядно представлять его. Дело в том, что наглядно образное мышление детей еще непосредственно, и поэтому они пока не могут отвлечься, абстрагироваться с помощью понятий от некоторых наиболее бросающихся в глаза свойств рассматриваемого предмета.

В своем становлении мышление проходит две стадии допонятийную и понятийную.

Итак, мышление развивается от конкретных образов к совершенным понятиям, обозначенным словом. Понятие первоначально отражает сходное, неизменное в явлениях и предметах.

Существенные сдвиги в интеллектуальном развитии ребенка при изучении теоремы Безу, а так же при исследовании следствия теоремы Безу. Эти сдвиги выражаются в познании все больше глубоких свойств многочленов, в формировании необходимых для этого мыслительных операций, возникновении новых мотивов познавательной деятельности.

В результате этого становятся доступны более сложные познавательные задачи. В процессе их решения мыслительные операции обобщаются, формализуются, благодаря чему расширяется диапазон их переноса и применения в различных новых ситуациях. Формируется система взаимосвязанных, обобщенных и обратных операций. Развивается способность рассуждать, обосновывать свои суждения, осознавать и контролировать процесс рассуждения, овладевать его общими методами, переходить от его развернутых форм к свернутым формам. Совершается переход от понятийно - конкретного к абстрактно - понятийному мышлению.

Интеллектуальное развитие ребенка характеризуется закономерной сменой стадий, в которой каждая предыдущая стадия подготавливает последующие. С возникновением новых форм мышления старые формы не только не исчезают, а сохраняются и развиваются.

Всякий мыслительный процесс совершается в обобщениях (понятий), но, как правило, он, кроме понятий, включает в себя также образы. Начальной фазой такого процесса является осознание проблемной ситуации. Сама постановка проблемы является актом мышления, часто это требует большой мыслительной работы.

Первый признак мыслящего человека - умение видеть проблему там, где она есть. Возникновение вопросов есть признак развивающейся работы мысли. Человек видит тем больше проблем, чем больше круг его знаний.

От осознания проблемы мысль переходит к ее разрешению. Решение задач осуществляется разными способами. Есть особые задачи, для решения которых достаточно лишь по-новому соотнести исходные данные и переосмыслить ситуацию.

В большинстве случаев для решения задач необходима некоторая база теоретических обобщенных знаний. Решение задачи предполагает привлечение уже имеющихся знаний в качестве средств и методов решения.

Применение правила включает две мыслительных операции:

- определить, какое именно «правило» привлечь для решения;

- применение общего правила к частным условиям задачи.

Важно отметить, что при решении таких задач, роль мыслительных навыков велика именно в тех областях, где имеется очень обобщенная система знаний.

При решении очень сложной проблемы обычно намечается путь решения, который осознается как гипотеза. Осознание гипотезы порождает потребность в проверке. Когда заканчивается проверка, мыслительный процесс переходит к окончательной фазе - суждению по данному вопросу.

Таким образом, мыслительный процесс - это процесс, которому предшествует осознание исходной ситуации (условия задачи), который является сознательным и целенаправленным, оперирует понятиями и образами, и который завершается каким-то результатом.

Выделяют 4 стадии решения проблемы:

- подготовка;

- созревание решения;

- вдохновение;

- проверка найденного решения.

Структура мыслительного процесса решения проблемы:

1. Мотивация (желание решить проблему).

2. Анализ проблемы (выделение «что дано», «что требуется найти», какие недостающие или избыточные данные и т. д.).

3. Поиск решения

3.1. Поиск решения на основе одного известного алгоритма (репродуктивное мышление).

3.2. Поиск решения на основе выбора оптимального варианта из множества известных алгоритмов.

3.3. Решение на основе комбинации отдельных звеньев из различных алгоритмов.

3.4. Поиск принципиально нового решения (творческое мышление).

3.4.1. На основе углубленных логических рассуждений (анализ, сравнение, синтез, классификация, умозаключение и т. д.).

3.4.2. На основе использования аналогий.

3.4.3. На основе использования эвристических приемов.

3.4.4. На основе использования элементарных методов проб и ошибок.

В случае неудачи:

3.5. Отчаяние, переключение на другую деятельность «период инкубационного отдыха» - «созревание идей», озарение, вдохновение, инсайд, мгновенное осознание решения некоторой проблемы (интуитивное мышление).

Факторы способствующие «озарению»:

а) высокая увлеченность проблемой;

б) вера в успех, в возможность решения проблемы;

в) высокая информативность в проблеме, накопленный опыт;

г) высокая ассоциативная деятельность мозга (во сне, при высокой температуре, лихорадке, при эмоционально положительной стимуляции).

4. Логическое обоснование найденной идеи решения, логическое доказательство правильности решения.

5. Реализация решения.

6. Проверка найденного решения.

7. Коррекция (в случае необходимости возврат к этапу 2).

Мыслительная деятельность реализуется как на уровне сознания, так и на уровне бессознательного, характеризуется сложными переходами и взаимодействиями этих уровней. В результате успешного (целенаправленного действия получается результат, соответствующий предварительно поставленной цели).

Таким образом, при развитии мышления необходимы многообразие операций, которые не существуют сами по себе, а взаимодействуют друг с другом.

§2. Методы обучения, используемые при преподавании темы

Под методами обучения понимают последовательное чередование взаимодействия учителя и учащихся направленное на достижение определенной цели посредством проработки учебного материала. «Метод» (по-гречески - «путь к чему-либо») - способ достижения цели, способ приобретения знаний. В педагогической литературе нет единого мнения относительно роли и определения понятия «метод обучения». Так, Ю. К. Бабанский считает, что «метод обучения» называют способ упорядоченной взаимосвязанной деятельности преподавателя и обучаемых, направленной на решение задач образования. Т.А. Ильина понимает под методами обучения «способ организации познавательной деятельности учащихся».

В истории дидактики сложились различные классификации методов обучения. Распространенная классификация методов построена на основе выделения истоков передачи содержания. Это словесные, практические и наглядные методы:

СЛОВЕСНЫЕ МЕТОДЫ	Рассказ, беседа.
ПРАКТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ	Упражнение, тренировка.
НАГЛЯДНЫЕ МЕТОДЫ	Иллюстрирование, показ плакатов.

Другая классификация, которую будем использовать, построена на основе учета структуры личности:

МЕТОДЫ ФОРМИРОВАНИЯ СОЗНАНИЯ	Рассказ, беседа, инструктаж, показ, иллюстрирование.
МЕТОДЫ ФОРМИРОВАНИЯ ПОВЕДЕНИЯ	Упражнение, тренировка, самоуправление.
МЕТОДЫ ФОРМИРОВАНИЯ ЧУВСТВ (стимулирование)	Одобрение, похвала, контроль.

Классификация методов по характеру деятельности обучаемых:

Метод	Вид деятельности	Уровни умственной деятельности ученика	Уровни знаний	Сущность	Усовершенствование
1	2	3	4	5	6
1. Объяснительно-иллюстративный	С помощью учителя (репродуктивный)	I - узнавание	II - знания-знакомства	Традиционное обучение-процесс передачи готовых известных знаний	Программированное обучение
2. Репродуктивный	Сам ученик (репродуктивный)	II-воспроизведение	II - знания-знакомства
3. Проблемное изложение	С помощью учителя (продуктивный)	III - применение	III - знание-умение	Проблемное обучение-процесс активного поиска и открытия учащимися новых знаний	Деловые игры
4. Частично-поисковый	Продуктивный под руководством учителя	III - применение IV - творчество	III - знание-умение IV - знание-трансформация
5. Исследовательский	продуктивный без помощи учителя	IV - творчество	IV - знание-трансформация

Выделяют также монологические (информационно-сообщающие) методы обучения, например: рассказ, лекция, объяснение и диалогические методы изложения учебного материала (беседа, проблемное изложение, диспут)

Остановимся еще на одной классификации методов по характеру (степени самостоятельности и творчества) деятельности обучаемых. Эту весьма продуктивную классификацию еще в 1965 г. предложили И. Я. Лернер и М. Н. Скаткин. Они справедливо отметили, что многие прежние подходы к методам обучения основывались на различии их внешних структур или источников. Поскольку же успех обучения в решающей степени зависит от направленности и внутренней активности обучаемых, от характера их деятельности, то именно характер деятельности, степень самостоятельности и творчества и должны служить важным критерием выбора метода. И. Я. Лернер и М. Н. Скаткин предложили выделить пять методов обучения, причем в каждом из последующих степень активности и самостоятельности в деятельности обучаемых нарастает.

1. Объяснительно-иллюстративный метод обучения (преподаватель объясняет, наглядно иллюстрирует учебный материал) - осуществляется как лекция, рассказ, беседа, демонстрация опытов, трудовых операций, экскурсия и т. п. Деятельность ученика направлена на получение информации и узнавание, в результате формируются «знания-знакомства»).

2. Репродуктивный метод (преподаватель составляет задание для учащихся на воспроизведение ими знаний, способов деятельности, решение задач, воспроизводство опытов и, таким образом, ученик сам активно воспроизводит учебный материал: отвечает на вопросы, решает задачи и т.д.; в результате формируются «знания-копии».

