Построение экономической модели с использованием симплекс-метода
Работа из раздела: «
Экономико-математическое моделирование»
Курсовая работа
Тема: Построение экономической модели с использованием симплекс-метода .
Работу выполнил
студент УТФ-4-2
Кулаков О. А.
Оглавление .
Введение
Моделирование как метод научного познания.
Введение в симплекс-метод
Словесное описание
Математическое описание
Ограничения
Переменные
Целевая функция
Симплекс-метод .
Представление пространства решений стандартной задачи линейного
программирования
Вычислительные процедуры симплекс-метода
Анализ результатов .
Оптимальное решение
Статус ресурсов
Ценность ресурса
Максимальное изменение запаса ресурса
Максимальное изменение коэффициентов удельной
прибыли ( стоимости )
Моделирование как метод научного познания.
Моделирование в научных исследованиях стало применяться еще в
глубокой древности и постепенно захватывало все новые области научных
знаний : техническое конструирование , строительство и архитектуру ,
астрономию , физику , химию , биологию и , наконец , общественные науки .
Большие успехи и признание практически во всех отраслях современной науки
принес методу моделирования ХХ в . Однако методология моделирования долгое
время развивалась независимо отдельными науками . Отсутствовала единая
система понятий, единая терминология . Лишь постепенно стала осознаваться
роль моделирования как универсального метода научного познания .
Термин 'модель' широко используется в различных сферах человеческой
деятельности и имеет множество смысловых значений . Рассмотрим только
такие 'модели', которые являются инструментами получения знаний .
Модель - это такой материальный или мысленно представляемый объект,
который в процессе исследования замещает объект-оригинал так, что его
непосредственное изучение дает новые знания об объекте-оригинале .
Под моделирование понимается процесс построения , изучения и
применения моделей . Оно тесно связано с такими категориями , как
абстракция , аналогия , гипотеза и др . Процесс моделирования обязательно
включает и построение абстракций , и умозаключения по аналогии, и
конструирование научных гипотез.
Главная особенность моделирования в том , что это метод
опосредованного познания с помощью объектов-заместителей . Модель
выступает как своеобразный инструмент познания , который исследователь
ставит между собой и объектом и с помощью которого изучает интересующий
его объект . Именно эта особенность метода моделирования определяет
специфические формы использования абстракций , аналогий , гипотез , других
категорий и методов познания .
Необходимость использования метода моделирования определяется тем,
что многие объекты ( или проблемы , относящиеся к этим объектам )
непосредственно исследовать или вовсе невозможно, или же это исследование
требует много времени и средств.
Моделирование - циклический процесс . Это означает , что за первым
четырехэтапным циклом может последовать второй , третий и т.д. При этом
знания об исследуемом объекте расширяются и точняются, а исходная модель
постепенно совершенствуется . Недостатки , обнаруженные после первого
цикла моделирования , бусловленные малым знанием объекта и ошибками в
построении модели , можно исправить в последующих циклах . В методологии
моделирования , таким образом , заложены большие возможности саморазвития .
Словесное описание
Фирма , производящая некоторую продукцию осуществляет её
рекламу двумя способами через радиосеть и через телевидение . Стоимость
рекламы на радио обходится фирме в 5 $ , а стоимость телерекламы - в 100$
за минуту .
Фирма готова тратить на рекламу по 1000 $ в месяц . Так же
известно , что фирма готова рекламировать свою продукцию по радио по
крайней мере в 2 раза чаще , чем по телевидению .
Опыт предыдущих лет показал , что телереклама приносит в 25
раз больший сбыт продукции нежели радиореклама .
Задача заключается в правильном распределении финансовых
средств фирмы .
Математическое описание .
X1 - время потраченное на радиорекламу .
X2 - время потраченное на телерекламу .
Z - искомая целевая функция , оражающая максимальный сбыт от 2-ух видов
рекламы .
X1=>0 , X2=>0 , Z=>0 ;
Max Z = X1 + 25X2 ;
5X1 + 100X2 <=1000 ;
X1 -2X2 => 0
Использование графического способа удобно только при решении задач ЛП с
двумя переменными . При большем числе переменных необходимо применение
алгебраического аппарата . В данной главе рассматривается общий метод
решения задач ЛП , называемый симплекс-методом .
Информация , которую можно получить с помощью симплекс-метода ,
не ограничивается лишь оптимальными значениями переменных . Симплекс-метод
фактически позволяет дать экономическую интерепритацию полученного решения
и провести анализ модели на чувствительность .
Процесс решения задачи линейного программирования носит
итерационный характер : однотипные вычислительные процедуры в определенной
последовательности повторяются до тех пор , пока не будет получено
оптимальное решение . Процедуры , реализуемые в рамках симплекс-метода ,
требуют применения вычислительных машин - мощного средства решения задач
линейного программирования .
Симлекс-метод - это характерный пример итерационных вычислений ,
используемых при решении большинства оптимизационных задач . В данной главе
рассматриваются итерационные процедуры такого рода , обеспечивающие решение
задач с помощью моделей исследования операций .
В гл 2 было показано , что правая и левая части ограничений
линейной модели могут быть связаны знаками <= , = и => . Кроме того ,
переменные , фигурирующие в задачах ЛП , могут быть неотрицательными или не
иметь ограничения в знаке . Для построения общего метода решения задач ЛП
соответствующие модели должны быть представлены в некоторой форме , которую
назовем стандатрной формой линейных оптимизационных моделей . При
стандартной форме линейной модели
1. Все ограничения записываются в виде равенств с неотрицательной правой
частью ;
2. Значения всех переменных модели неотрицательны ;
3. Целевая функция подлежит максимизации или минимизации .
Покажем , каким образом любую линейную модель можно привести к стандартной
.
Ограничения
1. Исходное ограничение , записанное в виде неравенства типа <= ( =>) ,
можно представить в виде равенства , прибавляя остаточную переменную к
левой части ограничения ( вычитая избыточную переменную из левой части ) .
