Метод підсумовування Бернштейна–Рогозинського

/

КУРСОВА РОБОТА

Метод підсумовування Бернштейна - Рогозинського

РЕФЕРАТ

Курсова робота: 3 розділи, 35 стор., 10 джерел

У курсовій роботі розглянуте використання методів Бернштейна - Ро-гозинського для підсумовування рядів Фур'є й інтеграла Фур'є в історичному викладі робіт С.Б.Стечкина (1951) і И.П. Натансона (1939).

Проаналізований метод підсумовування рядів Фур'є за Бернштейном -Рогозиньским є конкуруючим з методами підсумовування рядів Фур'є:

- Метод середніх арифметичних сум (метод Чезаро - Фейера);

- Метод Абеля- Пуассона;

та представляє методологічний інтерес в подальших пошуках у другій поло-вині 20- сторіччя методів найкращого наближення функцій при підсумовуванні рядів Фур'є до впровадження комп'ютерних алгоритмів чисельного рішення задач підсумовування.

Ключові слова: РЯДИ ФУР'Є, СУМА РЯДУ, МЕТОД БЕРНШТЕЙНА - ЛОЗИНСЬКОГО, МЕТОД ЧЕЗАРЕ-ФЕЙЕРА, МЕТОД АБЕЛЯ-ПУАССОНА

ЗМІСТ

ВСТУП

1. СУТНІСТЬ ТА ЗАСТОСУВАННЯ РЯДІВ ТА ІНТЕГРАЛІВ ФУР'Є

1.1 Основні відомості

1.2 Тригонометричний ряд. Ряд Фур'є

1.3 Ряди Фур'є для парних і непарних функцій

1.4 Інтеграл Фур'є

1.5 Інтеграл Фур'є для парної й непарної функції

1.6 Приклад розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є

2. ПІДСУМОВУВАННЯ РЯДІВ ФУР'Є ЗА ДОМОМОГОЮ МЕТОДІВ БЕРНШТЕЙНА-РОГОЗИНСЬКОГО (по С.Б.Стечкіну. 1951)

2.1 Загальна постановка задачі

2.2 Визначення методів Бернштейна - Рогозинського (БР, )

2.3 Регулярність методів (БР, )

2.4 Підсумовуємість ( БР, ) і збіжність

2.5. Підсумовуємість (БР, ) і підсумовуємість (С, 1)

2.6 Застосування методів (БР, ) до рядів Фур'є

2.7 Наближення функцій за допомогою сум Бернштейна-Рогозинського

3. ПІДСУМОВУВАННЯ ІНТЕГРАЛІВ ФУР'Є З ЗАСТОСУВАННЯМ МЕТОДІВ БЕРНШТЕЙНА-РОГОЗИНСЬКОГО (по І.П.Натансону,1939)....30

ВИСНОВКИ

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

ВСТУП

Метод підсумовування Бернштейна-Рогозинського - це один з методів підсумовування рядів Фур'є Математическая энциклопедия. -- М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977--1985. , який позначається як - .

Тригонометричний ряд

підсумовується методом Бернштейна- Рогозинського в точці х 0 до значення S, якщо виконується умова

де - числова послідовність,

а - часткові суми ряду (*).

В. Рогозинский Rogosinski W., 'Math. Ann.', 1925, Bd 95, № 1, S. 110-34; спочатку розглянув (1924) випадок . ( р - непарне число), потім (1925) загальний випадок. С. Н. Бернштейн Бернштейн С. Н., Собр. соч., т. 1, М., 1952, с. 523-25; розглядав (1930) випадок . - це метод підсумовування ряду Фур'є функції у випадках і у крапках безперервності функції до її значення і є регулярним методом підсумовування. Суми Бернштейна - Рогозинського застосовуються як апарат наближення Стечкин С. Б., Методы суммирования С. Н. Бернштейна и В. Рогозинского, в кн.: Г. Хар-ди, Расходящиеся ряды, пер. с англ., М., 1951. .