3. Метод проблемного изложения. Используя самые различные источники и средства, педагог, прежде чем излагать материал, ставит проблему, формулирует познавательную задачу, а затем, раскрывая систему доказательств, сравнивая точки зрения, различные подходы, показывает способ решения поставленной задачи. Студенты как бы становятся свидетелями и соучастниками научного поиска. И в прошлом, и в настоящем такой подход широко используется.

4. Частично-поисковый, или эвристический, метод. Заключается в организации активного поиска решения выдвинутых в обучении (или самостоятельно сформулированных) познавательных задач либо под руководством педагога, либо на основе эвристических программ и указаний. Процесс мышления приобретает продуктивный характер, но при этом поэтапно направляется и контролируется педагогом или самими учащимися на основе работы над программами (в том числе и компьютерными) и учебными пособиями. Такой метод, одной из разновидностей которого является эвристическая беседа - проверенный способ активизации мышления, возбуждения интереса к познанию на семинарах и коллоквиумах.

5. Исследовательский метод. После анализа материала, постановки проблем и задач и краткого устного или письменного инструктажа обучаемые самостоятельно изучают литературу, источники, ведут наблюдения и измерения и выполняют другие действия поискового характера. Инициатива, самостоятельность, творческий поиск проявляются в исследовательской деятельности наиболее полно. Методы учебной работы непосредственно перерастают в методы научного исследования.

В процессе обучения метод выступает как упорядоченный способ взаимосвязанной деятельности педагога и учащихся по достижению определенных учебно-воспитательных целей, как способ организации учебно-познавательной деятельности учащихся.

Объяснительно-иллюстративный и репродуктивный - методы традиционного обучения, основная сущность которого сводится к процессу передачи готовых известных знаний учащимися.

Недостатки традиционного обучения: 1) усредненный общий темп изучения материала; 2) единый усредненный объем знаний, усваиваемых учащимися; 3) большой удельный вес знаний, получаемых учениками в готовом виде через учителя без опоры на самостоятельную работу по приобретению этих знаний, в результате ученики «разучиваются думать»; 4) почти полное незнание учителем, усваиваются ли учащимися сообщаемые знания; 5) преобладание словесных методов изложения материала, создающих объективные предпосылки рассеивания внимания; 6) затрудненность самостоятельной работы учеников с учебником из-за недостаточной расчлененности учебного материала; 7) преобладание нагрузки на память учащихся, т. к. надо по памяти воспроизводить учебный материал; у кого лучше память, тот успешнее воспроизводит. Но в будущей профессиональной деятельности эти методы заучивания и точного воспроизведения информации по памяти не требуются, не применяются, и, с другой стороны, ученик не подготовлен к тем формам работы, которые встретятся в профессиональной практике (умение находить нужную информацию для определения производственного решения, умение находить самостоятельное творческое решение в сложных ситуациях). Таким образом, при традиционном обучении наблюдается разрыв между теми требованиями, которые предъявляются к человеку в процессе обучения, и теми, которые предъявляются в реальной профессиональной деятельности.

Частично некоторые недостатки традиционного обучения устраняются с помощью программированного обучения, которое зародилось на стыке педагогики, психологии и кибернетики в 60-х гг. В основе программированного подхода лежат три представления об обучении: 1) как о процессе управления, 2) как об информационном процессе и 3) как о процессе индивидуализированном.

В основе программированного обучения лежит обучающая программа, в которой строго систематизируются: 1) сам учебный материал; 2) действия учащегося по его усвоению; 3) формы контроля усвоения.

Учебный материал разбивается на небольшие по объему логически завершенные учебные дозы, после усвоения каждой дозы учащийся отвечает на контрольные вопросы, выбирая правильный, по его мнению, ответ из некоторого числа заранее заготовленных преподавателем-программистом ответов, либо с помощью заданных символов, букв, цифр конструирует ответ самостоятельно. Если дается правильный ответ, следует очередная учебная доза. Неверный ответ влечет за собой необходимость повторения учебной дозы и новую попытку ответа.

Адаптивные программы предусматривают возможность перехода на менее или более трудные участки (ветви) программы, причем этот переход происходит на основе учета всех предыдущих ответов и ошибок ученика. В адаптивную обучающую программу закладывается схема анализа ответов учащихся, серия параллельных подпрограмм, в которых предусмотрена возможность изменения способа подачи информации, уровня трудности, глубины и объема изучаемого материала, характера вопросов и т. п. в зависимости от индивидуальных особенностей и ответов ученика.

Разработанная обучающая программа может быть реализована с помощью машины - технического устройства, с помощью ЭВМ либо с помощью программированных учебников, построенных по типу «перепутанные страницы» (в зависимости от своего ответа ученик переходит к определенной странице учебника).

Основные принципы и достоинства программированного обучения: 1) дозированность учебного материала, 2) активная самостоятельная работа ученика, 3) постоянный контроль усвоения, 4) индивидуализация темпа обучения, объема учебного материала, 5) возможность использования технических автоматизированных устройств обучения.

Программированное обучение полезно в преподавании дисциплин, основанных на фактическом материале и повторяющихся операциях, имеющих однозначные, четкие формулы, алгоритмы действий. Главная задача программированного обучения -- выработка автоматизированных навыков, крепких однозначных знаний и умений.

Программированное обучение стимулировало развитие и применение технических средств обучения. К техническим средствам обучения (ТСО) относятся различные приспособления, машины и системы в сочетании с учебно-дидактическими материалами, используемые с целью повышения эффективности учебного процесса. Выделяют: 1) информационные ТСО -- технические средства предъявления информации, 2) контролирующие ТСО, 3) обучающие ТСО, которые обеспечивают весь замкнутый цикл управления обучением, представленный обучающей программой, реализуют программированное обучение.

§3. Методические рекомендации по проведению практических занятий

3.1 Как начать урок

Всякое начало трудно, в том числе и начало урока. Ведь с первых его минут должны создаться необходимые условия для успешной совместной деятельности учителя и учащихся по достижению намеченных целей. Возникающие при этом проблемы многоплановы и связаны, главным образом, с разрешением следующих вопросов:

- организационных;

- содержательных;

- этических.

Необходимость решения организационных вопросов возникает перед учителем сразу же после звонка на урок, когда он еще входит в класс. Первый из них - взаимное приветствие учителя и учащихся.

Если эта процедура не сразу дается учащимся, то изменить ситуацию к лучшему за один - два урока, как правило, не удается. Здесь необходимо проявить терпение и настойчивость, добиваясь от учащихся уравновешенного и быстрого выполнения всех указанных действий, включая их посадку за рабочие место после ответного приветствия учителя.

В практике обучения начало урока порой происходит как бы без решения организационных вопросов: учащиеся сразу же включаются в урок, поддерживая инициативу учителя и сосредотачиваясь на осваиваемом материале. В действительности же за этим стоит длительная и кропотливая работа учителя по выработке у учащихся соответствующих навыков организации своей деятельности на уроке и, в частности, на первых его минутах.

Но бывает необходимым специально привлечь внимание учащихся к предстоящей работе. Для этого иногда достаточно обратиться к ним со словами: 'Внимание, начинаем урок'. Когда же учащиеся сильно возбуждены, то подобные обращения оказываются, как правило, мало эффективными. Такое случается после контрольных работ, выяснения личных отношений в классе. Здесь уместно начать урок с предварительной содержательной работы с использованием интересных и посильных заданий, составленных на изученном материале. И тогда сам процесс их выполнения, особенно письменных заданий, помогает постепенно снять напряжение и возбуждение и естественным образом включить учащихся в урок. Нередко при этом проводится в той или иной степени и проверка выполнения домашнего задания.

Процесс постановки и решения содержательных вопросов в начале урока может осуществляться несколькими способами. Их различают в зависимости от того, как и кем отбираются, разрабатываются и даются задания:

- только учителем (предусмотрено при изучении нового материала, главная роль предстоит учителю);

- учащимся вместе с учителем(Учитель намеренно не заканчивает мысль и просит учеников завершить её ). Таким образом, учащиеся логически мыслят над окончанием примера, а, следовательно, представляют ход решения.

- самими учащимися.

В практике обучения предварительная содержательная работа на уроке организуется чаще всего только учителем. Она направлена главным образом на подготовку учащихся к усвоению нового материала, применению имеющихся знаний, овладению новых умений. С этой целью в начале урока используется математические диктанты, игровые задания, задания на поиск закономерностей, на выбор рациональных способов решения поставленных задач. При этом не следует останавливать свой выбор только на каком-то одном или нескольких видах заданий. Постоянное стремление разнообразить набор используемых заданий привносит элементы неожиданности и новизны, а значит, способствует проявлению у учащихся интереса к уроку с первых его минут.

Совершенствовать управление содержательной предварительной работы на уроке возможно путем привлечения учащихся к ее организации. И дело здесь кроется не только в достижении предсказуемости действий части учащихся, но и в том реальном содействии в организации начала урока, которое они в состоянии оказать. Для этого следует приобщать учащихся к составлению математических кроссвордов.

