Интерполяционная формула Гаусса

/

Бишкек 2014

Кыргызский Национальный Университет ИМ. Ж. Баласагына

CPC

на тему: Интерполяционная формула Гаусса

Выполнил: ст.гр. “ПМиИбк-14”

Туляев Т.T.

Преподаватель кафедры “МИиК”

Назарбаев Ф.Т.

Введение

Иоганн Карл Фридрих Гаусс (30 апреля 1777, Брауншвейг -- 23 февраля 1855, Гёттинген) немецкий математик, механик, физик, астроном и геодезист. Считается одним из величайших математиков всех времён, «королём математиков»[3]. Лауреат медали Копли (1838), иностранный член Шведской (1821) и Российской (1824) Академий наук, английского Королевского общества.

Интерполяционные формулы, формулы, дающие приближённое выражение функции при помощи интерполяции, то есть через интерполяционный многочлен степени , значения которого в заданных точках совпадают со значениями функции в этих точках. Многочлен определяется единственным образом, но в зависимости от задачи его удобно записывать различными по виду формулами.

Первая и вторая интерполяционные формулы Гаусса

интерполяционный формула гаусс

Основным недостатком интерполяционных формул Ньютона является то, что они используют лишь односторонние значения функции. На практике часто оказывается полезным использовать формулы, в которых присутствуют как последующие, так и предыдущие значения функции по отношению к ее начальному значению .

Рассмотрим равноотстоящих узлов , в которых заданы значения некоторой функции Требуется найти полином степени не выше , такой, чтобы выполнялось условие

(1)

Будем искать полином в виде

(2)

Поступая по аналогии с выводом первой интерполяционной формулы Ньютона, для коэффициентов получим следующие выражения

(3)

Введем новую переменную и, подставляя преобразованные выражения для коэффициентов (3) в соотношение (2), получим первую интерполяционную формулу Гаусса (для интерполирования вперёд)

(4)

Разности используемые в этой формуле, образуют нижнюю ломаную линию в диагональной таблице разностей 1 (см. далее)

Если полином искать в виде

то аналогично (4) можно получить вторую интерполяционную формулу Гаусса (для интерполирования назад)

(5)

Разности , используемые в этой формуле, образуют верхнюю ломаную линию в диагональной таблице разностей 1

Формулы Гаусса применяются для интерполирования в середине таблицы вблизи . При этом первая формула Гаусса (4) применяется при , а вторая (5) - при

Таблица 1

Диагональная таблица разностей

Заключение

Преимущество интерполяционной формулы Гаусса состоит в том, что указанный выбор узлов интерполяции обеспечивает наилучшую оценку остаточного члена по сравнению с любым другим выбором, а упорядоченность узлов по мере их близости к точке интерполяции уменьшает вычислительную погрешность интерполирования.

Список использованных источников

1. https://ru.wikipedia.org/wiki/Интерполяционная_формула_Гаусса

2. http://virtet.gsu.by/mod/resource/view.php?id=190

3. http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/940993

4. https://ru.wikipedia.org/wiki/Гаусс,_Карл_Фридрих

Приложение 1

(0.645)=2.03345+0.19501*((0.645-0.62)/0.05) -

-(-0.06374*((0.645-0.62)/0.05) *((((0.645-0.62)/0.05)-1)/2) =

=2, 1389225

Приложение 2

(0,673)= 1,74926+(-1,12828)*(( 0,673-0.65)/0,07)-

-(-1,01551*((0,673-0.65)/0,07)*(((( 0,673-0.65)/0,07)-1)/2)=1,712954