Общая теория статистики (Контрольная)
Работа из раздела: «
Экономико-математическое моделирование»
Задание 1.
С целью выявления зависимости между экономическими показателями
провести группировку 50 ремонтных предприятий железнодорожного транспорта
(см. Таб. 1) с равными интервалами, выделив 5 групп.
Исходные данные:
Таб. 1
| |Группировоч-н|Результатив-| | |Группировоч-н|Результатив-|
|№ |ый признак |ный признак | |№ |ый признак |ный признак |
| |число вагонов|чистая | | |число вагонов|чистая |
| |находящихся в|прибыль | | |находящихся в|прибыль |
| |ремонте, |предприятия,| | |ремонте, |предприятия,|
| |шт/сут |млн.руб. | | |шт/сут |млн.руб. |
|51 |8 |130 | |76 |10 |134 |
|52 |11 |148 | |77 |6 |136 |
|53 |36 |155 | |78 |7 |133 |
|54 |2 |124 | |79 |1 |127 |
|55 |2 |125 | |80 |7 |128 |
|56 |29 |135 | |81 |1 |118 |
|57 |14 |126 | |82 |5 |124 |
|58 |14 |136 | |83 |15 |137 |
|59 |8 |124 | |84 |6 |110 |
|60 |8 |128 | |85 |17 |139 |
|61 |5 |110 | |86 |8 |148 |
|62 |8 |150 | |87 |1 |123 |
|63 |1 |110 | |88 |10 |138 |
|64 |6 |122 | |89 |21 |189 |
|65 |18 |140 | |90 |11 |139 |
|66 |4 |110 | |91 |2 |122 |
|67 |9 |139 | |92 |2 |124 |
|68 |2 |121 | |93 |1 |113 |
|69 |1 |111 | |94 |8 |117 |
|70 |5 |132 | |95 |6 |126 |
|71 |1 |129 | |96 |3 |130 |
|72 |7 |139 | |97 |3 |112 |
|73 |9 |148 | |98 |2 |133 |
|74 |25 |144 | |99 |25 |195 |
|75 |16 |146 | |100 |5 |176 |
Решение задачи:
1. Группировка производится по группировочному признаку. Определим величину
(шаг) интервала группировки по формуле:
[pic]
k = 5 , число групп в группировке (из условия)
Xmax, Xmin – максимальное и минимальное значение группировочного
признака
l – величина (шаг) интервала группировки.
[pic]
2. Определим нижнюю и верхнюю интервальные границы для каждой группы:
номер
границы
группы нижняя
верхняя
1 1.0
8.0
2 8.0
15.0
3 15.0
22.0
4 22.0
29.0
5 29.0
36.0
3. Составим рабочую таблицу, куда сведем первичный статистический материал:
|Группы | |Число вагонов, |Чистая прибыль |
|предпри-ятий по |Номер |находящихся в |предприятия, |
|кол-ву вагонов |предприятия |ремонте, шт/сут |млн.руб. |
|нахощящ. на | | | |
|ремонте, шт/сут | | | |
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 1.0 - 8.0|51 |8 |130 |
| |54 |2 |124 |
| |55 |2 |125 |
| |59 |8 |124 |
| |60 |6 |128 |
| |61 |5 |110 |
| |62 |8 |150 |
| |63 |1 |110 |
| |64 |6 |122 |
| |66 |4 |110 |
| |68 |2 |121 |
| |69 |1 |111 |
| |70 |5 |132 |
| |71 |1 |129 |
| |72 |7 |139 |
| |77 |6 |136 |
| |78 |7 |133 |
| |79 |1 |127 |
| |80 |7 |128 |
| |81 |1 |118 |
| |82 |5 |124 |
| |84 |6 |110 |
| |86 |8 |148 |
| |87 |1 |123 |
| |91 |2 |122 |
| |92 |2 |124 |
| |93 |1 |113 |
| |94 |8 |117 |
| |95 |6 |126 |
| |96 |3 |130 |
| |97 |3 |112 |
| |98 |2 |133 |
| |100 |5 |176 |
|ИТОГО : | 33 |140 |4165 |
| | | | |
|8.0 - 15.0 |52 |11 |148 |
| |57 |14 |126 |
| |58 |14 |136 |
| |67 |9 |139 |
| |73 |9 |148 |
| |76 |10 |134 |
| |83 |15 |137 |
| |88 |10 |138 |
| |90 |11 |139 |
|ИТОГО : | 9 |103 |1245 |
| | | | |