Конечно, на первых порах ученики будут, скорее всего, лишь незначительно отличающиеся от тех, которые используются учителем в начале урока. Но их постоянно в этом плане следует поддерживать и поощрять, чтобы способствовать развитию процесса самоорганизации учащихся с первых минут урока. Тогда можно надеться, что учащиеся научатся глубже разрабатывать идеи, заложенные в предлагаемых учителем в начале урока заданий, приобщаться к чтению дополнительной литературы. И не надо здесь бояться того, что они, возможно, сумеют предложить учителю задачу, которую он сразу не решит. В таких случаях ребята смогут показать ее решение и заработать отличную отметку. Конечно, желательно, чтобы Учитель как можно реже оказывался в подобной роли, но для этого ему надобно быть в постоянном творческом поиске.

Таким образом, при комплексной реализации отмеченных способов организации содержательной работы на первых минутах урока становится невозможным всякий раз начинать урок одними и теми же действиями. В этой связи уместно напомнить, что обучаемые 'устают от однообразия организации их деятельности на уроке, а новое начало позволит избежать этого, даже если вся остальная часть урока построена традиционно'.

Успеху урока способствует так же создание с первых минут благоприятного эмоционального настроя учащихся, что связано, главным образом, с решением этических вопросов.

Деловой настрой учителя, его увлеченность выполняемой работой, умение начинать и проводить урок с хорошим настроением высоко ценится учениками. Нельзя переносить на урок свои неприятности, проявлять несдержанность, грубость, придирчивость, откровенную злость, равнодушие к работе.

Учитель должен следить за грамотностью своей речи, избавляться от неправильного произношения звуков и слов, при высказывании основных мыслей добиваться краткости, четкости и логичности, очищать речь от слов-паразитов, вроде 'ну', 'короче', 'так сказать' и т.п. Так как учащихся одинаково раздражают и монотонно - тихая, и громкая речь учителя в течении всего урока, то следует варьировать силу своего голоса и его тан в соответствии с изменяющейся обстановкой в классе.

Умение решать все поставленные выше вопросы в начале урока оказывает существенное влияние на дальнейший его ход: оно предопределяет необходимый темп урока, эмоциональный настрой, плодотворную деятельность учителя и учащихся в течение всего урока.

3.2 Методические рекомендации по изучению нового материала

Ключевым моментом в структуре урока является изучение нового материала. С опорой на него или во взаимосвязи с ним решаются на уроках остальные вопросы: будь-то закрепление, контроль и т. д. В процессе обучения математике оно сводится чаще всего к изучению математических понятий, предложений, теорем. Можно при этом выделить три основные этапа: подготовку к восприятию, введение и первичное осмысление нового материала.

Этап подготовки к восприятию нового материала во многом связан с формированием опорных понятий. Этого, однако, может показаться для обеспечения готовности учащихся к получению новых знаний. Подобное преподавание, чаще всего наблюдается в тех случаях, когда не уделяется должного внимания мотивировке изучения нового или актуализации опорных знаний.

1. Подготовка к изучению через выявление их существенных признаков и актуализацию опорных знаний может быть осуществлено в процессе предварительного решения практических примеров, соответствующих наглядных пособий, кратких исторических справок. Действительно, определяя некоторое математическое понятие, можно свести его к более общему, которое в свою очередь при определении сводится к еще более общему понятию.2. В ходе подготовки учащихся к восприятию теорем, аксиом математических предложений, описывающих свойства многочленов, могут, принимаются без доказательств.

Подвести учащихся к восприятию формулировок теорем можно в ходе организованной совместной деятельности по выдвижении гипотезы. Достигается это путем планомерного выполнения на нескольких уроках подряд соответствующих упражнений до формирования у учащихся определенных навыков по расположению, чтению и записи отмеченных выражений.

Управление деятельностью учащихся при изучении нового материала должно осуществляться и с учетом психолого-дидактических закономерностей. Особое внимание при этом следует обратить на то, что при пассивном участии многое ускользает от внимания обучающегося. К более же полному, богатому восприятию приводит активная, мыслительная деятельность, которая по ходу ознакомления с материалом возрастает, если соблюдать следующие условия:

- учащиеся знакомившись с материалом, одновременно выполняет конкретное задание, помогающее глубже понять данный материал;

- это задание направляет усилие учащегося на использование определенного приема мыслительной деятельности;

- учащийся обладает знаниями, необходимыми для выполнения данного приема;

- материал не является чрезмерно легким.

В конечном счете, надобно обеспечить 'ориентировку' в новом материале, которая достигается фиксированием его основного содержания, подлежащего усвоению, и способов работы с ним.

Безусловно, при изучении нового материала лишь начинают решаться вопросы, связанные с его усвоением, т. е. пониманием, запоминанием, умением его применять. Дальнейшее же развитие эти процессы получают при закреплении изученного, что специально рассматривается нами вслед за изложенным.

3.3 Методические рекомендации по закреплению изученного

При закреплении изученного обеспечивается усвоение учащимися учебного материала на уровне, отвечающем программным требованиям.

Как известно, знание усваиваются только в ходе соответствующей собственной работы с ними. Поэтому должно уделяться организации собственной деятельности учащихся в форме, позволяющей учителю проконтролировать ее ход и получаемые результаты. Такие 'материализованные' действия должны завершаться постепенным снятием внешнего контроля и переходом к выполнению этих действий в умственном плане.

В ходе закрепления можно обеспечить запоминание учебного материала и формирование умений применять его при решении задач.

Безусловно, в процессе обучения учащемуся приходится много запоминать специально. При этом он нередко должен ставить перед собой цель - запомнить точно, полно и по возможности прочно то, что помечено им самим или задал учитель. Здесь второму необходимо провести мотивацию, то что, по этому материалу вам писать контрольную работу.

Разумеется, запоминание затрудняется, если материал плохо понят. То же самое наблюдается и в случае, когда усвоению подлежит материал относительно большего объема. Вообще говоря, успешное запоминание возможно тогда, когда учащиеся выполняют над ним активную мыслительную деятельность, и она способствует углубленному пониманию материала.

Заучивая учебный материал, нельзя ограничиваться лишь чтением его вслух или про себя. Надобно еще письменно воспроизвести его по памяти, фиксируя план изложения. Вот почему вопросы касающиеся освещения темы даются под диктовку. При этом учебный материал запоминается прочнее, поскольку нервы, ведущие от глаза к мозгу, в двадцать пять раз толще нервов, ведущих от уха к мозгу.

Процессом, противоположным запоминанию, является забывание. Оно биологически целесообразно для человеческого организма. Особенно интенсивно забывание происходит в первое время после заучивания. И хотя бессмысленный материал забывания значительно быстрее (за первые восемь часов после его проработки забывается больше, чем за последующие тридцать дней) связанного по смыслу, эта закономерность является общей.

Основным способом предотвращения забывания служит повторение изученного и включение его в постановку, и решение новых задач. Повторение же в неизменном виде путем решения только однотипных задач малоэффективно. Но это не значит, что от однотипных задач нужно отказаться. Надобно только не злоупотреблять таким повторением, помня, что для осознания некоторой особенности оптимальное число однотипных упражнений равно трем.

Таким образом, чтобы более эффективно повторить и закрепить материал, изученный на уроке, предусматриваются проверочные работы, а так же самостоятельные. Содержание, форма, продолжительность таких работ, проводимых в классе, должны соответствовать поставленным целям урока. Нередко они занимают всего лишь несколько минут, а порой могут длиться в течение всего урока.

3.4 Диагностика знаний и умений

Составными частями совместной деятельности учителя и учащихся по освоению программного материала, как и любой другой полноценной деятельности является ориентировочная, исполнительная и контролирующая. В контролирующей части устанавливается обратная связь в системе 'Учитель - ученик', позволяющая регулярно получать информацию, используемую для определения качества усвоения учащимися учебного материала, своевременного диагностирования и корректирования их знаний и умений. Иначе говоря, в ходе контроля выявляются и оцениваются знания и умения учащихся, что дает возможность получить и накоплять сведения, необходимые для устного управления их обучением, воспитанием и развитием.

В этой связи различают три типа контроля:

0

/

Внешний контроль приучает обучающихся добросовестно и систематически выполнять учебную работу, вызывает стремление сделать ее лучше, а при целенаправленной работе учителя способствует развитию взаимоконтроля и самоконтроля.

При проведении же самоконтроля осознается правильность своих действий, что выражается в его направленности на предупреждение или обнаружение уже совершенных ошибок.

Представим схему развития самоконтроля:

Приведем несколько примеров подтверждающих представленную схему.

0

/

1. Формирование потребности к самоконтролю можно организовать при самостоятельном решении заданий. Например, одному из учеников дать задание по теме 'Схема Горнера' и, выполнив его, он показывает решение на доске и объясняет его решение.

2. Особое внимание следует уделить проверки учащимися деятельности учителя. При объяснении темы учитель может дает преднамеренно ошибку. И если обучаемые сразу не заметят ошибку, то учитель «наводящими» вопросами- подсказками подталкивает к нужному.

3. Взаимные проверки учащихся можно организовать следующим образом. На 10 минут провести проверочную работу. В конце урока (около двух минут) прекратить решение. И сказать: 'А теперь поменяйтесь листочками с соседом и проверьте его работу. А после проверки поставьте ту оценку, по-вашему мнению, которую он заслужил'.

