Метод простых итераций с попеременно-чередующимся шагом решения некорректных задач

Работа из раздела: «Математика»

Учреждение образования

«Брестский государственный университет имени А.С. Пушкина»

Математический факультет

Кафедра информатики и прикладной математики

Дипломная работа

метод простых итераций с попеременно чередующимся шагом решения некорректных задач

отделения «Прикладная математика»

БРЕСТ 2012

СОДЕРЖАНИЕ

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Глава 1 АПРИОРНЫЙ ВЫБОР ЧИСЛА ИТЕРАЦИЙ В МЕТОДЕ ПРОСТЫЙ ИТЕРАЦИЙ С ПОПЕРЕМЕННО ЧЕРЕДУЮЩИМСЯ ШАГОМ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ I РОДА

1.1 Постановка задачи
1.2 Сходимость при точной правой части
1.3 Сходимость при приближенной правой части
1.4 Оценка погрешности

Глава 2 СЛУЧАЙ НЕЕДИНСТВЕННОГО РЕШЕНИЯ В МЕТОДЕ ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙ С ПОПЕРЕМЕННО ЧЕРЕДУЮЩИМСЯ ШАГОМ
Глава 3 АПОСТЕРИОРНЫЙ ВЫБОР ЧИСЛА ИТЕРАЦИЙ В МЕТОДЕ ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙ С ПОПЕРЕМЕННО ЧЕРЕДУЮЩИМСЯ ШАГОМ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ
Глава 4 МЕТОД ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙ С ПОПЕРЕМЕННО ЧЕРЕДУЮЩИМСЯ ШАГОМ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
ВВЕДЕНИЕ
Встречается большой класс задач, где решения неустойчивы к малым изменениям исходных данных, т.е. сколь угодно малые изменения исходных данных могут приводить к большим изменениям решений. Задачи подобного типа принадлежат к классу некорректных задач.
Если исходные данные известны приближённо, то упомянутая неустойчивость приводит к практической неединственности решения в рамках заданной точности и к большим трудностям в выяснении смысла получаемого приближённого решения. Важен и сам по себе факт несходимости решения задачи с приближёнными данными к решению задачи с точными данными.
Значительная часть задач, встречающаяся в прикладной математике, физике, технике и управлении, может быть представлена в виде операторного уравнения I-го рода
(1)
с заданным оператором А: X Y и элементом у. Адамаром [13,14] было введено следующее понятие корректности:
Определение Задачу отыскания решения уравнения (1) называют корректной (или корректно поставленной, или корректной по Адамару), если при любой фиксированной правой части уравнения у = Y его решение
а) существует в пространстве X;
б) определено в X однозначно;
в) устойчиво в пространстве X, т.е. непрерывно зависит от правой части yY.
В случае нарушения любого из этих условий задачу называют некорректной (некорректно поставленной); более конкретно, при нарушении условия в) её принято называть неустойчивой.
Из определения видно, что корректность по Адамару эквивалентна однозначной определённости и непрерывности обратного оператора на всём пространстве Y.
На протяжении многих лет в математике считалось, что только корректные задачи имеют право на существование, что только они правильно отражают реальный мир. О некорректных задачах сложилось мнение, что они не имеют физической реальности, поэтому их решение бессмысленно. В результате долгое время некорректные задачи не изучались.
Однако на практике всё чаще и настойчивее стала возникать необходимость решать некорректные задачи. К таким задачам относятся задачи Коши для уравнения Лапласа, задача решения интегрального уравнения 1-го рода, задача дифференцирования функции, заданной приближённо, численное суммирование рядов Фурье, когда коэффициенты известны приближённо в метрике , обратная задача гравиметрии, обратная задача теории потенциала, задача спектроскопии, задача аналитического продолжения функции, известной из части области, на всю область. Некорректны также и задача проектирования оптимальных систем, конструкций, задача создания систем автоматической обработки результатов физического эксперимента, задача Коши для уравнения теплопроводности обращённым временем и т.д.
Вообще некорректно большинство так называемых обратных задач, в которых по результатам действий какого-либо физического поля или процесса определяются первоначальные характеристики самого этого поля или процесса.
Однако, если не изменить постановку неустойчивых задач, то обычные методы, применяемые для решения корректных задач окажутся непригодными для их решения, так как сколь бы малой не была погрешность исходных данных, нельзя быть уверенным в малости погрешности полученного решения. Поэтому необходимо было пересмотреть определение корректности по Адамару. И это было сделано в 1943 году А.Н. Тихоновым [9].
Определение Задача (1) называется корректной по Тихонову на множестве М Х, а само множество М - её классом корректности, если:
а) точное решение задачи существует в классе М;
б) в классе М решение задачи единственно при любой правой части
в) принадлежащее множеству М решение задачи устойчиво относительно правых частей у N.
Если
и ,
то корректность по Тихонову совпадает с корректностью по Адамару.