У курсовій роботі розглянуте використання методів Бернштейна - Рогозинського для підсумовування рядів Фур'є й інтеграла Фур'є в історичному викладі робіт С.Б.Стечкина (1951) і И.П. Натансона (1939).

1. СУТНІСТЬ ТА ЗАСТОСУВАННЯ РЯДІВ ТА ІНТЕГРАЛІВ ФУР'Є

1.1 Основні відомості

Функція f(x), визначена на всій числовій осі, називається періодичною, якщо існує таке число , що при будь-якому значенні х виконується рівність . Число Т називається періодом функції.

Відзначимо деякі властивості цієї функції [10]:

1) Сума, різниця, добуток і частка періодичних функцій періоду Т є періодична функція періоду Т.

2) Якщо функція f(x) має період Т , то функція f(ax) має період .

3) Якщо f(x)- періодична функція періоду Т , то рівні будь-які два інтеграли від цієї функції, узяті по інтервалах довжини Т (при цьому інтег-рал існує), тобто при будь-яких a і b справедлива рівність.

1.2 Тригонометричний ряд. Ряд Фур'є

Якщо f(x) розкладається на відрізку у рівномірно збіжний тригонометричний ряд [2]:

(1.1)

то це розкладання єдине й коефіцієнти визначаються по формулах:

, де n=1,2, . . .

Тригонометричний ряд (1.1) розглянутого виду з коефіцієнтами назива-ється тригонометричним рядом Фур'є, а коефіцієнтами ряду Фур'є.

1.3 Ряди Фур'є для парних і непарних функцій

Нехай f(x) - парна функція з періодом 2L , що задовольняє умові f(-x) = f(x) .

Тоді для коефіцієнтів її ряду Фур'є знаходимо формули [2]:

=

=

= 0 , где n=1,2, . . .

Таким чином, у ряді Фур'є для парної функції відсутні члени із синусами, і ряд Фур'є для парної функції з періодом 2L виглядає так:

Нехай тепер f(x) - непарна функція з періодом 2L, що задоволь-няє умові f(-x) = - f(x).

Тоді для коефіцієнтів її ряду Фур'є знаходимо формули:

, де n=1,2, . . .

Таким чином, у ряді Фур'є для непарної функції відсутній вільний член і члени з косинусами, і ряд Фур'є для непарної функції з періодом 2L виглядає так:

Якщо функція f(x) розкладається в тригонометричний ряд Фур'є на проміжку то

де ,

,

,

Якщо f(x) розкладається в тригонометричний ряд Фур'є на [0,L], то довизначивши задану функцію f(x) відповідним чином на [-L,0] і далі періо-дично продовживши на (T=2L), одержимо нову функцію, що розкладаємо в тригонометричний ряд Фур'є.

Для розкладання в ряд Фур'є неперіодичної функції, заданої на кінце-вому довільному інтервалі [a,b], треба : довизначити на [b,a+2L] і періодично продовжити, або довизначити на [ b-2L,a] і періодично продовжити.

1.4 Інтеграл Фур'є

Достатні умови перетворення функції в інтеграл Фур'є.

Для того, щоб f(x) була представлена інтегралом Фур'є у всіх крапках безперервності й правильних крапок розриву, досить [2]:

1) абсолютної интегрируемости на

(тобто інтеграл сходиться)

2) на будь-якому кінцевому відрізку [-L, L] функція була б кусочно-гладкою

3) у крапках розриву функції, її інтеграл Фур'є визначається напівсумою лівої й правої меж у цих крапках, а в крапках безперервності до самої функції f(x)

Інтегралом Фур'є функції f(x) називається інтеграл виду:

де ,

. (1.2)

1.5 Інтеграл Фур'є для парної й непарної функції

Нехай f(x)-парна функція, що задовольняє умовам пперетворення в інтеграл Фур'є.

З огляду на, що , а також властивість інтегралів по симетричному щодо крапки x=0 інтервалу від парних функцій, з рівності (1.2) одержуємо:

(1.3)

Таким чином, інтеграл Фур'є парної функції f(x) запишеться так:

,

де a(u) визначається рівністю (1.3).