В общем, контроль должен быть целенаправленным, объективным, всесторонним, регулярным и индивидуальным. Его результативность выражается в оценке, характеризующейся установлением степени соответствия знаний и умений учащихся с программными требованиями. Это соответствие нормам может иметь цифровую или другую символическую форму выражения и фиксации оценки, именуемой отметкой.

§4. Использование свойств делимости многочленов

Для изучения данной темы необходимо провести актуализация базовых знаний учащихся, повторить теорему о делимости многочленов. Проверить понимание учащихся на правильное понимание формулировки и смысла, рассматриваемой теоремы. Это можно проверить на примерах приведённых ниже:

Предложить учащимся: «Давайте рассмотрим пример, для закрепления изученной теоремы».

Вызвать одного из учащихся к доске и попросить решить его данный пример с использованием повторённого материала. Тем временем другие ученики должны приступить к самостоятельному решения этого же примера на местах, изредка сравнивая своё решение с решением учащегося у доски. Ход решения у доски должен непосредственно контролироваться учителем.

Пример. Известно, что многочлен 2x⁴-x³+2x²+1 делится на многочлен x²-x+1. Найти частное от деления.

После постановки решения попросить отвечающего у доски комментировать все свои действия, по ходу решения. Это дозволит ещё раз закрепить усвоение материала.

Решение. Частным от деления от многочлена четвёртой степени на многочлен второй степени будет многочлен второй степени. Для нахождения многочлена, который является частным от деления многочлена четвёртой степени на многочлен второй степени, необходимо ввести замену. Пусть искомый многочлен есть ax²+b·x+c. Тогда справедливо тождественное равенство:

2x⁴-x³+2x²+1=(x²-x+1)·(ax²+bx+c)=ax⁴+(b-a)·x³+(a+c-b)·x²+(b-c)·x+c.

Рассмотрим многочлен 2x⁴-x³+2x²+1, равный многочлену ax⁴+(b-a)·x³+(a+c-b)·x²+(b-c)·x+c. Заметим, что у обоих многочленов одинаковые степени x, но различные коэффициенты при них. Найдём неизвестные коэффициенты, приравнивая их при одинаковых степенях x, получаем систему:

, откуда a=2, b=1, c=1.

Вернёмся к замене ax²+b·x+c, где a=2, b=1, c=1 из составленной и решённой системы. Итак, частное от деления многочлена 2x⁴-x³+2x²+1 на многочлен x²-x+1 есть многочлен 2x²+x+1.

§5. Методика изучения теоремы Безу и её следствий

Урок по изучению данной темы можно провести в форме лекции, которая должна длиться не более 30 минут.

Этот метод в педагогической литературе называют объяснительно-иллюстративным, в методической -- школьной лекцией. Здесь дано своеобразное название «образец ответа», чтобы подчеркнуть одну из основных особенностей лекционного метода.

Основное требование к рассматриваемому методу сводится к тому, что объяснения учителя (кратковременные или более длительные) надо рассматривать как образцы ответов. Причем имеются в виду не только образцы изложения теоретических вопросов, но и, что, пожалуй, главное,-- образцы решения задач.

Образец ответа при решении задачи -- это один из важнейших способов обучения связному рассказу. Формирование умений безупречно объяснять, комментировать выполняемое упражнение в виде связного цельного рассказа начинается с объяснения учителя. Он показывает, как выполняется упражнение нового типа, как следует располагать записи, в какие моменты и каким образом необходимо комментировать выполняемые операции.

Образец ответа, излагаемый учителем,-- необходимый этап в обучении связному рассказу. Дело в том, что образец выполнения учителем упражнения нового типа (если только этот образец удовлетворяет перечисленным требованиям) включает в себя не только содержательные элементы (как выполнять?), но и чисто методические компоненты (каким образом комментировать, как располагать записи, демонстрировать рисунки и т. д.?). Эти чисто методические компоненты образца ответа может дать сначала только учитель.

Главное при проведении урока-лекции состоит в том, что бы добиться активной мыслительной деятельности учащихся. В арсенале учителя должно иметься достаточное число приемов, помогающих добиться того, чтобы учащиеся активно мыслили в процессе рассказа.

Приступая к объяснению, учитель ставит классу конкретное задание, направляющее на понимание нового материала. Выполнение этого задания по ходу рассказа учителя активизирует мыслительную деятельность учащихся.

Рассмотрим соответствующие приемы обучения.

Учитель сообщает, что, объясняя новый материал, он намеренно допустит неточности, а учащимся предлагается внимательно слушать и обнаружить эти неточности. Чтобы убедиться в достоинствах этого приема, учителю достаточно два-три раза применить его и посмотреть, с каким азартом и сосредоточенным вниманием учащиеся стараются обнаружить неточность.

Пример. Дать формулировку теоремы следующим способом: «Частным от деления многочлена P_n(x) на двучлен x - равен значению многочлена P_n(x) при x =, т.е. r = P_n()». Попросить учащихся осмыслить формулировку и заметить ошибку.

Приступая к объяснению теоремы, учитель дает план ее доказательства. План помогает осознать идею доказательства в целом. В результате установка на запоминание способствует лучшему пониманию. Слушая объяснение учителя, учащиеся сопоставляют его рассуждения с предложенным планом, легче осознают переходы от одной логической части материала к другой, устанавливают связи между ними. При таком приеме обучения учащиеся хорошо усваивают материал, а главное, учатся слушать, применять план и в дальнейшем составлять его в процессе рассказа учителя.

Для наилучшего усвоения данного раздела, необходимо чтобы ученики конспектировали ход мыслей выступающего, так как работает не только зрительное и слуховое запоминание, но и механическое.

Схема Горнера

Схему Горнера так же можно включить в лекцию

Рекомендуется рассмотреть следующие примеры:

Пример 1. Найти остаток от деления многочлена P₄(x) = x⁴+x³+3·x²+2·x+2 на x -1.

Решение.

Рассмотрим уравнение х-1=0, от куда следует, что х=1. Согласно теореме Безу, подставим значение х=1 в многочлен P₄(x), получим:

P₄(1) = 1⁴+1³+3·1²+2·1+2 =9. Таким образом остатком от деления многочлена P₄(x) = x⁴+x³+3·x²+2·x+2 на x -1 является многочлен нулевой степени 9

Пример 2. Найти остаток от деления многочлена P₃(x)=x³-3x²+5x+7 на 2x+1.

Решение. Рассмотрим уравнение 2x+1=0, от куда следует, что х=-.

Согласно сделанному замечанию (см. стр. 13), остаток т деления многочлена P₃(x)=x³-3x²+5x+7 на 2x+1 есть

r=P₃(-)=(-)³-3(-)²+5(-)+7= . Таким образом, остаток от деления многочлена P₃(x)=x³-3x²+5x+7 на 2x+1 равен многочлену нулевой степени

Пример 3. Выяснить, делится ли многочлен P₄(x)=x⁴+4x³+5x+8 на

a) x+2;

б) x+1.

Решение.

a) Из того, что х+2=0, следует, что х=-2, по теореме Безу получим:

P₄(-2)=(-2)⁴+4(-2)³+5(-2)+8=16-32-10+8=-18, остаток от деления многочленов равно -18, а раз есть остаток от деления, то значит данный многочлен на x+2 нацело не делится;

б) Из того, что х+1=0, следует, что х=-1, по теореме Безу получим:

P₄(-1)=(-1)⁴+4(-1)³+5(-1)+8=1-4+-5+8=0, остаток от деления многочленов равно 0, так как нет остатка от деления, то значит данный многочлен делится на x+1.

Пример 4. Доказать, что многочлен P₁₇(x) = x¹⁷-15·x¹⁴+37·x¹⁰-16·x⁸-7 делится на x-1.

Решение.

Из уравнения х-1=0, получим х=1. По теореме Безу получим:

P(1)=1-15+37-16-7 = 0, то по следствию 1 многочлен P_n(x) делится на x-1.

Пример 5. Разделить многочлен P₅(x) =x⁵-32 на x-2.

Решение. Так как P₅(x) =x⁵-2⁵, то по следствию 2 многочлен P(x) делится на x-2, причем

⁴+2·x³+4·x²+8·x+16.

Пример 6. Используя схему Горнера, разделить многочлен 4·x³-x⁵+32-8x² на x+2.

0

/

Решение. Для простоты и наглядности напишем делимое в каноническом виде, т.е. в виде: -x⁵+0·x⁴+4x³-8x²+0·x+32.

Применяя схему Горнера, имеем

Рассмотрим уравнение х+2=0, таким образом х=-2. Это число записывается в нижнем левом углу схемы Горнера. Используем алгоритм решения по схеме Горнера (см. стр. 12).

Полученные числа: -1, 2, 0, -8, 16, 0 есть коэффициенты многочлена, являющегося частным от деления многочлена 4·x³-x⁵+32-8x² на x+2.

Итак, частное Q₄(x) = - x⁴+2·x³-8·x+16 и остаток r = 0.

Следовательно, 4·x³-x⁵+32-8x² = (x+2)·( - x⁴+2·x³-8·x+16).

Изучение теоремы Безу

Провести актуализацию знаний, поставить формулировку данной теоремы и следствия, проверить у учеников правильное понимание. Предложить решить следующий пример. Учитель может решить его самостоятельно или пригласить для решения у доски одного из учеников.