Например , в левую часть исходного ограничения
5X1 + 100X2 <= 1000
вводистя остаточная переменная S1 > 0 , в результате чего исходное
неравенство обращается в равенство
5X1 + 100X2 + S1 = 1000 , S1 => 0
Если исходное ограничение определяет расход некоторого ресурса , переменную
S1 следует интерпретировать как остаток , или неиспользованную часть ,
данного ресурса .
Рассмотрим исходное ограничение другого типа :
X1 - 2X2 => 0
Так как левая часть этого ограничения не может быть меньше правой , для
обращения исходного неравенства в равенство вычтем из его левой части
избыточную переменную S2 > 0 . В результате получим
X1 - 2X2 - S2 = 0 , S2 => 0
2. Правую часть равенства всегда можно сделать неотрицательной , умножая
оби части на -1 .
Например равенство X1 - 2X2 - S2 = 0 эквивалентно равенству - X1 + 2X2 +
S2 = 0
3. Знак неравенства изменяется на противоположный при умножении обеих
частей на -1 .
Например можно вместо 2 < 4 записать - 2 > - 4 , неравенство X1 - 2X2
<= 0 заменить на - X1 + 2X2 => 0
Переменные
Любую переменную Yi , не имеющую ограничение в знаке , можно
представить как разность двух неотрицательных переменных :
Yi=Yi’-Yi’’, где Yi’,Yi’’=>0.
Такую подстановку следует использовать во всех ограничениях , которые
содержат исходную переменную Yi , а также в выражении для целевой функции .
Обычно находят решение задачи ЛП , в котором фигурируют переменные
Yi’ и Yi’’ , а затем с помощью обратной подстановки определяют величину Yi
. Важная особенность переменных Yi’ и Yi’’ состоит в том , что при любом
допустимом решении только одна из этих переменных может принимать
положительное значение , т.е. если Yi’>0 , то Yi’’=0, и наоборот . Это
позволяет рассматривать Yi’ как остаточную переменную , а Yi’’ - как
избыточную переменную , причем лишь одна из этих переменных может принимать
положительное значение . Указанная закономерность широко используется в
целевом программировании и фактически является предпосылкой для
использования соответсвующих преобразований в задаче 2.30
Целевая функция
Целевая функция линейной оптимизационной модели , представлена в
стандартной форме , может подлежать как максимизации , так и минимизации .
В некоторых случаях оказывается полезным изменить исходную целевую функцию
.
Максимизация некоторой функции эквивалентна минимизации той же
функции , взятой с противоположным знаком , и наоборот . Например
максимизация функции
Z = X1 + 25X2
эквивалентна минимизации функции
( -Z ) = -X1 - 25X2
Эквивалентность означает , что при одной и той же совокупности ограничений
оптимальные значения X1 , X2 , в обоих случаях будут одинаковы . Отличие
заключается только в том , что при одинаковых числовых значениях целевых
функций их знаки будут противоположны .
Симплекс-метод .
В вычислительной схеме симплекс-метода реализуется
упорядоченный процесс , при котором , начиная с некоторой исходной
допустимой угловой точки ( обычно начало координат ) , осуществляются
последовательные переходы от одной допустимой экстремальной точки к другой
до тех пор , пока не будет найдена точка , соответствующая оптимальному
решению .
Общую идею симплекс-метода можно проиллюстрировать на
примере модели , посроенной для нашей задачи . Пространство решений этой
задачи представим на рис. 1 . Исходной точкой алгоритма является начало
координат ( точка А на рис. 1 ) . Решение , соответствующее этой точке ,
обычно называют начальным решением . От исходной точки осуществляется
переход к некоторой смежной угловой точке .
Выбор каждой последующей экстремальной точки при использовании
симплекс-метода определяется следующими двумя правилами .
1. Каждая последующая угловая точка должна быть смежной с предыдущей .
Этот переход осуществляется по границам ( ребрам ) пространства
решений .
2. Обратный переход к предшествующей экстремальной точке не может
производиться .
Таким образом , отыскание оптимального решения начинается с
некоторой допустимой угловой точки , и все переходы осуществляются только к
смежным точкам , причем перед новым переходом каждая из полученных точек
проверяется на оптимальность .
Определим пространство решений и угловые точки агебраически .
Требуемые соотнощшения устанавливаются из указанного в таблице соответствия
геометрических и алгебраических определений .
|Геометрическое |Алгебраическое |
|определение |определение |
| |( симплекс метод ) |
|Пространство решений |Ограничения модели |
| |стандартной формы |
|Угловые точки |Базисное решение задачи в|
| |стандартной форме |
Представление пространства решений стандартной задачи линейного
программирования .
Линейная модель , построенная для нашей задачи и приведенная к
стандартной форме , имеет следующий вид :
Максимизировать
Z = X1 + 25X2 + 0S1 + 0S2
При ограничениях
5X1 + 100X2 + S1 = 1000
- X1 + 2X2 + S2 = 0
X1=>0 , X2=>0 , S1=>0 , S2=>0
Каждую точку пространства решений данной задачи , представленную на
рис.1 , можно определить с помощью переменных X1 , X2 , S1 и S2 ,
фигурирующими в модели стандартной формы. При S1 = 0 и S2 = 0 ограничения
модели эквивалентны равенствам , которые представляются соответствующими
ребрами пространства решений . Увеличение переменных S1 и S2 будет
соответствовать смещению допустимых точек с границ пространства решений в
его внутреннюю область. Переменные X1 , X2 , S1 и S2 , ассоциированные с
экстремальными точками А , В , и С можно упорядочить , исходя из того ,
какое значение ( нулевое или ненулевое ) имеет данная переменная в
экстремальной точке .
|Экстремальная |Нулевые переменные|Ненулевые переменные|
|точка | | |
|А |S2 , X2 |S1 , X1 |
|В |S1 , X2 |S2 , X1 |
|С |S1 , S2 |X1 , X2 |
Анализируя таблицу , легко заметить две закономерности:
1. Стандартная модель содержит два уравнения и четыре
неизвестных , поэтому в каждой из экстремальных точек две ( = 4 - 2 )
переменные должны иметь нулевые значения .