После работ А.Н. Тихонова систематическое изучение некорректных задач и способов их решения началось в 50-х годах, но особенно широкий размах оно приняло в последние 40 лет. Основные результаты отражены в монографиях М.М. Лаврентьева [8], А.Н. Тихонова и В.Я. Арсенина [10], В.А. Морозова [5], В.К. Иванова, В.В. Васина и В.П. Тананы [6], О.А. Лисковца [7], Г.М. Вайникко и А.Ю. Веретенникова [2] и др.
Наиболее общим из известных в настоящее время подходов к решению некорректных задач является подход, основанный на введённом А.Н. Тихоновым понятии регуляризатора.
Определение Пусть имеется некорректная в классическом смысле задача математической физики. Параметрическое семейство операторов {}, действующих из пространства правых частей Y в пространство решений X, называется регуляризующим (регуляризующим алгоритмом или регуляризатором), если:
1) при любом > 0 оператор определён на всём пространстве Y,
2) если существует точное решение исходной задачи х X, то для любого существует такое, что для всех У, имеет место соотношение . Параметр называется параметром регуляризации, = - регуляризированными решениями.
Использование регуляризатора задачи даёт возможность сколь угодно точного её решения при достаточно точных исходных данных.
В работе [15] А.Н. Тихонов предлагает способ построения регуляризующих операторов для уравнения (1). Это метод регуляризации решения некорректных задач. Он основан на вариационном принципе. В методе рационально выбирается параметр регуляризации, используется априорный способ выбора и предложены принципы невязки и сглаживающего функционала.
Для решения некорректных задач В.К. Иванов в работе [16] излагает метод квазирешений. Большое применение для регуляризации некорректных задач имеет также и метод невязки, предложенный Д.Л. Филлипсом [17] и В.К. Ивановым [16].
Особое место среди методов решения некорректных задач занимают итерационные методы.
Ещё в 30-е годы в работах Т. Карлемана [18], Г.М. Голузина и В.К. Крылова [19] были предложены первые методы приближений, дающие в пределе точные решения уравнения (1), если данные, т.е. оператор А и правая часть у заданы точно. Для решения задачи Коши для уравнения Лапласа с точными данными итеративный метод изложен в работе Б.А. Андреева [20]. В общем виде итеративный метод сформулирован А.К. Маловичко [21]. Однако в этих работах отсутствует необходимое исследование влияния погрешностей данных, которое весьма важно для решения некорректных задач. В работе [8] М.М. Лаврентьев обосновал сходимость метода последовательных приближений при приближённой правой части линейных уравнений и распространил полученные результаты на случай нелинейных уравнений. При других предположениях метод последовательных приближений был исследован Ю.Т. Антохиным [22]. Изучению итеративных методов посвящены работы В.Н. Страхова [23,24]. Различные схемы итерационных методов, предложенные А.С. Апарциным, В.К. Ивановым, А.С. Кряневым, М.М. Лаврентьевым, В.А. Морозовым, С.М. Оганесяном, Б.Ч. Старостенко, Г.В. Хромовой, применялись для решения многих некорректных задач в гильбертовых пространствах. Для решения некорректных задач в банаховых пространствах применялись методы итераций, предложенные в работах А.Б. Бакушинского и В.Н. Страхова. В некоторых из этих работ рассматривается случай приближённых операторов. Метод простых итераций при приближённо заданных правой части и операторе изучался в работах О.А. Лисковца и Я.В. Константиновой [3, 25]. Различные схемы явных и неявных итеративных методов предложены в работах О.А. Лисковца, В.Ф. Савчука [1,26-28] и О.В. Матысика.
Во всех работах того времени число итераций выбиралось априорно. Это означает следующее. В предположении, что точное решение уравнения (1) истокопредставимо, т.е. , s > 0 находилась оценка погрешности метода, которая затем оптимизировалась по п, т.е. вычислялось значение итераций , при котором оценка погрешности являлась минимальной.
Однако поскольку не всегда имеются ведения об истокопредставимости точного решения, то трудно разумным образом определить число итераций . Тем не менее, итеративные методы решения некорректных задач можно сделать вполне эффективными, если воспользоваться правилами останова по невязке и по соседним приближениям. Апостериорный выбор числа итераций для метода простых итераций впервые был предложен И.В. Емелиным и М.А. Красносельским [4,11]. Дальнейшее развитие идеи работы [4] получили в работе Г.М. Вайникко и А.Ю. Веретенникова [2]. О.А. Лисковец, В.Ф. Савчук и О.В. Матысик [12,29,30] продолжили исследования в этом направлении. Ими обоснована возможность применения правил останова по невязке и по соседним приближениям для различных схем методов итераций, явных и неявных, которые превращают предложенные итеративные методы в регуляризующие алгоритмы для задачи (1), не требуя при этом знания истокопредставимости точного решения, но в случае его истокопредставимости обеспечивают оптимальную в классе скорость сходимости.