Пример. Найти остаток от деления многочлена P₄(x) = x⁴+x³+3·x²+2·x+2 на x -1.

Решение.

Рассмотрим уравнение х-1=0, от куда следует, что х=1. Согласно теореме Безу, подставим значение х=1 в многочлен P₄(x), получим:

P₄(1) = 1⁴+1³+3·1²+2·1+2 =9. Таким образом остатком от деления многочлена P₄(x) = x⁴+x³+3·x²+2·x+2 на x -1 является многочлен нулевой степени 9.

Предложить решить следующий пример самостоятельно в тетрадях, после чего поменяться работами и проверить друг на наличие ошибок, после чего следует огласить правильный ответ.

Пример. Найти остаток от деления многочлена P₃(x)=x³-3x²+5x+7 на 2x+1.

Решение. Рассмотрим уравнение 2x+1=0, от куда следует, что х=-.

Согласно сделанному замечанию (см. стр. 13), остаток т деления многочлена P₃(x)=x³-3x²+5x+7 на 2x+1 есть

r=P₃(-)=(-)³-3(-)²+5(-)+7= . Таким образом, остаток от деления многочлена P₃(x)=x³-3x²+5x+7 на 2x+1 равен многочлену нулевой степени

Пример. Выяснить, делится ли многочлен P₄(x)=x⁴+4x³+5x+8 на

a) x+2;

b) x+1.

Решение.

a) Из того, что х+2=0, следует, что х=-2, по теореме Безу получим:

P₄(-2)=(-2)⁴+4(-2)³+5(-2)+8=16-32-10+8=-18, остаток от деления многочленов равно -18, а раз есть остаток от деления, то значит данный многочлен на x+2 нацело не делится;

б) Из того, что х+1=0, следует, что х=-1, по теореме Безу получим:

P₄(-1)=(-1)⁴+4(-1)³+5(-1)+8=1-4+-5+8=0, остаток от деления многочленов равно 0, так как нет остатка от деления, то значит данный многочлен делится на x+1.

Применение следствия теоремы Безу

Ученики, при правильном понимании теоремы в состоянии решить следующие примеры самостоятельно.

Пример. Доказать, что многочлен

P₁₇(x) = x¹⁷-15·x¹⁴+37·x¹⁰-16·x⁸-7 делится на x-1.

Решение.

Из уравнения х-1=0, получим х=1. По теореме Безу получим:

P(1)=1-15+37-16-7 = 0, то по следствию 1 многочлен P_n(x) делится на x-1.

Пример. Разделить многочлен P₅(x) =x⁵-32 на x-2.

Решение. Так как P₅(x) =x⁵-2⁵, то по следствию 2 многочлен P(x) делится на x-2, причем

⁴+2·x³+4·x²+8·x+16.

Использование теоремы Безу и схемы Горнера

Для закрепления изученного материала можно предложить ученикам небольшую самостоятельную работу, которую рекомендуется проводит в течении 10 - 15 минут. После чего ученики самостоятельно могут проверить правильность выполнения работы друг друга. Это делается для усовершенствования навыков решения учеников.

Для выполнения работы предлагается два варианта:

1 вариант решает примеры а) и в), а 2 вариант - б) и г).

Пример. Разложить на множители:

а) P₃ (x) = x³ -x² -8·x+12;

б) P₃ (x) = 2x³ -x-5·x²+1;

в) P₄ (x) = x⁴+4·x³-2·x²-4·x +1;

г) P₆ (x) = x⁶+3·x⁵+ 7·x⁴+9·x³+x²-3·x -18.

Решение.

а) Коэффициент при старшей степени равен 1; поэтому целые числа, которые и могут быть корнями многочлена P₃(x), являются делителями свободного члена - числа 12. выпишем эти числа: Непосредственной подстановкой находим

P₃ (1)= 4,

P₃ (-1)=18, P₃ (2)= 0.

Так как P₃ (2)= 0, то x=2 является корнем многочлена P₃ (x); поэтому многочлен P₃ (x) делится на x-2. Найдем по схеме Горнера коэффициенты частного от деления P₃(x) на x-2. (Здесь и далее таблица из схемы Горнера приводится с сокращениями):

таким образом x³ -x² -8·x+12= (x-2)·( x²+x-6).

Так как x²+x-6= x²-4 +x-2 = (x-2)·(x+2)+(x-2) = (x-2)·(x+3), то

P₃(x) = x³ -x² -8·x+12 = (x-2)²·(x-3).

б) Если многочлен P₃(x) имеет рациональный корень p/q, то p является делителем свободного члена (+1), а q является делителем коэффициента 2, поэтому среди всех рациональных чисел корнями могут быть только числа 1, 1/2. Непосредственной подстановкой находим

P₃ (1) = -3, P₃ (-1) = -5, P₃ (1/2) =-1/2, P₃ (-1/2) =0.

Так как P₃ (-1/2) =0, то x =-1/2 является корнем многочлена P₃(x) и многочлен P₃(x) делится на x+1/2:

Таким образом 2·x³ -5·x² -x+1 = (x+1/2)·(2x²-6·x+2) = 2(x+1/2)·( x²-3·x+1). Найдем дискриминант квадратного трехчлена x²-3·x+1. Так как D = 5>0, то

x₁ = и x₂ = -корни этого трехчлена; поэтому

x²-3·x+1 = (x₁ -)·( x₂ -).

Итак, P₃(x) = 2·x³ -5·x² -x+1 = (x+)·( x₁ -)·( x₂ -).

в) Если среди корней данного многочлена есть целые числа, то это числа 1 или -1. Найдем P₄(1): P₄(1) = 1+4-2-4+1 = 0.

Так как P₄(1) =0, то x=1 есть корень многочлена P₄(1), и многочлен P₄(x) делится на x-1. По схеме Горнера найдем коэффициенты частного от деления многочлена P₄(x) на x-1:

Таким образом, x⁴+4·x³-2·x²-4·x +1 = (x-1)·( x³+5·x²+3·x -1).

Многочлен P₃(x) = x³+5·x²+3·x -1 при x =-1 обращается в нуль; поэтому он делится на x+1.

По схеме Горнера найдем коэффициенты частного от деления многочлена P₃(x) на x+1:

Отсюда получаем P₃(x) = x³+5·x²+3·x -1= (x+1)·(x²+4·x-1).

Поскольку

x²+4·x-1 = x²+4·x+4-5 = (x+2)²-5 = (x+2-)·(x+2+), то

P₄(x) =x⁴-4·x³-2·x²-4·x+1 = (x -1)·(x+1)· (x+2-)·(x+2+).

г) Так как P₆(1) = 0, то, согласно схеме Горнера, получаем:

Отсюда

P₆(x) =(x-1)·(x⁵+4·x⁴+11·x³+20·x²+21·x+18).

Применяя схему Горнера, убеждаемся, что многочлен

P5(x) = x5+4·x4+11·x3+20·x2+21·x+18 делится на x+2:

Отсюда

P₅(x) = (x+2)·( x⁴+2·x³+7·x²+6·x+9).

Группируя и выделяя полный квадрат, имеем

x⁴+2·x³+7·x²+6·x+9 = x⁴+2·x²·x+x²+6·x²+6x+9 = (x²+x)²+6·( x²+x)+9 =( x²+x+3)².

Так как дискриминант квадратного трехчлена x²+x+3 меньше нуля, то этот трехчлен на линейные множители не разлагается.

Итак, P₆(x) =(x-1)·(x+2)·( x²+x+3)².

§6. Применение утверждения о корнях многочлена

Данная тема знакома ученикам и они в состоянии самостоятельно раскрыть смысл этого параграфа. Можно предложить нескольким ученикам подготовить эту тему, для изложения её на урока в виде доклада. Для закрепления можно предложить ученикам самостоятельно рассмотреть следующие примеры. Все действия учащихся постоянно должны контролироваться учителем, в ходе объяснения он может корректировать докладчика и отвечать на все, затруднительные вопросы учеников для докладчика по данной теме.

Пример. Найти корни многочлена

P(x)=2x³+x²-4x-2.

Решение. Выясним, имеет ли данный многочлен своим корнем рациональное число. Пусть несократимая дробь p/q является корнем данного многочлена, тогда, согласно приведённому выше утверждению, число p может принимать значения: -1, 1, -2, 2, а число q-может принимать значения 1, 2. Таким образом, рациональными корнями данного многочлена могут быть только следующие числа:

-2, -1, -, , 1, 2.

Непосредственной подстановкой каждого из этих чисел в данный многочлен получаем

P(-2)0, P(-1)0, P(-)0, P()0, P(1)0, P(2)0.

Следовательно, x =- является корнем данного многочлена P(x) и P(x)=(x+)·Q(x).

Применяя схему Горнера, находим выражение Q(x)=2x²-4, корнями которого являются числа и -. Поэтому данный многочлен имеет корни x₁=-, x₂= и x₃=-.

Пример. Разложить на множители многочлен P(x)=2x⁴+2x²+3x-2.

Решение. Выясним, имеет ли многочлен своим корнем рациональное число. Пусть несократимая дробь p/q является корнем данного многочлена, тогда число p может принимать значения -1, 1, -2, 2, а число q-значения 1 и 2. Таким образом, рациональными корнями данного многочлена могут быть следующие числа:

-2, -1, -, , 1, 2.