Міркуючи аналогічно, одержимо, для непарної функції f(x) :

(1.4)

і, отже, інтеграл Фур'є непарної функції має вигляд:

,

де b(u) визначається рівністю (1.4).

1.6 Приклад розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є

Вихідні дані :

(Рис. 1.1)

Функція періодична з періодом .( f(x+T)=f(x) ) Функція має на проміжку кінцеве число крапок розриву першого роду.

Сума ряду в крапках функції сходиться до значення самої функції, а в крапках розриву до величини , де -крапки розриву.

Рис. 1.1. Вихідна періодична функція [4]

Похідна також безперервна скрізь, крім кінцевого числа крапок розриву першого роду. Висновок: функція задовольняє умові розкладання в ряд Фур'є.

1) F(x) - кусочно-безперервна на інтервалі .

2) F(x) - кусочно-монотонна.

Тому що відсутня симетрія відносно OY, а також центральна симетрія - то розглянута функція довільна.

Представлення функції рядом Фур'є.

З розкладання бачимо, що при n непарному приймає значення рівні 0 , і додатково треба розглянути випадок коли n=1.

Тому формулу для можна записати у вигляді:

( тому що ).

Окремо розглянемо випадок коли n=1:

Підставимо знайдені коефіцієнти в одержимо:

і взагалі

.

Знайдемо перші п'ять гармонік для знайденого ряду:

1-а гармоніка ,

2-а гармоніка ,

3-а гармоніка ,

4-а гармоніка ,

5-а гармоніка ,

і загальний графік F(x), сума вище перерахованих гармоник. і самі гармоніки.

Рис.1.2. Представлення вихідної періодичної функції у вигляді суми гармонік ряду Фур'є [4]

2. ПІДСУМОВУВАННЯ РЯДІВ ФУР'Є ЗА ДОМОМОГОЮ МЕТОДІВ БЕРНШТЕЙНА-РОГОЗИНСЬКОГО (по С.Б.Стечкіну. 1951)

2.1 Загальна постановка задачі

Нехай - підсумовуєма функція з періодом і

- її ряд Фур'є.

Покладемо

так що являють собою часткові суми ряду Фур'є .

Розглянемо найпростіші лінійні комбінації сум з тим самим номером і з різними аргументами. Саме, задамо послідовність позитивних і прагнучих до нуля чисел і покладемо

. (2.1.1)

Це визначення дає нам метод підсумовування Фур'є, який будемо називати методом Бернштейна-Рогозинського [8]. Властивості такого методу підсумовування цілком залежать від вибору визначальний його послідовник-ности . Виявляється, що при належному виборі чисел :

а) послідовність сходиться при майже всюди до для кожної (іншими словами, аналізуємий метод - ефективний [ , c.443]);

б) послідовність рівномірно сходиться до , якщо ця функція безперервна.

В. Рогозинский у 1920 р. вивчав спочатку методи (1.1) для випадку

, (2.1.2)

де - ціле непарне число. Потім у 1925 р. він узагальнив деякі свої результати на методи (2.1.1), для яких

. (2.1.3)

де функціонал визначається як [ ]:

1) вираження означає

2) вираження означає

У загальному випадку, O(an), an>0 означає величину, відношення якої до an залишається обмеженим або прагне до нуля (при ).

С.Н. Бернштейн у 1930 р. розглянув випадок

, (2.1.4)

а також загальний випадок (1.3).

2.2 Визначення методів Бернштейна - Рогозинського (БР, )

Розглянемо визначення методів Бернштейна-Рогозинського (позначення як методи (БР, )). Маємо

. (2.2.1)

Ця формула дозволяє перенести дане вище визначення методів підсумовування Бернштейна-Рогозинського на довільні числові ряди.

Будемо говорити, що ряд підсумовується методом Бернштейна-Рогозинського до значення , якщо послідовність

(2.2.2)

при сходиться й має межею .