Глава 1 АПРИОРНЫЙ ВЫБОР ЧИСЛА ИТЕРАЦИЙ В МЕТОДЕ ПРОСТЫЙ ИТЕРАЦИЙ С ПОПЕРЕМЕННО ЧЕРЕДУЮЩИМСЯ ШАГОМ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ I РОДА

1.1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

В гильбертовом пространстве Н решается операторное уравнение 1 рода

(1.1)

где А - ограниченный, положительный, самосопряженный оператор, для которого нуль не является собственным значением. Причем нуль принадлежит спектру оператора А, т. е. задача некорректна. Для отыскания решения уравнения (1.1) используется явный итерационный метод:

(1.2)

Предполагая существование единственного точного решения уравнения (1.1) при точной правой части у, ищем его приближение при приближенной правой части , . В этом случае метод (1.2) примет вид:

(1.3)

1.2 СХОДИМОСТЬ ПРИ ТОЧНОЙ ПРАВОЙ ЧАСТИ

Покажем по индукции, что

1. При . Из метода (1.2) и рассматриваемого равенства имеем . Следовательно, при рассматриваемая формула верна.

2. Пусть при данная формула верна, т. е.:

3. Докажем справедливость формулы при

Значит, доказываемая формула справедлива.

Считаем . Тогда, воспользовавшись интегральным представлением самосопряженного оператора, получим:

По индукции можно доказать, что

1. При , получим . Следовательно, при рассматриваемая формула верна.

При

2.Пусть при формула верна, т. е.:

(**)

3. Докажем справедливость формулы при

Следовательно, рассматриваемая формула справедлива.

В этом случае

Здесь - натуральные показатели, или Потребуем, чтобы здесь и всюду ниже для , удовлетворяющих условию и для было

(1.4)

для любого т. е. Правое неравенство дает Так как то

(1.5)

Левое неравенство дает

Отсюда

(1.6)

Из (1.5) и (1.6), двигаясь в обратном порядке, легко получить (1.4). Следовательно, условие (1.4) равносильно совокупности условий (1.5) и (1.6). Из (1.5) и (1.6) получаем следствие:

(1.7)

Докажем сходимость процесса (1.2) при точной правой части. Справедлива

Теорема 1.1 Итерационный процесс (1.2) при условиях и (1.4) сходится в исходной норме гильбертова пространства.

Доказательство:

При условиях и (4) второй интеграл сходится, так как

Здесь

так как сильно стремится к нулю при Таким образом, Теорема 1.1 доказана.