|15.0 - 22.0 |65 |18 |140 |
| |75 |16 |146 |
| |85 |17 |139 |
| |89 |21 |189 |
|ИТОГО : | 4 |72 |614 |
| | | | |
|22.0 - 29.0 |56 |29 |135 |
| |74 |25 |144 |
| |99 |25 |195 |
|ИТОГО : | 3 |79 |474 |
| | | | |
|29.0 - 36.0 |53 |36 |155 |
|ИТОГО : | 1 |36 |155 |
4. Разработаем аналитическую таблицу взаимосвязи между числом вагонов
находящихся на ремонте и чистой прибылью :
Табл. 2
|Группы предпр. |Число |Число вагонов |Чистая прибыль, |
|по кол-ву |предпр|находящихся в |млн.руб |
|вагонов |и-ятий|ремонте, шт/сут | |
|поступающих в | | | |
|ремонт | | | |
| | |Всего |в среднем на|Всего по|в среднем на|
| | |по |одно |группе |одно |
| | |группе |предприятие | |предприятие |
| 1.0 - 8.0 |33 |140 |4,2 |4165 |126,2 |
| 8.0 - 15.0 |9 |103 |11,4 |1245 |138,3 |
|15.0 - 22.0 |4 |72 |18,0 |614 |153,5 |
|22.0 - 29.0 |3 |79 |26,3 |474 |158,0 |
|29.0 - 36.0 |1 |36 |36,0 |155 |155,0 |
Исследовав показатели работы 50-ти предприятий железнодорожного
транспорта, можно сказать, что чистая прибыль предприятия находится в
прямой зависимости от числа вагонов находящихся в ремонте.
Задание 2.
Рассчитать коэффициенты вариации по группировочному признаку на основании
исходных данных и по аналитической группировке согласно своего варианта из
задания 1. Объяснить (если есть) расхождения в значениях полученных
коэффициентов.
Решение:
Расчет коэффициента вариации проводится по следующей формуле:
[pic]
где: G – среднее квадратическое отклонение;
x - средняя величина
1) [pic]
n – объем (или численность) совокупности,
х - варианта или значение признака (для интервального ряда принимается
среднее значение)
Рассчитаем показатели вариации для примера, рассмотренного в задании
1. Расчет проводится по группировочному признаку. Во-первых, рассчитаем все
показатели по исх. данным (см. табл. 1):
[pic]
2) Среднее кв. отклонение рассчитываем по формуле:
[pic]
[pic]
вернемся к форм. ( 1 ) [pic]
3) Теперь рассчитаем коэффициент вариации по аналитической таблице (см.
табл. 2)
Рассчитаем серединные значения интервалов:
4,5 11,5 18.5
25,5 32,5
1 8 15 22
29 36
[pic] , где
f - частота, т.е. число, которое показывает, сколько встречается каждая
варианта:
[pic] ваг.
Расчет среднего квадратического отклонения по аналитической группировке:
[pic]
[pic]
[pic]
Вывод: в обоих случаях расчета, коэффициент вариации (V) значительно
больше 30 %. Следовательно, рассмотренная совокупность неоднородна и
средняя для нее недостаточно типична.
Задание 3.
Провести 20 % механическую выборку из генеральной совокупности,
представленной в таблице (использовать все 100 предприятий), по показателю,
который является результативным признаком в аналитической группировке
задания 1 в соответствии с вариантом. С вероятностью 0,997 рассчитать
границы изменения средней величины в генеральной совокупности. Рассчитать
среднюю данного признака по генеральной совокупности (по табл.) и сравнить
с результатом, полученным на основании расчета по выборочной совокупности.