Непосредственной подстановкой каждого из этих чисел в многочлен получаем

P(-2)0, P(-1)0, P(-)0, P()0, P(1)0, P(2)0.

Так как P(-1)= P()=0, то числа -1 и являются корнями данного многочлена; следовательно, P(x)=(x+1)·(x- )·Q(x).

Многочлен Q(x) можно найти, например, делением «столбиком» многочлена P_n(x) на многочлен (x+1)·(x-)=x²+- или делением по схеме Горнера многочлена P_n(x) на x+1, а затем делением полученного частного на x- или методом неопределённых коэффициентов.

Найдём многочлен Q(x)=2x²+bx+c методом неопределённых коэффициентов.

Поскольку справедливо тождественное равенство

2x⁴-x³+2x²+3x-2=(x²+-)·(2x²+bx+c)

И свободный член многочлена, стоящего в левой части, равен -2, а свободный член многочлена, стоящего в правой части, равен -c, то c=4. Подставляя в тождество вместо c значение 4, а вместо х число 1, находим b:

2·1-1+2·1+3·1-2=(1+-)·(2·1+b·1+4), откуда b=-2.

Итак, Q(x)=2x²-2x+4.

Многочлен 2x²-2x+4 действительных корней не имеет и на множители не разлагается. Поэтому данный в условии задачи многочлен разлагается на множители следующим образом: 2x⁴-x³+2x²+3x-2=2(x -)·(x²-x+2).

§7. Методы разложения многочлена на множители

Эту работу можно предложить ученикам в виде повторительного урока. Вызывать учеников к доске и решать предложенные примеры. У обучаемых достаточно знаний для решения подобных примеров. Аналогично проводить работу на местах, кто «ушёл» дальше остальных, получает дополнительные задания и решает их.

Пример. Разложить на множители многочлен:

а) x²-5·x +6;

б) -x²-7·x -12.

Решение.

а) Из уравнения x²-5·x +6, решив, получим числа 2 и 3, они таковы, что их произведение равно свободному члену q=6, а их сумма равна -5, то они являются корнями многочлена x²-5·x +6, и, следовательно, x²-5·x +6 разлагается на множители(x-2)·(x-3);

б) Решив уравнение -x²-7·x -12=0 получим числа -3 и -4, они таковы, что (-3)·(-4)= и (-3)+(-4)=-, то они являются корнями квадратного трёхчлена -x²-7x-12, и, следовательно, -12-7x-x² можно преобразовать следующим образом: (-1)·(x+3)·(x+4).

Пример. Разложить на множители:

1) P₃ (x)= x³+4x²+5x+2;

2) P₄ (x)= 2x⁴-3x³-7x²+6x+8.

Решение.

1) Так как P₃ (-1)=0, то многочлен P₃ (x) делится на x+1. Методом неопределённых коэффициентов найдём частное от деления многочлена

P₃ (x)= x³+4x²+5x+2 на двучлен x+1.

Пусть частное есть многочлен x²+. Так как

x³+4x²+5x+2=(x+1)·(x²+)=x³+(+1)·x²+()·x+, получим систему

Откуда . Следовательно, P₃ (x)=(x+1)·(x²+3x+2).

Поскольку x²+3x+2=x²+x+2x+2=x·(x+1)+2·(x+1)=(x+1)·(x+2), то P₃ (x)=(x+1)²·(x+2).

2) Поскольку P₄(2)=32-24-28+12+8=0, то многочлен P₄ (x) делится на x-2. Метод неопределённых коэффициентов найдём частное 2x³+x²+x+.

Так как 2x⁴-3x³-7x²+6x+8=(x-2)·(2x³+x²+x+)=2x⁴+(-4)·x³+(-2)·x²+(--2)·x-2

Получим систему

Откуда =1, =-5, =-4. Следовательно, P₄ (x) =(x-2)·(2x³+x³-5x-4).

Разложим на множители многочлен правой части:

2x³+x²-5x-4=2x³+2x²-x²-x-4x-4=2x²·(x+1)-x·(x+1)-4·(x+1)=(x+1)·(2x²-x-4).

Найдём дискриминант квадратного трёхчлена 2x²-x-4. Так как

D=1+4·4·2=330, то

x₁₌ и x²= корни этого трёхчлена. Поэтому 2x² - x - 4 =

2·( x - )·(x - ).

Итак, P₄ (x) = 2·(x+1)·(x -2)· ( x - )·(x - ).

Приложение

В данном разделе предложены некоторые примеры для рассмотрения на факультативных занятиях. Номера со знаком (*) - Задание повышенной сложности. Эти номера рекомендуется давать обучаемым для домашней и индивидуальной работы.

1. Найти сумму коэффициентов многочлена, получающегося после раскрытия скобок и приведения подобных членов в выражении .

Предположим, что разложение заданного выражения по
степеням имеет вид ,

где -- неизвестные нам коэффициенты, сумму которых требуется определить, a -- степень этого выражения (которая, как легко видеть, равна). Положим в этом равенстве ; тогда получим: .

Таким образом, искомая сумма равна единице.

2. В каком из выражений и будет стоять после раскрытия скобок и приведения подобных членов больший коэффициент при ?

Раскрыв скобки и сделав приведение подобных членов в
двух рассматриваемых выражениях, мы получим два многочлена
относительно . Заменим теперь в наших выражениях на . При
этом нам придется заменить на также и в полученных многочленах, т.е. в каждом из них оставить прежние коэффициенты
при в четных степенях и заменить знаки коэффициентов на обратные при в нечетных степенях. В частности, коэффициенты при
при этой операции не изменяется. Таким образом, мы видим, что
наши два многочлена имеют те же коэффициенты при , что и
многочлены, получаемые при раскрытии скобок и приведении подобных членов в выражениях и .

Но ясно, что первый из этих новых многочленов имеет больший коэффициент при . Действительно, при раскрытии скобок в первом выражении мы получим исключительно положительные коэффициенты при различных степенях х, и при приведении подобных членов все эти коэффициенты будут складываться. Во втором выражении при раскрытии скобок мы получим при различных степенях х коэффициенты, имеющие те же абсолютные величины, что и коэффициенты первого многочлена, но знаки их могут быть различны -- и при приведении подобных членов у нас произойдет уменьшение коэффициентов.

Итак, после раскрытия скобок и приведения подобных членов в выражениях и мы получим в первом из них больший коэффициент при , чем во втором.

3. Доказать, что в произведении после раскрытия скобок и приведения подобных членов не останется членов, содержащих в некоторой степени.

Утверждение задачи непосредственно вытекает из следующих преобразований:

Найти коэффициент при после раскрытия скобок и приведения подобных членов в выражениях: а) б)

а) Согласно формуле суммы геометрической прогрессии и формуле Ньютона имеем:

Таким образом, искомый коэффициент равен

б) Обозначим наше выражение через . Тогда имеем :

Отсюда

Таким образом искомый коэффициент равен

4. * Определить коэффициент при после раскрытия скобок и приведения подобных членов в разложении (n-раз).

Найдем, прежде всего, свободный член, который получится, если в выражении

раскрыть скобки и привести подобные члены. Он равен значению этого выражения при х = 0, т. е.

Обозначим теперь через -- коэффициент при , через --коэффициент при и через-- сумму членов, которые содержат в более высоких степенях. Тогда имеем:

С другой стороны,

Отсюда

Так как , то. Следовательно, и вообще. Вычислим теперь:

Подставляя сюда получим:

5. Найти остаток от деления многочлена а) на ; б) на .

а) Первое решение. Так как при любом целом положительном двучлен делится на , то

даёт при делении на остаток 6.

Второе решение. Обозначим частное от деления на через q(x) и остаток через. Тогда .

Полагая в этом равенстве, получим .

б) Аналогично второму решению предыдущей задачи предположим, что q(x) есть частное от деления нашего многочлена на , a есть искомый остаток (остаток от деления многочлена на квадратный трехчлен является двучленом первой степени):

, откуда .

Таким образом, искомый остаток равен .

6. Неизвестный многочлен даёт при делении на остаток 2, а при делении на - остаток 1. Какой остаток даёт этот многочлен при делении на ?

Пусть р(х) есть наш неизвестный многочлен, q(x) - частное от деления этого многочлена на -- искомый остаток:

. (*)

По условию задачи имеем: , откуда;

, откуда.

Подставляя теперь в равенство (*) и , получаем:

откуда Таким образом, искомый остаток есть .

7. При делении многочлена на получается частное и остаток. Найти в частном коэффициент при .

Многочлен можно разложить на множители; он равен . Отсюда легко увидеть, что этот многочлен является делителем многочлена , а именно:

Разделить на -- это то же самое, что разделить на, а затем результат помножить на. Но легко видеть, что

в этом легко убедиться, если произвести деление «углом» по правилам деления расположенных многочленов или если заметить, что и воспользоваться известной формулой деления разности четных степеней двух одночленов на разность оснований). Отсюда следует, что искомый коэффициент совпадает с коэффициентом при в произведении ,

который равен - 1

8. Найти все многочлены , для которых справедливо тождество

Из выписанного в условии задачи тождества следует, что искомый многочлен Р(х) = Р_п(х) (где --степень многочлена) делится на х, т. е., где -- какой-то новый многочлен степени . Поэтому , и значит , в силу чего делится и на , т. е. (на делится многочлен). Но втаком случае , и мы получаем: ,-- откуда следует, что Р_п(х) делится и на (т.е. делится на ), и, значит, . Подставляя это значение Р(х) в исходное соотношение, мы аналогично убеждаемся в том, что Р(х) делится и на , т. е. , и т.д.