2. Смежные экстремальные точки отличаются только одной пе-
ременной в каждой группе ( нулевых и ненулевых переменных ) ,
Первая закономерность свидетельствует о возможности опре-
деления экстремальных точек алгебраическим способом путем при-
равнивания нулю такого количества переменных , которое равно
разности между количеством неизвестных и числом уравнений .
В этом состоит сущность свойства однозначности экстремальных
точек . На рис. 1 каждой неэкстремальной точке соответствует
не более одной нулевой переменной . Так , любая точка внутренней
области пространства решений вообще не имеет ни одной нулевой
переменной, а любая неэкстремальная точка , лежащая на границе ,
всегда имеет лишь одну нулевую переменную .
Свойство однозначности экстремальных точек позволяет опре-
делить их алгебраическим методом. Будем считать , что линейная
модель стандартной формы содержит т уравнений и п ( т <= п ) не-
известных ( правые части ограничений — неотрицательные ) . Тогда
все допустимые экстремальные точки определяются как все одно-
значные неотрицательные решения системы m уравнений , в ко-
торых п — m переменных равны нулю.
Однозначные решения такой системы уравнений, получаемые
путем приравнивания к нулю ( п — т ) переменных , называются
базисными решениями . Если базисное решение удовлетворяет
требованию неотрицательности правых частей , оно называется
допустимым базисным решением. Переменные , имеющие нулевое
значение , называются небазисными переменными , остальные —
базисными переменными.
Из вышеизложенного следует , что при реализации симплекс-
метода алгебраическое определение базисных решений соответст-
вует идентификации экстремальных точек , осуществляемой при
геометрическом представлении пространства решений . Таким об-
разом , максимальное число итераций при использовании симплекс-
метода равно максимальному числу базисных решений задачи ЛП ,
представленной в стандартной форме . Это означает , что количество
итерационных процедур симплекс-метода не превышает
Cпт= n! / [ ( n - m )!m! ]
Вторая из ранее отмеченных закономерностей оказывается
весьма полезной для построения вычислительных процедур симп-
лекс-метода , при реализации которого осуществляется последова-
тельный переход от одной экстремальной точки к другой, смежной с ней . Так
как смежные экстремальные точки отличаются только
одной переменной, можно определить каждую последующую ( смеж-
ную) экстремальную точку путем замены одной из текущих не-
базисных ( нулевых ) переменных текущей базисной переменной.
В нашем случае получено решение , соответствующее точке А , откуда следует
осуществить переход в точку В . Для этого нужно увеличивать небазисную
переменную X2 от исходного нулевого значения до значе-
ния , соответствующего точке В ( см. рис. 1 ). В точке B переменная
S1 ( которая в точке А была базисной ) автоматически обращается в
нуль и , следовательно , становится небазисной переменной . Таким
образом , между множеством небазисных и множеством базисных
переменных происходит взаимообмен переменными X2 и S1 . Этот
процесс можно наглядно представить в виде следующей таблицы.
|Экстремальная |Нулевые переменные|Ненулевые переменные|
|точка | | |
|А |S2 , X2 |S1 , X1 |
|В |S1 , X2 |S2 , X1 |
Применяя аналогичную процедуру ко всем экстремальным точкам
рис. 1 , можно убедиться в том , что любую последующую экстре-
мальную точку всегда можно определить путем взаимной замены
по одной переменной в составе базисных и небазисных переменных
( предыдущей смежной точки ) . Этот фактор существенно упрощает
реализацию вычислительных процедур симплекс-метода.
Рассмотренный процесс взаимной замены переменных приводит
к необходимости введения двух новых терминов . Включаемой пе-
ременной называется небазисная в данный момент переменная ,
которая будет включена в множество базисных переменных на сле-
дующей итерации ( при переходе к смежной экстремальной точке ) .
Исключаемая переменная — это та базисная переменная , которая
на следующей итерации подлежит исключению из множества ба-
зисных переменных .
Вычислительные процедуры симплекс-метода .
симплекс-алгоритм состоит из следующих шагов.
Шаг 0. Используя линейную модель стандартной формы , опреде-
ляют начальное допустимое базисное решение путем приравнива-
ния к нулю п — т ( небазисных ) переменных.
Шаг 1. Из числа текущих небазисных ( равных нулю ) перемен-
ных выбирается включаемая в новый базис переменная , увеличение
которой обеспечивает улучшение значения целевой функции. Если
такой переменной нет , вычисления прекращаются , так как текущее
базисное решение оптимально . В противном случае осуществляется
переход к шагу 2.
Шаг 2. Из числа переменных текущего базиса выбирается исклю-
чаемая переменная , которая должна принять нулевое значение ( стать
небазисной ) при введении в состав базисных новой переменной .
Шаг 3. Находится новое базисное решение , соответствующее
новым составам небазисных и базисных переменных . Осуществляется переход к
шагу 1.