1.3 СХОДИМОСТЬ ПРИ ПРИБЛИЖЕННОЙ ПРАВОЙ ЧАСТИ

Докажем сходимость процесса (1.3) при приближенной правой части уравнения (1.1). Справедлива

Теорема 1.2 При условиях и (1.4) итерационный процесс (1.3) сходится, если выбирать число итераций из условия

Доказательство:

Рассмотрим Оценим где

Найдем на максимум подынтегральной функции

Покажем по индукции, что

Обозначим левую часть неравенства через Тогда

1. При . Получим . Следовательно, при рассматриваемая формула верна.

При

2. Пусть при формула верна, т. е.:

3. Докажем справедливость формулы при

Следовательно, доказываемая формула верна.

Поэтому Отсюда получим

Поскольку и то для сходимости метода (1.3) достаточно потребовать, чтобы Теорема 1.2 доказана.

1.4 ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ

Для оценки скорости сходимости предположим истокопредставимость точного решения, т. е. Тогда

Для упрощения будем считать число четным, т. е. и найдем оценку для С этой целью оценим модуль подынтегральной функции

Первый сомножитель для Второй сомножитель для малых близок к единице, т. е. тоже положителен. Поэтому по крайней мере для всех не превосходящих первой стационарной точки. Найдем стационарные точки функции

Первые два сомножителя не равны нулю, в противном случае Следовательно, Отсюда получим, что

стационарные точки функции Рассмотрим где

Имеем

так как первые два сомножителя при условии (1.4) положительны. Значит, - точка максимума функции Оценим в точке

Покажем, что

(1.8)

Предположим, что (1.8) справедливо. Оно равносильно неравенству

которое, в свою очередь, равносильно такому

(1.9)

Возведение в квадрат обеих частей неравенства (1.9) дает эквивалентное неравенство, если левая часть неотрицательна. Установим, при каких n это будет.

Очевидно, при

Будем считать и возведем обе части неравенства (1.9) в квадрат. После приведения подобных членов получим

или

т. е.

При последнее неравенство справедливо и, следовательно, в силу равносильности неравенств, справедливо неравенство (1.8). Отсюда

Оценим теперь Покажем, что

(1.10)

т. е. т. е.

Преобразовав последнее неравенство, получим

После возведения обеих частей неравенства в квадрат и приведения подобных членов, получим очевидное неравенство

В силу равносильности неравенств справедливо неравенство (1.10), так что

Таким образом, для справедлива оценка

Оценим в точке

Сначала потребуем, чтобы т. е.

Усилим неравенство

Отсюда При причем, при Пусть тогда при условии

(1.11)

имеем т. е. В противном случае и оно нас не интересует. Оценим при условии (1.11) функцию Для этого сначала оценим , так как в точке функция Найдем при каких условиях выполняется неравенство

(1.12)

Подставив в (12), получим

что после упрощения дает

Возведем обе части неравенства в квадрат, получим после приведения подобных членов, что

Очевидно, что при условии (1.6) это неравенство справедливо и, следовательно, справедливо неравенство (1.12). Итак, при условиях (1.6) и (1.11) справедлива оценка

На концах отрезка [0,1] имеем Таким образом, получим следующие оценки для

1) в точке

2) в точке при условии (1.6) и (1.12)

3) в точке

Найдем условия, при которых т. е. Это равносильно условию

(1.13)

Таким образом, если выбирать и из условия (1.13), то Поскольку геометрическая прогрессия убывает быстрее, чем то

для достаточно больших Поэтому для таких справедлива оценка

Так как то при условиях (1.5), (1.6), (1.11) и (1.13) имеет место следующая оценка погрешности итерационного метода (1.3):

(1.14)

Нетрудно видеть, что условие (1.13) сильнее условия (1.5). Для нахождения оптимальной по оценки погрешности производную по от правой части выражения (1.14) приравняем к нулю.

Подставляем в (1.14)

Тогда оптимальная по оценка погрешности имеет вид

(1.15)

и получается при

1.16)

Итак, доказана

Теорема 1.3 При условиях (1.11), (1.6), (1.13) оценка погрешности метода (1.3) имеет вид (1.14) при достаточно больших . При этих же условиях оптимальная оценка имеет вид (1.15) и получается при из (1.16).