Продолжая поступать таким же образом, мы в конце концов приходим к следующей форме многочлена Р(х):

.

Подставляя в заданное тождество это выражение многочлена Р(х), мы получим:

,

откуда вытекает, что для многочлена степени

(*)

Ясно, что если --многочлен нулевой степени (число!), то соотношение (*) имеет место; покажем, что оно имеет место только в этом случае. В самом деле, если , где , то, приравнивая с обеих сторон тождества (*) коэффициенты при , в силу формулы бинома Ньютона, получаем: , или , что, однако, противоречит предположению . Таким образом, и

— многочлен 26-й степени.

9. Дан многочлен с: а) натуральными; б) целыми коэффициентами сумму цифр числа обозначим через (ясно, что величина просто не существует). Доказать, что если последовательность содержит бесконечно много чисел, то она содержит бесконечно много одинаковых чисел.

а) Если все коэффициенты неотрицательны, то все числа имеют смысл. Рассмотрим такую степень десяти , что больше всех коэффициентов многочлена . Тогда число , очевидно, начинается с тех цифр, которыми записывается коэффициент многочлена; затем (после, быть может, некоторого числа нулей) идут цифры числа ; затем (возможно, опять после нулей) -- цифры числа , и т. д. --вплоть до цифр числа ; поэтому число равно сумме всех цифр всех чисел . Но этому же самому числу S равны и величины откуда и следует, что в последовательности ,число S встречается бесконечно много раз.

б) Ясно,- что если старшин коэффициент по многочлена отрицателен, то среди чисел будет вообще лишь конечное число имеющих смысл (ибо при всех достаточно больших многочлен имеет тот же знак, что и его старший коэффициент -- это следует, например, из того, что ). Таким образом, остается лишь рассмотреть случай . Но в этом случае, как мы покажем, существует таков число М > 0, что у «сдвинутого»-многочлена все коэффициенты положительны. Отсюда будет следовать, что последовательность сумм цифр чисел содержит бесконечно много одинаковых чисел, а так как, очевидно, то и последовательность также содержит бесконечно много одинаковых чисел.

Итак, вам остается лишь доказать напечатанное выше курсивом утверждение. Но если

то, в силу формулы бинома Ньютона, , где . Таким образом, имеет вид многочлена (степени ) от М со старшим коэффициентом ; поэтому все (где заметим, что ) при достаточно большом М будут положительны, что и требовалось доказать.

10. Доказать, что многочлен нельзя представит как произведение двух многочленов: от одного переменного и одного переменного .

Пусть многочлены и имеют свободные члены (т.е. ) и . Положим в равенстве переменная равным 0; тогда получим , т.е. ; таким образом, g(y) равно при всех, т. е. эго есть постоянная (многочлен нулевой степени). Аналогично доказывается, что , т. е. . Полученное противоречие и доказывает утверждение задачи.

11. Квадратный трёхчлен таков, что уравнение не имеет (вещественных) корней. Доказать, что тогда и уравнение также не имеет вещественных корней.

Так как (квадратное) уравнение не имеет вещественных корней, то квадратный трехчлен при всех принимает значения одного знака, скажем, при всех . Но в таком случае для любого имеем, т. е. , и так как, по предположению, , т. е. , то и, значит, не может служить корнем уравнения (4-й степени).

Будем считать, что -- в противном случае мы заменим многочлен на (удовлетворяющий тем же условиям) многочлен. Аналогично будем считать и что -- в противном случае мы заменим на . Подставив теперь значения и в неравенство , получим и , т. е. и , . Далее, если и, значит, (при ) , а , имеем и , откуда следует, что . Аналогично, при , когда (и по-прежнему ), и , откуда вытекает, что и здесь .

12. Доказать, что если - корень уравнения а - корень уравнения то найдётся промежуточный между ними корень уравнения , т.е. такой, что , либо .

Исключим из рассмотрения мало интересный случай , когда три уравнения (1), (2) и (3) являются уравнениями 1-й степени, т. е. имеют единственный корень каждое, и все совпадают между собой (здесь ), а также случай, когда, скажем, и наши три уравнения имеют корни и -- здесь корень уравнения (3) заключен между любым корнем уравнения (1) и любым из корней уравнения (2)). Далее, если , то ; аналогично, если , то

.

Следовательно, величины и имеют разные знаки. Но это означает, что точки и параболы лежат по разные стороны от оси х, откуда и следует, что существует промежуточная между этими точками точка параболы, в которой эта кривая пересекает ось х; и есть искомый корень уравнения (3).

13. Пусть и - корни уравнения , а и - корни уравнения . Выразит произведение через коэффициенты данных уравнений.

Если и --корни уравнения , то . Следовательно,

.

Но и, значит,

а) Найти целое число такое, что разлагается в произведение двух множителей с целыми и . б) Найти такие отличные от нуля не равные между собой целые числа , чтобы многочлен четвёртой степени с целыми коэффициентами можно было переставить в виде произведения двух многочленов с целыми коэффициентами.

а) Пусть . Пологая в обеих частях равенства , получим: . Отсюда .

Так как и --целые, то и -- также целые. Но -- 1 может быть представлена в виде произведения двух целых чисел только одним способом:. Поэтому имеются только две возможности:

1); тогда , т. е. а = 8: .

2); тогда т.е. :

б) Так как многочлен четвертой степени можно разложить или в произведение многочлена первой степени и многочлена третьей степени или в произведение двух многочленов второй степени, то нам следует рассмотреть отдельна два случая:

А) (*) (коэффициенты в правой части равенства при х в первом множителе и при во втором множителе оба равны 1 или оба равны -- 1, так как в произведении этих множителей коэффициент при должен быть равен коэффициенту при в выражении , т. е. 1; равенство же можно привести к виду (*), умножив обя сомножителя правой части на -1).

Положив в равенстве (*) последовательно х = 0, х = а, х = b и х = с и учитывая, что 1 разлагается на множители только двумя способами , мы получим, что четыре различных числа и с + р (напоминаем, что числа 0, а, b, с все различны) могут иметь только два значения + 1 и -- 1, что невозможно.

Б) . Отсюда, как и выше, получаем, что при х = 0, х = а, х = b и х = с оба многочлена, как, так и, принимают .значения 1 или -- 1. Но квадратный трехчлен х² + рх + q не может принимать одно и то же значение при трех различных значениях (в противном случае квадратное уравнение имело бы три различных корня), откуда следует, что при двух из четырех значений х = 0, х = а, х = b, x = с этот трехчлен принимает значение 1, а при двух других -- значение --1. Предположим, что, и пусть х = а есть то из значений х= а, х = b и х = с, при котором этот трехчлен принимает то же самое значение 1; в таком случае при х = b и x = с он принимает значение -- 1. Итак, мы имеем:

Из следует, что (ибо, по предположению,). Таким образом, два последних равенства принимают вид , . Вычитая нз первого равенства второе, получим: , откуда, так как , имеем: . Теперь из равенства

получаем следующие значения для b, с и а;

,

и ,

Аналогично, если х² + рх + q принимает при х = 0, и значение -- 1, при х=b и х = с значение + 1, то мы имеем:

q = -- 1, , откуда

Мы получаем, таким образом, еще две возможные системы значений для а, b и с:

,

,

14. При каких отличных друг от друга целых числах многочлены с целыми коэффициентами а) ,

б)

а) Предположим, что , где р(х) и q(x) --многочлены с целыми коэффициентами, сумма степеней которых равна; можно считать, что в обоих этих многочленах старший коэффициент равен 1 (сравните с решением предыдущей задачи). Подставляя в это равенство значения и учитывая, что -- 1 разлагается на два целых множителя единственным образом:, мы получим, что р(х) = 1, q(x) = -1, или наоборот, при каждом из рассматриваемых значений х. Таким образом, мы видим, что сумма равна нулю при . Итак, уравнение имеет своими корнями отсюда следует, что многочлен делится на , а следовательно, и на произведение . Но степень уравнения , равная наибольшей степени многочленов р(х), q(x), меньше ( есть степень выражения . Отсюда еледует, что не может делиться на произведение , а следовательно, разложение, существование которого мы предположили, невозможно.

б) Предположим, что , где р(х) и q(x)-- многочлены с целыми коэффициентами, старшие коэффициенты которых равны 1. Подставив в это равенство значения , мы получим, что при каждом из рассматриваемых значений х, р(х) = 1, q(x) = 1 или р(х) = -1, q(x) = -1. Таким образом, р(х)-q(x) обращается в нуль при различных значениях х, и, следовательно, во-первых, и, во-вторых, число четно: , где k есть степень каждого из многочленов . Перепишем теперь наше равенство в виде или .