Поясним процедуры симплекс-метода на примере решения нашей зада-
чи . Сначала необходимо представить целевую функцию и ограничения модели в
стандартной форме:
Z - X1 - 25X2 +0S1 -0S2 = 0 ( Целевая
функция )
5X1 + 100X2 + S1 = 1000 ( Ограничение )
-X1 + 2X2 + S2 = 0 ( Ограничение )
Как отмечалось ранее , в качестве начального пробного решения
используется решение системы уравнений , в которой две переменные
принимаются равными нулю . Это обеспечивает единст-
венность и допустимость получаемого решения . В рассматриваемом
случае очевидно, что подстановка X1 = X2 = 0 сразу же приводит к следующему
результату: S1 = 1000 , S2 = 0 ( т. е. решению , соответствующему точке А
на рис. 1 ) . Поэтому точку А можно использовать как начальное допустимое
решение . Величина Z в этой точке равна нулю , так как и X1 и X2 имеют
нулевое значение . Поэтому , преобразовав уравнение целевой функции так ,
чтобы его правая часть стала равной нулю , можно убедиться в том , что
правые части уравнений целевой функции и ограничений полностью
характеризуют начальное решение . Это имеет место во всех случаях , когда
начальный базис состоит из остаточных переменных.
Полученные результаты удобно представить в виде таблицы :
|Базисные |Z |X1 |X2 |S1 |S2 |Решение| |
|переменные | | | | | | | |
|Z |1 |-1 |- 25 |0 |0 |0 |Z - уравнение |
|S1 |0 |5 |100 |1 |0 |1000 |S1 -уравнение |
|S2 |0 |-1 |2 |0 |1 |0 |S2 - уравнение|
Эта таблица интерпретируется следующим образом. Столбец
« Базисные переменные » содержит переменные пробного базиса S1 ,
S2 , значения которых приведены в столбце « Решение » . При
этом подразумевается , что небазисные переменные X1 и X2 ( не пред-
ставленные в первом столбце ) равны нулю . Значение целевой функ-
ции Z = 1*0 + 25*0 + 0*1000 + 0*1 равно нулю , что и показано в последнем
столбце таблицы .
Определим , является ли полученное пробное решение наи-
лучшим ( оптимальным ) . Анализируя Z - уравнение , нетрудно заме-
тить , что обе небазисные переменные X1 и X2 , равные нулю , имеют
отрицательные коэффициенты . Всегда выбирается переменная с большим
абсолютным значением отрицательного коэффициента ( в Z - уравнении ) , так
как практический опыт вычислений показывает , что в этом случае оптимум
достигается быстрее .
Это правило составляет основу используемого в вычислительной
схеме симплекс-метода условия оптимальности , которое состоит в
том , что , если в задаче максимизации все небазисные переменные в
Z - уравнении имеют неотрицательные коэффициенты , полученное пробное
решение является оптимальным . В противном случае в ка-
честве новой базисной переменной следует выбрать ту , которая имеет
наибольший по абсолютной величине отрицательный коэффициент .
Применяя условие оптимальности к исходной таблице , выберем
в качестве переменной , включаемой в базис , переменную Х2 . Исклю-
чаемая переменная должна быть выбрана из совокупности базисных
переменных S1 , S2 . Процедура выбора исключаемой переменной предполагает
проверку условия допустимости , требующего , чтобы в качестве исключаемой
переменной выбиралась та из пере-
менных текущего базиса , которая первой обращается в нуль при уве-
личении включаемой переменной X2 вплоть до значения , соответствующего
смежной экстремальной точке .
Интересующее нас отношение ( фиксирующее искомую точку пе-ресечения и
идентифицирующее исключаемую переменную ) можно
определить из симплекс-таблицы. Для этого в столбце , соответствующем
вводимой переменной X2 , вычеркиваются отрицательные и нулевые элементы
ограничений . Затем вычисляются отношения постоянных , фигурирующих в
правых частях этих ограничений , к оставшимся элементам столбца ,
соответствующего вводимой переменной X2 . Исключаемой переменной будет та
переменная текущего базиса , для которой указанное выше отношение
минимально.
Начальная симплекс-таблица для нашей задачи , получаемая после проверки
условия допустимости ( т. е. после вычисления соответствующих отношений и
определения исключаемой переменной ) , воспроизведена ниже . Для удобства
описания вычислительных процедур , осуществляемых на следующей итерации ,
введем ряд необходимых определений . Столбец симплекс-таблицы ,
ассоциированный с вводимой переменной , будем называть ведущим столбцом .
Строку , соответствующую исключаемой переменной , назовем ведущей строкой (
уравнением ) , а элемент таблицы , находящийся на пересечении ведущего
столбца и ведущей строки , будем называть ведущим элементом .
После того как определены включаемая и исключаемая пере-
менные ( с использованием условий оптимальности и допустимости ) ,
следующая итерация ( поиск нового базисного решения ) осуществля-
ется методом исключения переменных , или методом Гаусса — Жордана . Этот
процесс изменения базиса включает вычислительные процедуры двух типов .
Тип 1 ( формирование ведущего уравнения ) .
Новая ведущая строка = Предыдущая ведущая строка / Ведущий элемент
Тип 2 ( формирование всех остальных уравнений , включая Z - yравнение ) .
Новое уравнение = Предыдущее уравнение —
й Коэффициент щ
к ведущего столбца к * ( Новая ведущая строка ) .
к предыдущего к
л уравнения ы
Выполнение процедуры типа 1 приводит к тому , что в новом
ведущем уравнении ведущий элемент становится равным единице .
В результате осуществления процедуры типа 2 все остальные коэф-
фициенты , фигурирующие в ведущем столбце , становятся равными
нулю . Это эквивалентно получению базисного решения путем ис-
ключения вводимой переменной из всех уравнений , кроме ведущего .
Применяя к исходной таблице процедуру 1 , мы делим S2 - уравнение на
ведущий элемент , равный 1 .
|Базисные |Z |X1 |X2 |S1 |S2 |Решен|
|переменные | | | | | |ие |
|Z | | | | | | |
|S1 | | | | | | |
|S2 |0 |-1/2 |1 |0 |1/2 |0 |
Чтобы составить новую симплекс-таблицу , выполним необходимые
вычислительные процедуры типа 2 .
1. Новое Z - уравнение .