При виконанні цих умов будемо писати

( БР, ). (2.2.3)

Методи (БР, ) належать до загального класу методів підсумову-вання, обумовлених формулою

, (2.2.4)

де - задана функція.

У тих випадках , де це представляється можливим, ми будемо доводити теореми для загальних перетворень виду (2.2.4) і одержувати звідси результа-ти методів (БР, ) як наслідок.

2.3 Регулярність методів (БР, )

Розглянемо регулярність методів Бернштейна-Рогозинського. Насам-перед виникає питання, при яких обмеженнях на послідовність відпо-відний метод ( БР, ) регулярний. Ми почнемо з розгляду цього питання для загальних перетворень виду (2.2.4).

Теорема 1. Нехай функція визначена для всіх і задовільняє умові Липшица

. (2.3.1)

Якщо ряд сходиться й має суму , то

(2.3.2)

і визначається формулою (2.4), тобто

. (2.3.3)

Тут і надалі ми будемо позначати через часткові суми ряду :

Покладемо для

. (2.3.4)

Застосовуючи до (2.2.4) перетворення Абеля, одержуємо

(2.3.5)

У силу (3.1) і (3.2)

(2.3.6)

рівномірно для . Звідси

. (2.3.7)

Крім того, очевидно

. (2.3.8)

Співвідношення (2.3.6), (2.3.7) і (2.3.8) показують, що виконуються всі умови розглянутої теореми 1 з і , звідки й витікає (2.3.3).

Отже, при виконанні умов (2.3.1), (2.3.2) і

(2.3.9)

перетворення (2.2.4) визначає регулярний метод підсумовування.

Для методів ( БР, ) можна одержати більше повний результат.

Теорема 2. Для того, щоб метод ( БР, ) був регулярним, необхідно й досить, щоб мали вигляд

(2.3.10)

де - цілі числа і .

Доведення. Достатність цих умов відразу випливає з теореми 1, тому що

і функція задовольняє умовам (2.3.1) і (2.3.9).

Необхідність. Запишемо у формі, аналогічній (2.3.5):

.

У силу теореми 2 для регулярності методу необхідно насамперед, щоб при , тобто

.

Звідси випливає, що числа мають вигляд (3.10) і при .

Далі,

, (2.3.11)

.

Цей вираз являє собою інтегральну суму Римана для функції на інтервалі Тому при

.

Звідси видно, що якщо те суми (2.3.11) не обмежені в сукупності , і метод ( БР, ) не регулярний. Теорема доведена.

Таким чином, у силу періодичності й парності функції предствавляють інтерес лише ті методи Бернштейна-Рогозинського, для яких

и ().

Надалі ми завжди припускаємо ці умови виконаними.

2.4 Підсумовуємість ( БР, ) і збіжність

При яких обмеженнях на послідовність метод Бернштейна-Рогозинського еквівалентний збіжності (тобто підсумують ті й тільки ті ряди, які сходяться)? Часткова відповідь на це питання дає наступна теорема.

Теорема 3. Нехай

, (2.4.1)

де . Тоді метод ( БР, ) еквівалентний збіжності.

Встановимо попередньо наступну загальну пропозицію.

Теорема 4. Нехай трикутна матриця

визначає регулярний метод підсумовування :

,

для якого виконуються умови

(2.4.2)

та

(2.4.3)

для всіх досить великих , де .

Тоді метод еквівалентний збіжності.

Доведення. У силу (4.2) досить показати, що із витікає . Ми розіб'ємо доведення на два етапи:

1) доведення обмеженості чисел і

2) доведення співвідношення .

Покладемо . Тоді в силу умови

(2.4.4)

для всіх досить великих .

Маємо

звідки

. (2.4.5)

Тому для всіх номерів , для яких одночасно виконуються умови (2.4.3) і (2.4.4) , і, зокрема, для всіх досить великих .

.

Звідси для

тобто послідовність обмежена .

1) Покладемо

і зафіксуємо номер . Тоді в силу (4.5) для всіх досить великих

,

тому що в силу регулярності методу , якщо і фіксовано, і . Отже,

для , звідки витікає, що , тобто .