Итак, произведение двух многочленов и обращается в нуль при . Следовательно, при каждом из этих значений х обращается в нуль хотя бы один из сомножителей, а это значит, что или , или делится на или , или делится на, и т. д. Так как многочлен степени k не может делиться на произведение больше чем k различных выражений вида, и так как из того, что многочлен степени со старшим коэффициентом 1 делится на произведение k выражений вида , следует, что он равен этому произведению, то мы можем утверждать, что равно произведению k из 2k сомножителей левой части последнего равенства, а равно произведению остальных k сомножителей.

Предположим, например, что , . Вычитая из пеового равенства втоиое, получим:

. Подставив сюда, например, , мы получим разложение числа 2 в произведение целых множителей:.

Так как число 2 нельзя разложить в произведение больше чем трех различных множителей, то отсюда сразу следует, что. Но случай тоже является невозможным по следующей причине. Число 2 может быть разложено в произведение трех различных сомножителей только одним единственным способом: . Предположим, что , . Тогда , где , и следовательно . Подставив в формулу ,

мы придем к другому разложению 2 на три различных множителя: , где тоже . Отсюда следует, что и значит,, что противоречит условию задачи.

Итак, возможными являются только два случая: и k = 1.

1°. Если , то мы имеем:

, откуда , и, обозначая просто через а, получим:

2°. Если, то имеем: , где будем считать . Подставляя в последнее равенство и, получим:

Но 2 можно разложить на два множителя, следующих в убывающем порядке, только двумя способами: и . Так как, кроме того, , то мы имеем: , откуда, обозначая через а, получим: и разлагаются в произведение других многочленов?

15. * Доказать, что при любых отличных друг от друга целых чисел многочлен не разлагается в произведение двух других многочленов с целыми коэффициентами.

Аналогично решению предыдущей задачи из предполагаемого равенства , (*), где р(х), q(x)--какие-то многочлены с целыми коэффициентами (и с коэффициентами при старших членах, равными 1), следует, что либо р(х) = 1, q(x) = 1, либо р(х)= - 1, q(x) = - 1 при каждом из значений . Покажем, что многочлен р(х) (и, разумеется, также и q(x)) может быть либо при всех значениях равен 1, либо при всех этих значениях х равен - 1.

В самом деле, если бы, например, многочлен р(х) при принимал значение 1, а при -- значение -1, то при некотором промежуточном значении х, заключенном между и , он обращался бы в нуль (если график функции у = р(х) при находится сверху от оси Ох, а при оказывается снизу от этой оси, то непрерывная кривая , где-то между и пересекает ось Ox), что невозможно, ибо левая часть равенства (*) всегда больше, либо равна 1 и потому в нуль обратиться не может.

Предположим, что как р(х), так и q(х) при принимают значения 1. В таком случае как , так и обращаются в нуль и, следовательно и делятся на . Так как сумма степеней многочленов р(х) и q(x) равна степени , т. е., то и (ср. с.решением предыдущей задачи).

Таким образом, мы пциходнм к равенству

откуда , что неверно. Точно так же доказывается, что р(х) и q(x) не могут принимать в точках значения -- 1 (в этом случае мы получили бы .

Итак, мы видим, что разложение выражения

в произведение двух, многочленов с целыми коэффициентами невозможно.

16. Доказать, что если многочлен с целыми коэффициентами принимает при чётных целых значениях значение 7, то он не может принимать значение 14 ни при каком целом значении .

Пусть многочлен Р(х) равен 7 при х = а, х = b, x = с и х = d. В таком случае уравнение Р(х)--7 = 0 имеет четыре целых корня а, b, с и d. Это значит, что многочлен Р(х) -- 7 делится на х -- а, х -- b, х -- с, х -- d), т. е.

, где р(х) может равняться 1.

Предположим теперь, что многочлен Р(х) принимает при целом значении х = А значение 14. Подставив х = А в последнее равенство, мы получим:

, что невозможно, так как целые числа А --а, А -- b, А -- с и А -- d все различны, а 7 нельзя разложить в произведение пяти множителей, из которых по крайней мере четыре отличны друг от друга.

17. Доказать, что если многочлен 7-й степени с целыми коэффициентами при 7 целых значениях принимает значение +1 и -1, то нельзя представить в виде произведения двух многочленов с целыми коэффициентами.

Если многочлен седьмой степени Р(х). разлагается в произведение двух многочленов р(х) и q(x) с целыми коэффициентами, то степень хотя бы одного из сомножителей не больше 3; будем считать, что этим сомножителем является р(х). Если Р(х) при семи целых значениях х принимает значение ± 1, to p(x) при тех же значениях х тоже принимает значения ± 1 (так как p(x)q(x) = Р(х)). Среди семи целых значений х, при которых p(x) принимает значения ± 1, найдутся четыре таких, при которых р(х) принимает значение 1, или четыре таких, при которых р(х) принимает значение -- 1. В первом случае уравнение третьей степени р(х) -- 1 =0 имеет четыре корня, во втором случае уравнение р(х) + 1=0 имеет четыре корня. Ни то, ни другое не может иметь места, так как, например, в первом случае р(х) -- 1 должно было бы делиться на многочлен четвертой степени.

18. Доказать, что если многочлен с целыми коэффициентами принимает при и нечётные значения, т уравнение имеет рациональный корень , то равно 1 или 2 и .

Пусть р и q -- два целых числа, одновременно четных или нечетных. Тогда разность Р(р)-P(q) четна. Действительно, выражение

делится на четное число р -- q.

В частности, при р четном разность четна. Но по условию Р(0) нечетно; следовательно, Р(р) также нечетно, а потому. Аналогично при р нечетном разность Р(р)--Р(1) четна; так как по условию Р(1) нечетно, то отсюда, как и выше, следует, что .

Следовательно, Р(х) не может обращаться в нуль ни при каком целом значении х (как четном, так. и нечетном), т. е. многочлен Р(х) не имеет целых корней.

Предположим, что уравнение Р(х) = 0 имеет рациональныц корень , т.е. . Разложим многочлен по степеням , т.е. запишем его в виде , где -- некоторые целые числа, которые нетрудно найти, если известны ( равно старшему коэффициенту многочлена Р(х), -- старшему коэффициенту многочлена
степени п --1, с₂ -- старшему коэффициенту многочлена степени п -- 2, и т. д.).
Подставив х = р в последнее выражение для Р(х), мы получим
Подставив в это же выражение и умножив результат на, мы получим:

,

откуда следует, что если , то есть целое число. Но так как pl делится на l, a k взаимно просто с l (иначе дробь можно было бы сократить),то k -- pl взаимно просто с l, а следовательно, k -- pl взаимно просто и с . Отсюда, следует, что может быть целым числом только, если .

Точно так же докажем, что и

Вычтя теперь равенство из равенства , мы получим:

или ( р -- q)l = ±2. Но (р -- q)l > 0, так как и , а следовательно,

Итак, если р -- q > 2, то уравнение Р(х) =0 вовсе не может иметь рациональных корней. Если же р -- q = 2 или р -- q = 1, то рациональный корень может существовать. При этом, складывая равенства , мы получаем:

,что и требовалось доказать.

Заключение

Результатом выпускной квалификационной работы является разработанная методика изучения темы «Многочлены». Изучение и углубление знаний по данной теме необходимо в настоящее время, так как увеличивается ценность образования. А при изучении этой темы у учеников повышается способность к научно-исследовательской деятельности.

Для того, чтобы улучшить понимание определений, теорем и следствий, необходимо вводить их строго аналитическим методом. Таким образом этот аспект тоже рассмотрен в данной работе. На уровне с этим разработаны методические положения, способствующие целостному успешному усвоению знаний.

При выполнении выпускной квалификационной работы было достигнуто следующее:

- обобщен и систематизирован материал по теме «Многочлены»;

- разработаны методические рекомендации;

- разработан психолого-педагогический блок по изучению темы.

Материал представленный в данной исследовательской работе может быть использован учителями средних школ и школ с математической специализацией. Кроме того, он может быть рекомендован учащимся старших классов средних школ, школ-лицеев, школ-гимназий, желающим усовершенствовать свою математическую подготовку перед выпускными и вступительными экзаменами в вузы, а также студентам физико-математических факультетов педагогических институтов и университетов.

Литература

1. «Математика» Большой справочник для школьников и поступающих в вузы - Дрофа 1998 864стр.

2. «Математика» Задачи М. И. Сканави с решениями - Минск 1996 448стр.

3. Бугров Я.С. Высшая математика.- Ростов - на - Дону 1997

4. Винберг В.А. Алгебра.- Москва 1995

5. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике.- Москва 1997

6. Зив Б.Г. Математика, 11. Уроки повторения. -- СПб.: Мир и семья-95, 1998.

7. Кузнецова Г.Н. Миндюк Н.Г. «Программа» (Тематическое планирование к учебникам федерального комплекта «Математика») - М.:2002г 320стр.

8. Курош А.Г. Курс высшей алгебры.- Наука 1973

9. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа, 10-11. Учебник, задачник.

10. Сборник задач по математике с решениями / под ред. М. И. Сканави -М.: Издательский дом Оникс 1999: - 624стр.

11. Фрижман Л.М., Турецкий Е.Н. «как научиться решать задачи»: Просвещение 1984 - 175стр.

12. Шлярский Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М. 'Избранные задачи и теоремы элементарной математики' Том 1 Арифметика и алгебра.-С-Петербург 1998: - 328 стр.