старое Z - уравнение : ( 1 -1 -25 0 0 0 )
( - ( -25 ) * ( 0 -1/2 1 0 1/2 0 )
( 1 -131/2 0 0 121/2 0
)
2. Новое S1 - уравнение
старое S1 - уравнение : ( 0 5 100 1 0 1000 )
( - 100 ) * ( 0 -1/2 1 0 1/2
0 )
( 0 55 0 1 -50
1000 )
Новая симплекс-таблица будет иметь вид :
|Базисные |Z |X1 |X2 |S1 |S2 |Решение| |
|переменные | | | | | | | |
|Z |1 |-131/2|0 |0 |121/2 |0 |Z - уравнение |
|S1 |0 |55 |0 |1 |-50 |1000 |S1 -уравнение |
|X2 |0 |-1/2 |1 |0 |1/2 |0 |X2 - уравнение |
В новом решении X1 = 0 и S2 = 0 . Значение Z не изменяется .
Заметим , что новая симплекс-таблица обладает такими же ха-
рактеристиками , как и предыдущая : только небазисные переменные
X1 и S2 равны нулю , а значения базисных переменных , как и раньше ,
представлены в столбце « Решение » . Это в точности соответствует
результатам , получаемым при использовании метода Гаусса—Жор-
дана .
Из последней таблицы следует , что на очередной итерации в со-
ответствии с условием оптимальности в качестве вводимой перемен-
ной следует выбрать X1 , так как коэффициент при этой переменной в
Z-ypaвнении равен -131/2 . Исходя из условия допустимости , определяем ,
что исключаемой переменной будет S1 . Отношения , фигурирующие в правой
части таблицы , показывают , что в новом базисном решении значение
включаемой переменной X1 будет равно 1000/55 ( = минимальному отношению ) .
Это приводит к увеличению целевой функции на ( 1000/55 ) * ( -131/2 )
= ( 2455/11 ) .
К получению симплекс-таблицы , соответствующей новой итерации , приводят
следующие вычислительные операции метода Гаусса—Жордана.
1) Новое ведущее S1 - уравнение = Предыдущее S1 - уравнение / ( 55 ) .
|Базисные |Z |X1 |X2 |S1 |S2 |Решение|
|переменные | | | | | | |
|Z | | | | | | |
|S1 |0 |1 |0 |1/55 |- |1000/55|
| | | | | |50/55 | |
|X2 | | | | | | |
2) Новое Z - уравнение = Предыдущее Z - уравнение - ( -131/2 ) * Новое
/ведущее уравнение :
( 1 -131/2 0 0 121/2
0 )
- ( -131/2 ) * ( 0 1 0 1/55 -50/55
1000/55 )
( 1 0 0 27/110
5/22 2455/11 )
3) Новое X2 - уравнение = Предыдущее X2 - уравнение - ( -1/2 ) * Новое
ведущее уравнение :
( 0 -1/2 1 0
1/2 0 )
- ( - 1/2 ) * ( 0 1 0 1/55 -50/55
1000/55 )
( 0 0 1 1/110 1/22
91/11 )
В результате указанных преобразований получим следующую симп-
лекс-таблицу .
|Базисные |Z |X1 |X2 |S1 |S2 |Решение |
|переменные | | | | | | |
|Z |1 |0 |0 |27/110 |5/22 |2455/11 |
|X1 |0 |1 |0 |1/55 |-50/55 |1000/55 |
|X2 |0 |0 |1 |1/110 |1/22 |91/11 |
В новом базисном решении X1=1000/55 и X2=91/11 . Значение Z
увеличилось с 0 ( предыдущая симплекс-таблица ) до 2455/11 ( последняя
симплекс-таблица ) . Этот результирующий прирост целевой функции
обусловлен увеличением X1 от О до 1000/55 , так как из Z - строки
предыдущей симплекс-таблицы следует , что возрастанию данной переменной на
единицу соответствует увеличение целевой функции на( -131/2 ) .
Последняя симплекс-таблица соответствует оптимальному реше-
нию задачи, так как в Z - уравнении ни одна из небазисных переменных не
фигурирует с отрицательным коэффициентом. Получением этой pезультирующей
таблицы и завершаются вычислительные процедуры симплекс-метода .
В рассмотренном выше примере алгоритм симплекс-метода ис-
пользован при решении задачи , в которой целевая функция подлежала
максимизации . В случае минимизации целевой функции в этом
алгоритме необходимо изменить только условие оптимальности :
в качестве новой базисной переменнойследует выбирать ту переменную ,
которая в Z - уравнении имеет наибольший положительный коэффициент .
Условия допустимости в обоих случаях ( максимизации и минимизации )
одинаковы . Представляется целесообразным дать теперь окончательные
формулировки обоим условиям , используемым в симплекс-методе .
Условие оптимальности . Вводимой переменной в задаче максимизации (
минимизации ) является небазисная переменная , имеющая в Z -уравнении
наибольший отрицательный ( положительный ) коэффициент , В случае
равенства таких коэффициентов для нескольких небазисных переменных выбор
делается произвольно , если все коэффициенты при небазисных переменных в Z
- уравнении неотрицательны (неположительны) , полученное решение является
оптимальным .
Условие допустимости , в задачах максимизации и минимизации в качестве
исключаемой переменной выбирается та базисная переменная , для которой
отношение постоянной в правой части соответствующего ограничения к (
положительному ) коэффициенту ведущего столбца минимально. В случае
равенства этого отношения для нескольких базисных переменных выбор делается
произвольно .