Теорема доведена.

Теорема 3 є частковим випадком тільки що установленої пропозиції. Справді, має потребу в перевірці лише умови (4.3). Але якщо ,те

та

.

Тому

і, отже, умова (4.3) виконана.

Як показує більш докладний розгляд, теорема 3 справедлива для всіх і вже несправедлива для .

2.5 Підсумовуємість (БР, ) і підсумовуємість (С, 1)

Розглянемо підсумовуємість Бернштейна-Рогозинського (БР,) і підсумовуємість (С,1), де символом (С,k) позначається сукупність методів підсумовування числових і функціональних рядів, уведених Е. Чезаро [] **).

*************************************************************)

Ряд

с частковими сумами Sn підсумуємо методом Чезаро порядку k,

( С, k )-підсумуємо до суми S, якщо

де і визначаються як коефіцієнти розкладань

Вирази для і можна представити у вигляді

Метод ( С, k )є матричним методом підсумовування з матрицею

При k = Q метод збігається зі звичайною збіжністю, при k=1 є методом середніх арифметичних С(1).

Чезарівські середні (середні по Чезаро) послідовності {an} -- це середні арифметичні перших n членів {an}:

Позначення межі среднеарифметических сум ряду (С,1) було вперше використане Д.Бернуллі в 1771 р.

***********************************************************)

Досліджуємо залежності між методами Бернштейна-Рогозинского (БР,) і підсумовуванням за методом (С,1).

Теорема 5. Нехай функція визначена для всіх і має похідну , що задовольняє умові Липщица.

Якщо

(С,1) (2.5.1)

(2.5.2)

та

, (2.5.3)

Де визначається за допомогою (2.4), то

(2.5.4)

На додаток до позначення (3.4) покладемо

За допомогою теореми про середнє значення безпосередньо переконуємося, що

і (2.5.5)

рівномірно для .

Двічі застосовуючи перетворення Абеля, одержуємо

(2.5.6)

де середні арифметичні приватних сум ряду .

Покладемо в цій формулі для . Тоді и , і ( 2.5.6) приймає вигляд

(2.5.7)

З (2.5.6) і (2.5.7)

Перевіримо, що для цього перетворення виконані всі умови теореми 4. У силу (2.5.5) досить установити, що

І дійсно, згідно (2.5.5)

Таким чином, і теорема доведена.

Теорема 6 . Нехай виконані всі умови теореми 5 , і крім того ,

или

де при

Тоді .

Досить помітити, що при виконанні умов цієї теореми

.

Отже, якщо виконуються умови теорем 5 і 6, то метод (2.4) не слабкі-ше методу (С,1).

Для всякого ряду , підсумовуємого методом (С,1), виконується співвідношення . Тому, зокрема, справедлива

Теорема 7 . Нехай виконані всі умови теореми 5 і крім того,

(2.5.8)

Тоді , тобто (2.2.4) не слабкіше методу (З,1).

Для методів Бернштейна-Рогозинського (БР,) можна одержати більше повний результат. Саме, має місце наступна

Теорема 8.Для того щоб метод Бернштейна-Рогозинського(БР,), де був не слабкіше методу (2.З,1) , необхідно й досить, щоб мали вигляд

(2.5.9)

де -цілі непарні числа й

Необхідність. Якщо метод Бернштейна-Рогозинського (БР,) не слабкіше методу (З,1), то він, відповідно, регулярний, звідки в силу теореми 2 і умови треба, щоб

Покажемо тепер, що якщо метод Бернштейна-Рогозинского не слабкіше методу (2.З,1) то

(2.5.10)

Помітимо, що оцінку для всього класу рядів, підсумовуємих методом (С,1), не можна поліпшити. Іншими словами, яка б не була дана послідовність , для якої , найдеться ряд , підсумовуємий за методом (С,1) і такий, що

(2.5.11)

Допустимо, що умова (5.10) не виконується, покладемо . Тоді, згідно тільки що зробленому зауваженню, найдеться ряд , який підсумовується методом (С,1) , для якого виконується співвідношення (5.11).