Начало отбора начинать с номера предприятия совпадающего с номером варианта
(8).
1)
Табл.
|Номер |Чистая прибыль | |Номер |Чистая прибыль |
|предприятия |предпр., млн.руб.| |предприятия |предпр., млн.руб.|
|1 |2 | |1 |2 |
|8 |203 | |53 |155 |
|13 |163 | |58 |136 |
|18 |131 | |63 |110 |
|23 |134 | |68 |121 |
|28 |130 | |73 |148 |
|33 |117 | |78 |133 |
|38 |133 | |83 |137 |
|43 |125 | |88 |138 |
|48 |141 | |93 |113 |
| | | |98 |133 |
2) Для расчета границ изменения средней характеристики генеральной
совокупности по материалам выборки воспользуемся формулами:
[pic] ( 1 )
[pic]
( 2 )
[pic]
( 3 )
Х – средняя генеральной совокупности;
Х – средняя выборочной совокупности;
- предельная ошибка выборки;
t - коэффициент доверия = 0,997 (по условию);
М – средняя ошибки выборки
G2 – дисперсия исследуемого показателя;
n – объем выборочной совокупности;
N – объем генеральной совокупности;
n/N – доля выборочной совокупности в объеме генеральной (или %
отбора, выраженный в коэффициенте)
Решение:
1) В данном варианте задания средняя чистая прибыль на одно предприятие по
выборочной совокупности равна
Х=136,8 млн.руб.;
2) дисперсия равна = 407,46;
3) коэф-т доверия =3, т.к. вероятность определения границ средней равна
=0,997 (по усл);
4) n/N = 0,2, т.к. процент отбора составляет 20 % (по условию).
5) Рассчитаем среднюю ошибку по ф. (3):
[pic]
6) Рассчитаем предельную ошибку и определим границы изменения средней по ф.
(2)
[pic]
Т.о. с вероятностью 0,997 можно утверждать, что чистая прибыль на одно
предприятие в генеральной совокупности будет находиться в пределах от 124,5
млн.руб. до 149,1 млн.руб., включая в себя среднюю по выборочной
совокупности.
7) Теперь рассчитаем среднюю по генеральной совокупности (по 100
предприятиям) и сравним ее с полученной интервальной оценкой по
выборке:
[pic]
где а1 + а2 +. . . +а100 – сумма числа вагонов, находящихся в
ремонте
(штук в сутки) на 1, 2, 3 . . .,100 предприятиях.
Вывод: Сравнивая среднюю генеральную совокупность равную 140,27 с
интервальной оценкой по выборке 124,5 < x < 149,1 делаем выбор, что
интервал с заданной вероятностью заключает в себе генеральную среднюю.
Задание 4.
По данным своего варианта (8) рассчитайте:
> Индивидуальные и общий индекс цен;
> Индивидуальные и общий индексы физического объема товарооборота;
> Общий индекс товарооборота;
> Экономию или перерасход денежных средств населения в результате изменения
цен на товары в отчетном периоде по сравнению с базисным
Исх. данные:
|Вид |БАЗИСНЫЙ ПЕРИОД |ОТЧЕТНЫЙ ПЕРИОД ('1') |
|товара |('0') | |
| |Цена за 1 кг,|Продано, |Цена за 1 |Продано, |
| |тыс.руб |тонн |кг, тыс.руб |тонн |
|1 |2 |3 |4 |5 |
|А |4,50 |500 |4,90 |530 |
|Б |2,00 |200 |2,10 |195 |
|В |1,08 |20 |1,00 |110 |
Решение:
Индекс – это показатель сравнения двух состояний одного и того же явления
(простого или сложного, состоящего из соизмеримых или несоизмеримых
элементов); включает 2 вида:
V Отчетные, оцениваемые данные ('1')
V Базисные, используемые в качестве базы сравнения ('0')
1) Найдем индивидуальные индексы по формулам:
[pic] [pic]
(где: р, q – цена, объем соответственно; р1, р0 - цена отчетного,
базисного периодов соответственно; q1, q2 - объем отчетного, базисного
периодов соответственно)
. для величины [pic] (цены) по каждому виду товара
[pic]
[pic]
[pic]
. для величины q (объема) по каждому виду товаров:
[pic]
[pic]
[pic]
2) Найдем общие индексы по формулам:
[pic] [pic][pic]
представляет собой среднее значение индивидуальных
индексов (цены, объема), где j – номер товара.