Оптимальное решение
С точки зрения практического использования результатов ре-
шения задач ЛП классификация переменных , предусматривающая
их разделение на базисные и небазнсные , не имеет значения и при
анализе данных , характеризующих оптимальное решение , может
не учитываться . Переменные , отсутствующие в столбце « Базисные
переменные » , обязательно имеют нулевое значение . Значения ос-
тальных переменных приводятся в столбце « Решение » . При интер-
претации результатов оптимизации в нашей задаче нас прежде всего интересует
количество времени , которое закажет наша фирма на радио и телевидение ,
т. е. значения управляемых переменных X1 и X2 . Используя данные ,
содержащиеся в симплекс-таблице для оптимального решения , основные
результаты можно представить в следующем виде :
|Управляемые |Оптимальные |Решение |
|переменные |значения | |
|X1 |1000/55 |Время выделяемое фирмой на телерекламу |
|X2 |91/11 |Время выделяемое фирмой на радиорекламу|
|Z |2455/11 |Прибыль получаемая от рекламы . |
Заметим, что Z = X1 + 25X2 = 1000/55 + 25 * 91/11 = 2455/11 . Это решение
соответствует данным заключительной симплекс-таблицы .
Статус ресурсов
Будем относить ресурсы к дефицитным или недифицитным в зависимости от
того , полное или частичное их использо-
вание предусматривает оптимальное решение задачи . Сейчас цель
состоит в том , чтобы получить соответствующую информацию непос-
редственно из симплекс-таблицы для оптимального решения . Од-
нако сначала следует четко уяснить следующее . Говоря о ресурсах ,
фигурирующих в задаче ЛП , мы подразумеваем , что установлены
некоторые максимальные пределы их запасов , поэтому в соответст-
вующих исходных ограничениях должен использоваться знак <= .
Следовательно , ограничения со знаком => не могут рассматриваться
как ограничения на ресурсы . Скорее , ограничения такого типа отра-
жают то обстоятельство , что решение должно удовлетворять опре-
деленным требованиям , например обеспечению минимального спро-
са или минимальных отклонений от установленных структурных
характеристик производства ( сбыта ) .
В модели , построенной для нашей задачи , фигурирует ограничение со
знаком <= . Это требование можно рассматривать как ограничение на
соответствующий « ресурс » , так как увеличение спроса на продукцию
эквивалентно расширению « представительства » фирмы на рынке сбыта .
Из вышеизложенного следует , что статус ресурсов ( дефицитный
или недефицитный ) для любой модели ЛП можно установить не-
посредственно из результирующей симплекс-таблицы , обращая вни-
мание на значения остаточных переменных . Применительно к нашей задаче
можно привести следующую сводку результатов :
|Ресурсы |Остаточная |Статус |
| |переменная |ресурса |
|Ограничение по бюджету |S1 |Дефицитный |
|Превышение времени рекламы радио над |S2 |Дефицитный |
|теле | | |
Положительное значение остаточной переменной указывает на
неполное использование соответствующего ресурса , т . е . данный
ресурс является недефицятным. Если же остаточная переменная рав-
на нулю , это свидетельствует о полном потреблении соответствующе-
го ресурса. Из таблицы видно , что наши ресурсы являются дефицитными . В
случае недефицитности любое увиличение ресурсов сверх установленного
максимального значения привело бы лишь к тому , что они стали бы еще более
недефнинтными . Оптимальное решение задачи при этом осталось бы неизменным.
Ресурсы, увеличение запасов которых позволяет улучшить ре-
шение ( увеличить прибыль ) , — это остаточные переменные S1 и S2 , по-
скольку из симплекс-таблицы для оптимального решения видно ,
что они дефицитные . В связи с этим логично поставить следующий
вопрос: какому из дефицитных ресурсов следует отдать предпочте-
ние при вложении дополнительных средств на увеличение их запа-
сов , с тем чтобы получить от них максимальную отдачу ? Ответ на
этот вопрос будет дан в следующем подразделе этой главы , где рас-
сматривается ценность различных ресурсов .
Ценность ресурса
Ценность ресурса характеризуется величиной улучшения опти-
мального значения Z , приходящегося на единицу прироста объема
данного ресурса .
Информация для оптимального решения задачи представлена в симплекс-
таблице . Обратим внимание на значения коэффициентов Z - уравнения ,
стоящих при переменных начального базиса S1 и S2 . Выделим для удобства
соответстзующую часть симплекс-таблицы :
|Базисные |Z |X1 |X2 |S1 |S2 |Решение |
|переменные | | | | | | |
|Z |1 |0 |0 |27/110 |5/22 |2455/11 |
Как следует из теории решения задач ЛП , ценность ресурсов всегда
можно определить по значениям коэффициентов при переменных начального
базиса , фигурирующих в Z - уравнении оптимальной симплекс-таблицы , таким
образом Y1 = 27/110 , а Y2 = 5/22 .
Покажем , каким образом аналогичный результат можно получить
непосредственно из симплекс-таблицы для оптимального решения . Рассмотрим Z
- уравнение симплекс-таблицы для оптимального решения нашей задачи
Z = 2455/11 - ( 27/110S1 + 5/22S2 ) .
Положительное приращение переменной S1 относительно ее текущего
нулевого значения приводит к пропорциональному уменьшению Z ,
причем коэффициент пропорциональности равен 27/110 . Но , как следует из
первого ограничения модели :
5X1 + 100X2 + S1 = 1000
увеличение S1 эквивалентно снижению количества денег выделеных на рекламу (
далее мы будем использовать в тексте , как первый ресурс ) . Отсюда следует
, что уменьшение количества денег выделеных на рекламу вызывает
пропорциональное уменьшение целевой функции с тем же коэффициентом
пропорциональности , равным 27/110 . Так как
мы оперируем с линейными функциями , полученный вывод можно
обобщить , считая , что и увеличение количества денег выделеных на рекламу
( эквивалентное введению избыточной переменной S1 < 0 ) приводит к
пропорциональному увеличению Z с тем же коэффициентом пропорциональности ,
равным 27/110 . Аналогичные рассуждения справед-
ливы для ограничения 2 .
Несмотря на то что ценность различных ресурсов , определяемая
значениями переменных Yi , была представлена в стоимостном выражении , ее
нельзя отождествлять с действительными це-
нами , по которым возможна закупка соответствующих ресурсов .