Покажемо, що цей ряд не підсумується методом(БР,). Дійсно, відповідно до теореми 5,

Тут -(З,1)- сума ряду . Але в силу (2.5.11)

,

звідки й випливає, що аналізуємий ряд не підсумується методом (БР,). Отже, умова (5.10) необхідна.

Залишається тільки помітити, що з необхідності умов і (2.5.10) негайно витікає необхідність всіх умов теореми. Саме, (2.5.10) показує , що мають вигляд

де -цілі непарні числа , а умова тягне .

Достатність умов очевидна в силу теореми 7, і наша теорема повністю доведена.

Можна також указати умови, при яких метод (БP, ) не сильніше методу (С,1). Ми обмежимося доказом найпростішої теореми такого роду.

Теорема 9. Метод (БР, ) еквівалентний методу (С,1)

У силу попередньої теореми достатньо встановити, що підсумовуємість (БР, ) тягне підсумовуємість (С,1). Для цього запишемо згідно (5.6) у формі

де тепер

і

Переконаємося, що для цього перетворення виконуються умови теоре-ми 4. Має потребу в перевірці лише умова (4.3). Маємо згідно (5.7)

Звідси, тому що ,

Таким чином,

Отже, застосовна теорема 4, що показує , що ,

Тобто , а це й потрібно було довести.

Цікаво відзначити, що найменша зміна послідовності порушує еквівалентність методів (БР, ) і (С,1).

Наприклад справедлива така

Теорема 10. Метод (БР, ) сильніше методу (З,1).

Для доведення досить побудувати ряд, підсумовуємий (БР, ) і не підсумовуємий методом (С,1). Як показує нескладний підрахунок, як такий ряд може служити .

2.6 Застосування методів (БР, ) до рядів Фур'є

Встановлені вище пропозиції дозволяють досліджувати ряд питань про підсумовування рядів Фур'є методами (БР, ). Ми почнемо із установ-лення достатніх умов - ефективності цих методів

Теорема 11. Якщо

(2.6.1)

де - цілі непарні числа и , то метод (БР, ) - ефектив-ний.

Як відомо, для будь-якої підсумовуємої функції майже всюди

(2.6.2)

Далі, тому що в силу теореми 6 для всіх , для яких виконується умова (6.2) , метод (БР, ), що задовольняє умовам теореми, не слабкіше методу (С,1) і метод (С,1) - ефективний, то умови теореми достатні для - ефективності.

Переходимо до вивчення підсумовування методом (БР, ) рядів Фур'є від неперервних функцій. Введемо наступне визначення. Будемо говорити, що деякий метод підсумовування перманентний, якщо він кінцевострочний і перетворені суми ряду Фур'є рівномірно сходяться до

для будь-якої безперервної функції . Варто відзначити, що поняття регулярності методу не збігається з поняттям перманентності. Метод підсумовування може бути регулярним, але не перманентним, і навпаки.

Теорема 12. При виконанні всіх умов теореми 10 метод (БР, ) перманентний.

Це випливає з того , що для безперервної функції умова (6.2) виконується рівномірно відносно й що для такої функції її ряд Фур'є рівномірно підсумуємо (З,1). Справді, як неважко перевірити , якщо для ряду всі умови теореми 6 виконуються рівномірно відносно , те цей ряд рівномірно підсумується (БР,. )

Можна показати , що умови теореми й необхідні для перманентності методу (БР,).

2.7 Наближення функцій за допомогою сум Бернштейна-Рогозинського

Розглянемо питання про залежність між найкращими наближеннями безперервних функцій за допомогою тригонометричних поліномів і їхніх наближень за допомогою сум Бернштейна-Рогозинського.

Через будемо позначати найкраще наближення неперервної періодичної функції за допомогою тригонометричних поліномів порядку , а через - відхилення цієї функції від її суми Бернштейна-Рогозинського. Іншими словами, ми думаємо

та

Крім того, як звичайно , є модуль глакости функції , тобто

де - друга кінцева різниця функції із кроком .