[pic]
[pic]
3) Общий индекс товарооборота равен: [pic]
[pic]
4) Найдем абсолютное изменение показателя (экономии или перерасхода):
[pic]
получаем: [pic]
Вывод: наблюдается перерасход денежных средств населения в результате
изменения цен на товары в отчетном периоде по сравнению с базисным, в
среднем на 5,54%.
Задание 5.
Определить, как изменяться цены на товары, если их стоимость в среднем
увеличится на 3,2 %, а физический объем реализации в среднем не изменится.
Решение:
Для базисного периода для цен характерен следующий индекс:
[pic]
Для отчетного периода известно увеличение стоимости на 3,2 %, т.е.:
[pic]
Вывод: из полученного видно, что цены на товары в следствие увеличения их
стоимости на 3,2% соответственно возрастут на 3,2%.
Задание 6.
Рассчитать коэффициент корреляции по исходным данным своего варианта,
используя задание 1.
Решение:
Коэффициент корреляции оценивает тесноту связи между несколькими
признаками. В данном случае требуется оценить связь между двумя признаками.
Поэтому необходимо рассчитать парный коэффициент корреляции. Воспользуемся
следующими формулами:
[pic] [pic]
где:
[pic] - индивидуальные значения факторного и результативного
признаков;
[pic] - средние значения признаков;
[pic] - средняя из произведений индивидуальных значений признаков;
[pic] - средние квадратические отклонения признаков
1) Коэффициент рассчитаем по исходным данным варианта (50 предприятий),
которые представлены в табл. 1
[pic] [pic] [pic] [pic]
2) Расчет средней из произведений проведем в таблице M, заполняя данные о
факторном и результативном признаке из таблицы № 1:
| |Группир|Результа| | | |Группир|Результа| |
|№ |. |т | | |№ |. |т | |
| |признак|признак |X x Y | | |признак|признак |XxY |
| |число |чистая | | | |число |чистая | |
| |вагонов|прибыль,| | | |вагонов|прибыль,| |
| |, |млн.руб.| | | |, | | |
| |шт/сут | | | | |шт/сут |млн.руб.| |
|51 |8 |130 |1040 | |76 |10 |134 |1340 |
|52 |11 |148 |1628 | |77 |6 |136 |816 |
|53 |36 |155 |5580 | |78 |7 |133 |931 |
|54 |2 |124 |248 | |79 |1 |127 |127 |
|55 |2 |125 |250 | |80 |7 |128 |896 |
|56 |29 |135 |3915 | |81 |1 |118 |118 |
|57 |14 |126 |1764 | |82 |5 |124 |620 |
|58 |14 |136 |1904 | |83 |15 |137 |2055 |
|59 |8 |124 |992 | |84 |6 |110 |660 |
|60 |8 |128 |1024 | |85 |17 |139 |2363 |
|61 |5 |110 |550 | |86 |8 |148 |1184 |
|62 |8 |150 |1200 | |87 |1 |123 |123 |
|63 |1 |110 |110 | |88 |10 |138 |1380 |
|64 |6 |122 |732 | |89 |21 |189 |3969 |
|65 |18 |140 |2520 | |90 |11 |139 |1529 |
|66 |4 |110 |440 | |91 |2 |122 |244 |
|67 |9 |139 |1251 | |92 |2 |124 |248 |
|68 |2 |121 |242 | |93 |1 |113 |113 |
|69 |1 |111 |111 | |94 |8 |117 |936 |
|70 |5 |132 |660 | |95 |6 |126 |756 |
|71 |1 |129 |129 | |96 |3 |130 |390 |
|72 |7 |139 |973 | |97 |3 |112 |336 |
|73 |9 |148 |1332 | |98 |2 |133 |266 |
|74 |25 |144 |3600 | |99 |25 |195 |4875 |
|75 |16 |146 |2336 | |100 |5 |176 |880 |
| |
|61686 |
[pic]
Расчет коэффициента корреляции проведем по первой из предложенных в начале
решения двух формул:
[pic]
Вывод: т.к. полученный коэффициент корреляции больше значения 0,8, то
можно сделать вывод о том, что теснота связи между исследуемыми признаками
достаточно тесная.