На самом деле речь идет о некоторой мере , имеющей экономическую
природу н количественно характеризующей ценность ресурса только
относительно полученного оптимального значения целевой функции .
При изменении ограничении модели соответствующие экономические
оценки будут меняться даже тогда , когда оптимизируемый процесс
предполагает применение тех же ресурсов . Поэтому при характерис-
тике ценности ресурсов экономисты предпочитают использовать
такие терминыт , как теневая цена , скрытая цена , или более специ-
фичный термин — двойственная оценка .
Заметим , что теневая цена ( ценность ресурса ) характеризует ин-
тенсивность улучшения оптимального значения Z . Однако при этом
не фиксируется интервал значений увеличения запасов ресурса ,
при которых интенсивность улучшения целевой функции остается
постоянной . Для большинства практических ситуаций логично пред-
положить наличие верхнего предела увеличения запасов , при пре-
вышении которого соответствующее ограничение становится избы-
точным , что в свою очередь приводит к новому базисному решению
и соответствующим ему новым теневым ценам . Ниже определяется
нитервал значений запасов ресурса , при которых соответствую-
щее ограничение не становится избыточным .
Максимальное изменение запаса ресурса
При решении вопроса о том , запас какого из ресурсов следует
увеличивать в первую очередь , обычно используются теневые цены
Чтобы определить интервал значений изменения запаса ресурса ,
при которых теневая цена данного ресурса , ( фигурирующая в заклю-
чительной симплекс-таблице , остается неизменной , необходимо выполнить ряд
дополнительных вычислений . Рассмотрим сначала
соответствующие вычислительные процедуры , а затем покажем , как
требуемая информация может быть получена из симплекс-таблицы
для оптимального решения .
В нашей задаче запас первого ресурса изменился на D1 т. е. запас бюджета
составит 1000 + D1 . При положительной величине D1 запас данного ресурса
увеличивается , при отрицательной — уменьшается . Как правило ,
исследуется ситуация , когда объем ресурса увеличивается ( D1 >
0 ) , однако , чтобы получить результат в общем виде , рассмотрим оба
случая .
Как изменится симплекс-таблица при изменении величины за-
паса ресурса на D1 ? Проще всего получить ответ на этот вопрос .
если ввести D1 в правую часть первого ограничения начальной сим-
плекс-таблицы и затем выполнить все алгебраические преобразова-
ния , соответствующие последовательности итераций . Поскольку
правые части ограничений никогда не используются в качестве
ведущих элементов , то очевидно , что на каждой итерации D1 будет
оказывать влияние только на правые части ограничений .
|Уравнение |Значения элементов правой части на |
| |соответствующих итерациях |
| |( начало вычислений|1 |2 ( оптимум|
| |) | |) |
|Z |0 |0 |2455/11 |
|1 |1000 |1000 + |1000/55 + |
| | |D1 |D1 |
|2 |0 |0 |91/11 |
Фактически вce изменения правых частей ограничений , обуслов-
ленные введением D1 , можно определить непосредственно по данным ,
содержащимся в симплекс-таблицах . Прежде всего заметим , что
на каждой итерации новая правая часть каждого ограничения пред-
ставляет собой сумму двух величин: 1) постоянной и 2) члена , ли-
нейно зависящего от D1 . Постоянные соответствуют числам , которые
фигурируют на соответствующих итерациях в правых частях ограничений
симплекс-таблиц до введения D1 . Коэффициенты при D1 во вторых слагаемых
равны коэффициентам при S1 на той же итерации . Так , например , на
последнеи итерации ( оптимальное решение ) постоянные ( 2455/11 ;
1000/55 ; 91/11 ) представляют собои числа , фигурирующие в правых частях
ограничении оптимальной симплекс-таблицы до введения D1. Коэффициенты (
27/110 ; 1/55 ; 1/110 ) равны коэффициентам при S1 в той же симплекс-
таблице потому , что эта переменная связана только с первым ограничением .
Другими словами , при анализе влияния изменений в правой части второго
ограничения нужно пользоваться коэффициентами при переменной S2 .
Какие выводы можно сделать из полученных результатов?
Так как введение D1 сказывается лишь на правой части симплекс-
таблицы , изменение запаса ресурса может повлиять только на
допустимость решения . Поэтому D1 не может принимать значений ,
при которых какая-либо из ( базисных ) переменных становится отри-
цательной . Из этого следует , что величина D1 должна быть огра-
ничена таким интервалом значений , при которых выполняется ус-
ловие неотрицательности правых частей ограничений в результи-
рующей симплекс-таблице , т . е .
X1 = 1000/55 + ( 1/55 )D1 => 0 ( 1 )
X2 = 91/11 + ( 1/110 )D1 => 0 ( 2 )
Для определения допустимого интервала изменения D1 рассмо-
трим два случая .
Случай 1: D1 => 0 Очевидно , что оба неравнества при этом условии всегда
будут неотрицательными .
Случай 2: D1 < 0 . Решаем неравенства : ( 1 )
( 1/55 )D1 => - 1000/55 . Из этого следует , что D1 => - 1000
( 2 )
( 1/110 )D1 => - 91/11 . Из этого следует , что D1 => - 1000
Объединяя результаты , полученные для обоих случаев , можно
сделать вывод , что при - 1000 <= D1 <= + Ґ решение рассматриваемой зада-
чи всегда будет допустимым , любое значение D1 , выходящее за
пределы указанного интервала , приведет к недопустимости решения и
новой совокупности базисных переменных .