Теорема 13. Нехай числа мають вигляд

, (2.7.1)

де - цілі непарні числа и .

Тоді (2.7.2)

Насамперед помітимо, що при виконанні умов теореми метод(БР,) перманентний ( теорема 11). Звідси випливає, що

(2.7.3)

Щоб підкреслити залежність полінома від функції , ми будемо далі писати .Очевидно,

(2.7.4)

Нехай тригонометричний поліном найменш ухиляється від функції серед всіх поліномів порядку

(2.7.5)

Маємо, використовуючи (7.4),

Але відповідно до визначення сум

крім того, згідно (7.3) і (7.4)

Звідси

і теорема доведена.

Ця теорема показує, що суми Бернштейна-Рогозинського добре апрок-симують безперервні функції. Зокрема, тому що

(2.7.6)

і при виконанні умови теореми 13

(2.7.7)

тоді

періодичний функція фур'є бернштейн

3. ПІДСУМОВУВАННЯ ІНТЕГРАЛІВ ФУР'Є З ЗАСТОСУВАННЯМ МЕТОДІВ БЕРНШТЕЙНА-РОГОЗИНСЬКОГО (по І.П.Натансону,1939)

Проблема підсумовування інтегралів Фур'є подібна із проблемою підсумовування рядів Фур'є. Постановка її така: Нехай є функція класу ; покладемо

, (3.1)

Запитується: як знаючи функція (3.1), відновити вихідну функцію ?

Як відомо, ця задача вирішується методом, аналогічним методу Чезаро-Фейера [2].

У роботі І.П.Натансона [6] запропоноване нове рішення проблеми. Саме він показав, що метод С.Н. Бернштейна-В.Рогозинського також може бути перенесений з теорії рядів у теорію інтегралів Фур'є.

Покладемо

(3.2)

(3.3)

У теоремі 3.1 доводиться, що зі зростанням майже скрізь прагне до , причому це прагнення свідомо має місце в кожній крапці безперервності функції (якщо такі існують) і що воно рівномірно в кожному сегменті безперервності .

У теоремі 3.2 і подальших викладках даються оцінки різниці

Теорема 3.1. У кожній крапці , у котрій

(3.4)

буде (3.5)

Доведення. У силу (3.1) і (3.2)

звідки

і стало бути,

(3.6)

Для дослідження функції (3.6) можна було б застосувати деякі загальні теореми про сингулярні інтеграли, але прямий метод простіше. Ми маємо

(3.7)

Тепер потрібно, опираючись на (3.4), показати, що права частина (3.7) нескінченно мало разом з . Розіб'ємо інтервал на частини й і розглянемо інтеграл по інтервалу ; інтеграл по інтервалу оцінюється майже таким же способом. Інтеграл, що цікавить нас, має вигляд

(3.8)

взявши довільне , підберемо настільки мале , що при буде

(3.9)

Вважаючи , представимо у формі суми інтегралів

(3.10)

У проміжку

,

звідки

(3.11)

У проміжку

,

звідки

(3.12)

Для оцінки інтеграла , інтегруючи вроздріб, знайдемо

і, отже,

Але , і стало бути

(3.13)

Нарешті,

і тим більше

(3.14)

З (3.11),(3.12),(3.13) і 3.(14) треба, щоб при

(3.15)

і при виявляється

Теорема доведена.

Зауваження 1. Умова (3.4), мабуть, виконана, якщо функція безперервна в крапці . Більше того, якщо безперервна в сегменті , то, як показує оцінка (3.15), прагнення (3.5) рівномірно в сегменті .

Зауваження 2. Тому що співвідношення (3.4) має місце майже скрізь, то з нашої теореми витікає відомий результат: якщо щодо функції з відомо, що

то еквівалентна нулю.

Зауваження 3. Якщо функцію із самого початку визначити формулою (3.6), то легко побачити, що для справедливості теореми досить, щоб до належала функція

Теорема 3.2. Якщо й крім того

то для всіх буде

(3.16)

Доведення.