Таким образом, оптимальная оценка метода (1.3) при неточности в правой части уравнения оказывается такой же, как и оценка для метода простых итераций [2-3]. Как видно, метод (1.3) не дает преимущества в мажорантных оценках по сравнению с методом простых итераций. Но он дает выигрыш в следующем. В методе простых итераций с постоянным шагом [2-3] требуется условие , в этом же методе с переменным шагом допускается более широкий диапазон для больших .В методе же (1.3) . Следовательно, выбирая и соответствующим образом, можно сделать в методе (1.3) примерно втрое меньшим, чем для метода простых итераций с постоянным шагом, и вдвое меньшим, чем для того же метода с переменным шагом. Таким образом, используя метод (1.3), для достижения оптимальной точности достаточно сделать итераций соответственно в три раза или в два раза меньше. Приведем несколько подходящих значений , удовлетворяющих требуемым условиям:

0,8	0,9	1,0	1,1	1,15	1,17	1,3
4,4	5,0	5,5	6,1	6,4	6,5	4,1

Наибольшую сумму и, следовательно, наибольший выигрыш в объеме вычислений дают значения и . Поскольку в выделенном случае , то условие (1.7) показывает, что достигнут практически максимальный возможный выигрыш.

Замечание 1.1 Оценки сходимости были получены для случая, когда . В случае, когда , во всех оценках следует заменить на .

Замечание 1.2 Считаем, что. На самом деле все результаты легко переносятся на случай, когда .

итерация гильбертово пространство погрешность

Глава 2 СЛУЧАЙ НЕЕДИНСТВЕННОГО РЕШЕНИЯ В МЕТОДЕ ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙ С ПОПЕРЕМЕННО ЧЕРЕДУЮЩИМСЯ ШАГОМ

Покажем, что метод (1.2) пригоден и тогда, когда является собственным значением оператора (в этом случае уравнение (1.1) имеет неединственное решение).

Обозначим через

- ортогональное дополнение ядра до . Пусть - проекция на , а - проекция на . Справедлива

Теорема 2.1 Пусть

тогда для итерационного процесса (1.2) верны следующие утверждения:

2) метод (1.2) сходится тогда и только тогда, когда уравнение разрешимо. В последнем случае , где - минимальное решение уравнения.

Доказательство:

Применим оператор к методу (1.2), получим

, где .

Так как , то .Отсюда

Обозначим , тогда . Имеем и положительно определён в , т.е. Так как то и . Воспользовавшись интегральным представлением самосопряженного оператора (для упрощения считаем, что), получим

Здесь - натуральные показатели, или Справедлива цепочка неравенств

( - четное) при Здесь . Следовательно, , откуда и .

Таким образом, имеем . Итак, 1) доказано.

Докажем 2). Пусть процесс (1.2) сходится. Покажем, что уравнение разрешимо. Из сходимости к и из 1) следует, что следовательно, , и уравнение разрешимо.

Пусть теперь (уравнение разрешимо), следовательно, , где - минимальное решение уравнения (оно единственно в ). Тогда (1.2) примет вид

Разобьём последнее равенство на два:

так как

так как и, следовательно,

Тогда . Обозначив , получим

Аналогично , можно показать, что . Таким образом, . Следовательно, Теорема 2.1 доказана.

Замечание 2.1 Так как , то , т.е. процесс (1.2) сходится к нормальному решению, т.е. к решению с минимальной нормой.

Глава 3 АПОСТЕРИОРНЫЙ ВЫБОР ЧИСЛА ИТЕРАЦИЙ В МЕТОДЕ ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙ С ПОПЕРЕМЕННО ЧЕРЕДУЮЩИМСЯ ШАГОМ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ

Ранее мы предполагали, что точное решение уравнения (1.1) истокообразно представимо, однако не всегда имеются сведения об элементе и степени истокопредставимости . Тем не менее метод (1.3) можно сделать вполне эффективным, если воспользоваться следующим правилом останова по невязке.

Зададим уровень останова и момент останова итерационного метода определим условиями

(3.1)

Покажем возможность применения правила (3.1) к методу (1.3). Рассмотрим для чётных семейство функций . Считаем, что . Используя результаты главы 2, нетрудно показать, что для выполняются условия

, (3.2)

где , (3.3)

, (3.4)

, (3.5)

где .