Задание 7.
По данным своего варианта (см. табл. N) рассчитать индексы сезонности,
построить график сезонности и сделать выводы.
Исх. данные:
1)
Табл. N
|Месяц |Годы |Итого за |В |Индексы |
| | |3 года |сред-нем|сезон-ност|
| | | |за месяц|и, % |
| |1991 |1992 |1993 | | | |
|1 |2 |3 |4 |5 |6 |7 |
|Январь |4600 |2831 |3232 |10663 |3554 |90,3 |
|Февраль |4366 |3265 |3061 |10692 |3564 |90,6 |
|Март |6003 |3501 |3532 |13036 |4345 |110,5 |
|Апрель |5102 |2886 |3350 |11338 |3779 |96,1 |
|Май |4595 |3054 |3652 |11301 |3767 |95,8 |
|Июнь |6058 |3287 |3332 |12677 |4226 |107,4 |
|Июль |5588 |3744 |3383 |12715 |4238 |107,8 |
|Август |4869 |4431 |3343 |12643 |4214 |107,1 |
|Сентябрь |4065 |3886 |3116 |11067 |3689 |93,8 |
|Октябрь |4312 |3725 |3114 |11151 |3717 |94,5 |
|Ноябрь |5161 |3582 |2807 |11550 |3850 |97,0 |
|Декабрь |6153 |3598 |3000 |12751 |4250 |108,0 |
|В среднем|5073 |3482 |3244 | |3953 |100,0 |
Сезонными колебаниями называют устойчивые внутригодовые колебания в ряду
динамики. Они характеризуются индексами сезонности, совокупность которых на
графике образует сезонную волну.
Воспользуемся следующей формулой расчета индексов сезонности:
[pic]
Vt - фактические (средние) данные по месяцам (среднемесячный
результат, вычисленный за 3 года по одноименным
месяцам);
Vo - общая или постоянная средняя (среднемесячный уровень по
36-ти месяцам)
Теперь на основании полученных индексов сезонности (ст. 7 табл. N) построим
график сезонности:
Вывод: Сезонность имела три волны подъема количества отправленных
вагонов с одной станции:
V главный – в марте м-це
V второй (слабее) – в июне-июле м-цах
V третий (слабее) - в декабре м-це.
Уменьшение наблюдается:
V в начале года (январь-февраль м-цы)
V во второй половине весны (апрель-май м-цы)
V осенью (сентябрь-ноябрь м-цы)
Задание выполнено 10 ноября 1997 года.
_____________________Фролова Е.В.
Литература:
Дружинин Н.К. Математическая статистика в экономике. – М.: Статистика,
1971.
Елисеева И.И. моя профессия – статистик. – М.: Финансы и статистика, 1992.
Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики: Учебник / Под ред. Чл.-
корр. РАН И.И.Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 1996.
Кривенкова Л.Н., Юзбашев М.М. Область существования показателей вариации и
ее применение // Вестник статистики. – 1991. - №6. – С.66-70
Работа над ошибками.
Задание 4
п.2) Найдем общие индексы цен по формуле Пааше – расчет производится на
основе данных о количестве проданных товаров в базисном и отчетном периоде
(по каждому j-му товару)
[pic]
[pic]
[pic]
[pic][pic]
п.3) Найдем общий индекс товарооборота:
[pic]
[pic]
Проверка:
[pic]
[pic]
Из проверки видно, что расчет общего индекса товарооборота произведен
верно.
п.4) Найдем абсолютное изменение показателя (экономия - перерасход):
[pic]
Получаем:
[pic]Т.к. полученная величина положительно, то мы имеем перерасход средств.