З нерівності (3.7) треба , щоб

Покладаючи

що й доводить теорему.

Щоб розглянути випадок , нам знадобиться наступна майже очевидна і ймовірно відома

Лема. Якщо й крім того

То (3.17)

і зокрема

Доведення. Нехай (3.17) не має місця. Тоді існує число й прагнуча до нескінченності послідовність крапок таких що

Не обмежуючи спільності, можна вважати , що

При , що перебуває в сегменті , буде

звідки

так що

що суперечить умові.

Теорема 3.3. В умовах леми при всіх буде

(3.18)

Доведення. У силу (3.7)

Представимо останній інтеграл у формі

У силу леми

Аналогічно

Нарешті,

або

Зіставляючи оцінки для й одержимо (3.18).

Якщо покласти

то у всіх доведених вище теоремах можна замінити на . У цьому випадку теорема 3.3 не буде допускати поліпшення. Справді, якщо й у деякій крапці функція , будучи неперервна, має різні правосторонню й лівосторонню похідні, то

Стосовно такого результату встановити не можна. Дійсно має місце

Теорема 3.4. Якщо функція в крапці має праву й ліву похідну, то в цій крапці.

(3.19)

Доведення.У силу (3.6) маємо

Зупинимося для конкретності на інтегралі

Очевидно

де прагне до нудю разом з .

Взявши , знайдемо таке , що при буде.

У такому випадку

У силу співвідношення (3.14)

або

При великих виявляється

.

Теорема 3.4, таким чином, доведена.

ВИСНОВКИ

Проаналізований метод підсумовування рядів Фур'є за Бернштейном -Рогозиньским є конкуруючим з методами підсумовування рядів Фур'є:

- Метод середніх арифметичних сум (метод Чезаро - Фейера);

- Метод Абеля- Пуассона;

та представляє методологічний інтерес в подальших пошуках у другій половині 20- сторіччя методів найкращого наближення функцій при підсумо-вуванні рядів Фур'є в роботах:

- С т е ч к и н С. Б., О приближении периодических функций суммами Фейера, Тр. Матем. ин-та АН СССР, 62 (1961), 48--60.

- Т и м а н М. Ф., Наилучшее приближение функции и линейные методы суммирования рядов Фурье, Изв. АН СССР. Сер.матем., 29 (1965), 587--604.

- Бари Н.К. Тригонометрические ряды - М.: Изд-во Физмат.лит-ры, 1961.

- Эдвардс Р. Ряды Фурье в современном изложении: в 2-х т. Т.1. Пер.с англ. - М.: Изд-во «Мир», 1985

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1. Аксёнов А.П. Математический анализ. (Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Суммирoвание расходящихся рядов.) Учебное пособие. СПб.: Изд-во «НЕСТОР», 1999, 86 с.

2. Бари Н.К. Тригонометрические ряды - М.: Изд-во Физмат.лит-ры, 1961 - 682 с.

3. Залгаллер С.И. К суммированию рядов Фурье по методу Бернштейна-Лозинского // Известия высших учебныз заведений, № 5(12), 1959

4. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 с.

5. Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике - М. : Физматлит, 1973 - 640 с.

6. Натансон И.П. Об одном способе суммирования интегралов Фурье - Труды Лен. Индустр. института, физ-мат., №4, вып.2,стр. 39-44,1937

7. Стечкин С. Б., Методы суммирования С. Н. Бернштейна и В. Рогозинского, в кн.: Г. Харди, Расходящиеся ряды, пер. с англ., М., 1951.

8. Харди Г. Расходящиеся ряды - М.: Изд-во Иностранная литература, 1951 - 603 с.

9. Чезаре Э. Элементарный учебник алгебраического анализа и исчисления бесконечно малых, ч. I-II - Одеса, Изд-во «Матезис», 1913 - 2 изд. - Ленинград, ОНТИ, 1936.

10. Эдвардс Р. Ряды Фурье в современном изложении: в 2-х т. Т.1. Пер.с англ. - М.: Изд-во «Мир», 1985 - 264 с.