Лемма 3.1 Пусть . Тогда для .

Доказательство:

Воспользуемся интегральным представлением самосопряжённого оператора , где - спектральная функция. Рассмотрим

При условиях и , имеем

Здесь

в силу свойств спектральной функции.

Следовательно, Лемма 3.1 доказана.

Лемма 3.2 Пусть . Тогда для имеет место соотношение .

Доказательство:

Так как верно неравенство (3.5), то

, где .

Воспользуемся теоремой Банаха-Штейнгауза, по которой сходимость при имеет место тогда и только тогда, когда эта сходимость имеет место на некотором плотном в подмножестве и ограничены независящей от постоянной.

Здесь , т.е. совокупно ограничены.

В качестве плотного в подмножества возьмём множество . Положим . Тогда для каждого имеем

так как Лемма 3.2 доказана.

Лемма 3.3 Пусть .

Если для некоторого при имеем

то .

Доказательство:

В силу (3.3) последовательность ограничена . Поэтому в гильбертовом пространстве из этой последовательности можно извлечь слабо сходящуюся подпоследовательность.

Пусть , тогда . Но по условию следовательно, . Поскольку нуль не является собственным значением оператора , то . Тогда

так как и по условиям . Следовательно, . Итак, всякая слабо сходящаяся подпоследовательность указанной выше ограниченной последовательности стремится к нулю по норме. Следовательно, и вся последовательность . Лемма 3.3 доказана.

Теорема 3.1 Пусть и пусть момент останова - чётное) в методе (1.3) выбирается по правилу (3.1). Тогда

при .

Доказательство:

Поскольку нуль не является собственным значением оператора , то . Так как

то

Ранее, в главе 2 по индукции было показано, что

следовательно, для чётных

Значит,

(3.6)

Отсюда

(3.7)

В силу лемм 3.1 и 3.2 имеем

(3.8)

(3.9)

Кроме того, из (3.2) и (3.3)

(3.10)

(3.11)

Рассмотрим случай правила останова (3.1). Тогда

и из (3.7) и (3.11) получим при

Следовательно,

(3.12)

Для любых справедливы неравенства . Поэтому Итак, для любых

(3.13)

Из (3.9) и (3.13) получим при или (так как из (3.9) ), следовательно, .

Если при этом , то, используя (3.6), получим

так как из (3.8) вытекает

Если же для некоторых последовательность окажется ограниченной, то и в этом случае . Действительно, из (3.12) выполняется Следовательно, имеем и по лемме 3.3 получаем, что при . Отсюда

Теорема 3.1 доказана.

Теорема 3.2 Пусть выполняются условия теоремы 3.1 и пусть тогда справедливы оценки

(3.14)

Доказательство:

Из (3.5) при имеем

Воспользовавшись (3.13), получим

Откуда

При помощи неравенства моментов оценим

Тогда

Теорема 3.2 доказана.

Замечание 3.1 Порядок оценки (3.14) есть , и он оптимален в классе задач с истокопредставимыми решениями.

Замечание 3.2 Используемое в формулировке теоремы 3.2 предположение, что порядок истокопредставимости точного решения равен , не потребуется на практике, так как при останове по невязке автоматически делается число итераций, нужное для получения оптимального по порядку приближённого решения. Но даже если истокопредставимость точного решения отсутствует, останов по невязке (3.1), как показывает теорема 3.1, обеспечивает сходимость метода, т.е. его регуляризующие свойства.

Глава 4 МЕТОД ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙ С ПОПЕРЕМЕННО ЧЕРЕДУЮЩИМСЯ ШАГОМ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА

Рассмотрим в пространстве (0,1) модельную задачу в виде уравнения

, где

с симметричным положительным ядром .

В качестве точного решения сформулированной задачи выберем функцию

Сформулированная задача относится к обратным задачам теории потенциала. Будем решать эту задачу методом простой итерации с попеременно чередующимся шагом:

, n = 0,1,2,…

Возьмем =0.8, =4.4. Разбиваем отрезок на отрезков с

, где m=32, h=, , , .