Теперь рассмотрим в каких пределах может изменяться запас ресурса 2
анализ проведем по аналогичной схеме :
Запас 2-ого ресурса изменился на D2 т . е . запас рекламного времени
составит 0 + D2 . Как изменилась симплекс-таблица при изменении величины
запаса ресурса на D2 проиллюстрировано ниже .
|Уравнение |Значения элементов правой части на |
| |соответствующих итерациях |
| |( начало вычислений|1 |2 ( оптимум|
| |) | |) |
|Z |0 |0 |2455/11 |
|1 |1000 |1000 |1000/55 |
|2 |0 |0 + D2 |91/11 + D2 |
Найдем интервал ограничивающий величину D2
X1 = 1000/55 - ( 50/55 )D2 ( 1 )
X2 = 91/11 + ( 1/22 )D2 ( 2 )
Для определения допустимого интервала изменения D1 рассмо-
трим два случая .
Случай 1: D2 => 0 Решаем неравенства : ( 1 )
( 50/55 )D2 <= 1000/55 из этого неравенства следует , что D2 <= 20
( 2 )
Очевидно , что 2-ое уравнение неотрицательно на данном участке .
Объединяя 2 уравнения для Случая 1 мы получим интервал для D2 .
D2 О [ 0 ; 20 ]
Случай 2: D2 < 0 . Решаем неравенства : ( 1 )
( 50/55 )D2 => - 1000/55 . Из этого следует , что D2 <= 20
( 2 )
( 1/22 )D2 => - 91/11 . Из этого следует , что D2 => - 200
Объединяя 2 уравнения для Случая 2 мы получим интервал для D2 .
D2 О [ - 200 ; 0 ]
Объединяя 2 случая мы получим интервал [ - 200 ; 20 ]
Максимальное изменение коэффициентов удельной
прибыли ( стоимости )
Наряду с определением допустимых изменений запасов ресур-
сов представляет интерес и установление интервала допустимых
изменений коэффициентов удельной прибыли ( или стоимости ) .
Следует отметить , что уравнение целевой функции никогда не
используется в качестве ведущего уравнения . Поэтому лю-
бые изменения коэффициентов целевой функции окажут влияние
только на Z-уравнение результирующей симплекс-таблицы . Это
означает , что такие изменения могут сделать полученное решение
неоптимальным . Наша цель заключается в том , чтобы найти интер-
валы значений изменений коэффициентов целевой функции ( рас-
сматривая каждый из коэффициентов отдельно ) , при которых оп-
тимальные значения переменных остаются неизменными .
Чтобы показать, как выполняются соответствующие вычисле-
ния , положим , что удельный объем сбыта , ассоциированной с переменной
X1 изменяется от 1 до 1 + d1 где d1 может быть как положительным , так и
отрицательным числом . Целевая функция в этом случае принимает следующий
вид:
Z = ( 1 + d1 )X1 + 25X2
Если воспользоваться данными начальной симплекс-таблицы и
выполнить все вычисления , необходимые для ( получения заключн-
тельной симплекс-таблицы , то последнее Z-уравнение будет выгля-
деть следующим образом:
|Базисные |X1 |X2 |S1 |S2 |Решение |
|переменные | | | | | |
|Z |0 |0 |27/110+1/55|5/22-50/55|2455/11+1000/5|
| | | |d1 |d1 |5d1 |
Коэффициенты при базисных переменных X1 , X2 и остаточных я равными нулю .
Это уравнение отличается от Z-уравнения до введения d1 , только наличием
членов , содержащих d1 . Коэффициенты при d1 равны кoэффициентам при
соответствующих переменных в Z-уравнении симплекс-таблицы для полученного
ранее оптимального решения
|Базисные |X1 |X2 |S1 |S2 |Решение |
|переменные | | | | | |
|X1 |1 |0 |1/55 |-50/55 |1000/55 |
Мы рассматриваем X1 - уравнение , так как коэффициент именно при
этон переменной в выражении для целевои функции изменился
на d1 .
Оптимальные значения переменных будут оставаться неизмен-
ными при значениях d1 , удовлетворяющих условию неотрицатель-
ности ( задача на отыскание максимума ) всех коэффициентов при не-
базисных переменных в Z-уравнении . Таким образом , должны выполняться
следующие неравенства :
27/110 + 1/55d1 => 0
5/22 - 50/55d1 => 0
Из первого неравенства получаем , что d1 => - 13,5 , а из второго следует
что d1 <= 1/4 . Эти результаты определяют пределы изменения коэффициента C1
в виде следующего соотношения : - 13,5 <= d1 <= 1/4 . Та-
ким образом , при уменьшении коэффициента целевой функции при
переменной X1 до значения , равного 1 + ( - 13,5 ) = - 12,5 или при его
увеличении до 1 + 13,5 = 14,5 оптимальные значения переменных остаются
неизменными . Однако оптимальное значение Z будет изменяться ( в
соответствии с выражением 2455/11 + 1000/55d1 , где - 13,5 <= d1 <= 1/4
X2 изменяется от 25 до 25 + d2 где d2 может быть как положительным ,
так и отрицательным числом . Целевая функция в этом случае принимает
следующий вид:
Z = ( 25 + d2 )X2 + X1
Все предыдущее обсуждение касалось исследования изменения
коэффициента при переменной , которой поставлено в соответствие ограничение
, фигурирующее в симплекс-таблице . Однако такое ограничение имеется лишь в
том случае , когда данная переменная является базисной ( например X1 и X2 )
. Если переменная небазисная , то в столбце , содержащем базисные
переменные , она не будет представлена .
Любое изменение коэффициента целевой функции при небазисной
переменной приводит лишь к тому , что в заключительной симплкс-таблице
изменяется только этот коэффициент . Рассмотрим в качестве иллюстрации
случай , когда коэффициент при переменной S1 ( первой остаточной переменной
) изменяется от 0 до d3 . Выполнение преобразований , необходимых для
получения заключительной симплекс таблицы , приводит к следующему
результирующему Z-уравнению :
|Базисные |X1 |X2 |S1 |S2 |Решение |
|переменные | | | | | |
|Z |0 |0 |27/110+1/55|5/22|2455/11 |
| | | |d1 | | |