Для получения приближённого значения внесём возмущения следующим образом:

, . Отсюда , т.е. .

Теперь считаем, что правые части известны и решаем уравнение методом простой итерации с попеременно чередующимся шагом, который в дискретной форме имеет вид:

Будем применять правило останова по соседним приближениям. Зададим уровень останова и момент останова определим условиями:

Причём будем считать равным , а расчёты проведём для и . На каждом шаге вычислялись:

? норма приближенного решения,

? дискретная норма разности между точным и приближенным решениями,

? дискретная норма разности между соседними приближениями.

Для достижения оптимальной точности при потребовалось 8 итераций, а при ? 18 итерации.

Использование правила останова по соседним приближениям позволило сделать метод простой итерации с попеременно чередующимся шагом эффективным и тогда, когда нет сведений об истокопредставимости точного решения.

Полученные результаты задаются в таблице, графики точного и приближенного решения при и приведены на рисунке.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе проведены теоретические исследования по изучению явного итерационного метода с попеременно чередующимся шагом решения некорректных задач. Основные результаты можно сформулировать следующим образом:

Изучен явный итерационный метод с попеременно чередующимся шагом для решения уравнений 1-города в гильбертовом пространстве;

Доказана сходимость метода при точной и приближённой правой
части уравнения в случае единственного решения;

Получены априорные оценки погрешности метода, которые оптимизированы;

Доказана сходимость метода в случае неединственного решения;

Изучен апостериорный выбор числа итераций в итерационном методе с попеременно чередующимся шагом решения некорректных задач.

Результаты исследования докладывались на конференции «Современные проблемы математического моделирования и новые образовательные технологии в математике» (Брест, 20-23 апреля 2009г.), на республиканской научно-практической конференции молодых ученых, аспирантов и студентов «Современные проблемы математического моделирования и новые образовательные технологии в математике» (Брест, 20-22 апреля 2010 г.). На основании докладов будут опубликованы статьи в сборниках материалов вышеназванных конференций.

Предложенным методом могут быть решены обратная задача теории потенциала, обратная задача гравиметрии, задача об изучении спектрального состава светового излучения (задача спектроскопии), задача синтеза оптических систем, задача создания систем автоматической обработки результатов физического эксперимента.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

Лисковец, О.А. Об одном итеративном методе решения уравнений 1-го рода / О.А.Лисковец, В.Ф.Савчук // В сб.: Вопросы прикладной математики. Иркутск. - 1975. - С. 159-166.

Вайникко, Г.М. Итерационные процедуры в некорректных задачах Г.М. Вайникко, А.Ю. Веретенников. - М. : Наука, 1986. - 178 с.

Константинова, Я. В. Оценки погрешности в методе итераций для уравнений 1 рода / Я. В. Константинова, О.А. Лисковец // Вестник БГУ им. В.И. Ленина. Сер. 1. - 1973. - № 1. - С. 9-15.

4. Емелин,И. В. К теории некорректных задач / И.В. Емелин, М.А. Крас-носельский // Докл. АН СССР. - 1979. - Т. 244, № 4. - С. 805-808.

5. Морозов, В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач / В.А. Морозов. - М. : Изд-во МГУ, 1974. - 320 с.

6. Иванов, В.К. Теория линейных некорректных задач и её приложения / В. К. Иванов, В.В. Васин, В.П. Танана. - М. : Наука, 1978. - 206 с.

7. Лисковец, О.А. Вариационные методы решения неустойчивых задач / О.А.Лисковец. - Минск : Наука и техника, 1981. - 342 с.

8. Лаврентьев, М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. / М.М.Лаврентьев. - Новосибирск : Изд-во CО АН СССР, 1962. - 92 с.

9. Тихонов, А.Н. Об устойчивости обратных задач / А.Н. Тихонов // Докл. АН СССР. - 1943. - Т. 39, № 5. - С. 195-198.

10. Тихонов,А.Н. Методы решения некорректных задач / А.Н. Тихонов, В. Я. Ар-сенин. - М. : Наука, 1979. - 288 с.

11. Емелин, И.В. Правило останова в итерационных процедурах решения некорректных задач / И. В. Емелин, М.А. Красносельский // Автоматика и телемеханика. - 1978. - № 12. - С. 59-63.

12. Савчук, В.Ф. Выбор момента останова в методе итераций решения некорректных задач / В.Ф. Савчук, О.В. Матысик // Вестник Брестского университета. - 1998. - № 2. - С. 9-16.

13. Hadamard, J. Le problem de Cauchy et les equations aux derivees partielles line aires hyperboliques / J. Hadamard. - Hermann. Paris, 1932.

14. Hadamard, J. Sur les problemes aux derivees partielies et leur signification physique / J. Hadamard // Bull. Univer. Princeton, 1902. - Vol. 13. - P. 49-52.

15. Тихонов, А.Н. О решении некорректных задач и методе регуляризации / А.Н. Тихонов // Докл. АН СССР. - 1963. - Т. 151, № 3. - С. 501-504.

16. Иванов, В.К. О некорректно поставленных задачах / В.К. Иванов // Мат. сб. - 1963. - Т. 61(103), № 2. - С. 211-223.

17. Phillips, D.L. A technique for the numerical solution of certain integral equations of the first kind / D.L. Phillips // J. Accoc. Comput. Mach, 1962. - Vol. 9, № 1. - P. 84-97.

18. Carleman, T. Les fonctions quasi analitiques / Т. Carleman. - Paris, 1926.

19. Голузин, Г.М. Обобщение формулы Карлемана и её приложение к аналитическому продолжению функций / Г.М. Голузин, В.И. Крылов // Мат. сб. - 1933. - № 40. - С. 144-149.

20. Андреев, Б.А. Расчёты пространственного распределения потенциальных полей и их использование в разведочной геофизике / Б.А. Андреев // Изв. АН СССР. Сер. геогр. и геофиз. наук. - 1947. - № 1. - С. 79-92.

21. Маловичко, А.К. Методы аналитического продолжения аномалий силы и их приложения к задачам гравиразведки / А.К. Маловичко. - М., 1956. - 160 с.

22. Антохин, Ю.Т. О некоторых некорректных задачах теории управления с частными производными / Ю.Т. Антохин // Диф. ур. - 1966. - Т. 2, № 2. - С. 241-250.

23. Страхов, В.Н. К вопросу о скорости сходимости в методе простой итера-ции / В.Н. Страхов // ЖВМ и МФ. - 1973. - Т. 13, № 6. - С. 1602-1606.

24. Страхов, В.Н. О решении некорректных задач магнито- и гравиметрии, представляемых интегральными уравнениями типа свёртки / В. Н. Страхов // Изв. АН СССР. Физика Земли. - 1967. - С. 36-54.

25. Константинова, Я.В. Градиентный метод с переменным шагом для уравнений 1 рода / Я.В. Константинова, О.А. Лисковец // Известия АН БССР. Сер. физ.-мат. наук. - 1974. - № 2. - С. 45-49.

26. Лисковец, О.А. Метод простых итераций с попеременно чередующимся шагом для уравнений 1 рода / О.А. Лисковец, В.Ф. Савчук // Докл. АН БССР. - 1977. - Т.21, № 1.- С. 9-12.

27. Савчук, В.Ф. Некоторые итеративные методы решения уравнений 1-го рода / В.Ф. Савчук // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук. - 1976. - № 5. - С. 23-27.

28.Савчук, В.Ф. Сходимость одного метода решений линейных уравнений в гильбертовом пространстве / В.Ф. Савчук // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук. - 1981. - № 4. - С. 53-58.

29. Лисковец, О.А. Правила останова итераций в неявных итеративных методах для уравнений 1 рода / О.А. Лисковец, В.Ф. Савчук // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук. - 1991. - № 2. - С. 9-12.

30. Матысик, О.В. О регуляризации операторных уравнений в гильбертовом пространстве / О.В. Матысик // Докл. НАН Беларуси. - 2005. - Т. 49, № 3. - С. 38-43.

31. Канторович, Л. В. Функциональный анализ в нормированных пространствах/ Л.В. Канторович, Г.П. Акилов. - М. Физматгиз, 1959. - 684 с.