Динамика твердого тела
Работа из раздела: «
Физика»
Министерство образования и науки
Республики Казахстан
Карагандинский Государственный Университет
имени Е.А.Букетова
Кафедра общей и теоретический физики
Курсовая работа
на тему:
Динамика твердого тела
Подготовил:
________________
________________
Проверил:
________________
________________
Караганды – 2003г.
Введение
o I. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
. Кинетическая энергия вращающегося тела и работа внешних сил (ось
вращения неподвижна)
. Свободные оси. Устойчивость свободного вращения
. Центр удара
o II. Плоское движение твердого тела
. Кинетическая энергия при плоском движении
Заключение
Введение
В общем случае абсолютно твердое тело имеет 6 степеней свободы, и для
описания его движения необходимы 6 независимых скалярных уравнений или 2
независимых векторных уравнения.
Вспомним, что твердое тело можно рассматривать как систему материальных
точек, и, следовательно, к нему применимы те уравнения динамики, которые
справедливы для системы точек в целом.
Обратимся к опытам.
Возьмем резиновую палку, утяжеленную на одном из концов и имеющую
лампочку точно в центре масс (рис. 3.1). Зажжем лампочку и бросим палку из
одного конца аудитории в другой, сообщив ей произвольное вращение -
траекторией лампочки будет при этом парабола - кривая, по которой полетело
бы небольшое тело, брошенное под углом к горизонту.
|[pic] |
|Рис. 3.1. |
Стержень, опирающийся одним из концов на гладкую горизонтальную
плоскость (рис.1.16), падает таким образом, что его центр масс остается на
одной и той же вертикали - нет сил, которые сдвинули бы центр масс стержня
в горизонтальном направлении.
Опыт, который был представлен на рис. 2.2 а, в, свидетельствует о том,
что для изменения момента импульса тела существенна не просто сила, а ее
момент относительно оси вращения.
Тело, подвешенное в точке, не совпадающей с его центром масс
(физический маятник), начинает колебаться (рис. 3.2а) - есть момент силы
тяжести относительно точки подвеса, возвращающий отклоненный маятник в
положение равновесия. Но тот же маятник, подвешенный в центре масс,
находится в положении безразличного равновесия (рис. 3.2б).
|[pic] |
|Рис. 3.2. |
Роль момента силы наглядно проявляется в опытах с 'послушной' и
'непослушной' катушками (рис. 3.3). Плоское движение этих катушек можно
представить как чистое вращение вокруг мгновенной оси, проходящее через
точку соприкосновения катушки с плоскостью. В зависимости от направления
момента силы F относительно мгновенной оси катушка либо откатывается (рис.
3.За), либо накатывается на нитку (рис. 3.Зб). Держа нить достаточно близко
к горизонтальной плоскости, можно принудить к послушанию самую
'непослушную' катушку.
|[pic] |
|Рис. 3.3. |
Все эти опыты вполне согласуются с известными законами динамики,
сформулированными для системы материальных точек: законом движения центра
масс и законом изменения момента импульса системы под действием момента
внешних сил. Таким образом, в качестве двух векторных уравнений движения
твердого тела можно использовать:
Уравнение движения центра масс
|[pic] |(3.1) |
Здесь [pic]- скорость центра масс тела, [pic]- сумма всех внешних сил,
приложенных к телу.
Уравнение моментов
|[pic] |(3.2) |
Здесь L- момент импульса твердого тела относительно некоторой точки,
[pic]- суммарный момент внешних сил относительно той же самой точки.
К уравнениям (3.1) и (3.2), являющимся уравнениями динамики твердого
тела, необходимо дать следующие комментарии:
1. Внутренние силы, как и в случае произвольной системы материальных
точек, не- влияют на движение центра масс и не могут изменить момент
импульса тела.
2. Точку приложения внешней силы можно произвольно перемещать вдоль
линии, по которой действует сила. Это следует из того, что в модели
абсолютно твердого тела локальные деформации, возникающие в области
приложения силы, в расчет не принимаются. Указанный перенос не повлияет и
на момент силы относительно какой бы то ни было точки, так как плечо силы
при этом не изменится.
Векторы L и M в уравнении (3.2), как правило, рассматриваются
относительно некоторой неподвижной в лабораторной системе XYZ точки. Во
многих задачах L и M удобно рассматривать относительно движущегося центра
масс тела. В этом случае уравнение моментов имеет вид, формально
совпадающий с (3.2). В самом деле, момент импульса тела [pic]относительно
движущегося центра .масс О связан с моментом импульса [pic]относительно
неподвижной - точки O' соотношением:
|[pic] |(3.3) |
где R - радиус-вектор от O' к О, p - полный импульс тела. Аналогичное
соотношение легко может быть получено и для моментов силы:
|[pic] |(3.4) |
где F - геометрическая сумма всех сил, действующих на твердое тело.
Поскольку точка O' неподвижна, то справедливо уравнение моментов (3.2):
|[pic] |(3.5) |
Тогда
|[pic] |(3.6) |
Величина [pic]есть скорость точки О в лабораторной системе XYZ.
Учитывая (3.4), получим
|[pic] |(3.7) |
Поскольку движущаяся точка O - это центр масс тела, то [pic]([pic] -
масса тела), [pic]и [pic]то есть уравнение моментов относительно
движущегося центра масс имеет такой же вид, что и относительно неподвижной
точки. Скорости всех точек тела при определении [pic]следует брать
относительно центра масс тела.
Ранее было показано, что произвольное движение твердого тела можно
разложить на поступательное (вместе с системой x0y0z0, начало которой
находится в некоторой точке - полюсе, жестко связанной с телом) и
вращательное (вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс). С точки
зрения кинематики выбор полюса особого значения не имеет, с точки же зрения
динамики полюс, как теперь понятно, удобно поместить в центр масс. Именно в
этом случае уравнение моментов (3.2) может быть записано относительно
центра масс (или оси, проходящей через центр масс) как относительно
неподвижного начала (или неподвижное оси).
Если [pic]не зависит от угловой скорости тела, а [pic]- от скорости
центра масс, то уравнения (3.1) и (3.2) можно рассматривать независимо друг
от друга. В этом случае уравнение (3.1) соответствует просто задаче из
механики точки, а уравнение (3.2) - задаче о вращении твердого тела вокруг
неподвижной точки или неподвижной оси. Пример ситуации, когда уравнения
(3.1) и (3.2) нельзя рассматривать независимо - движение вращающегося
твердого тела в вязкой среде.
Далее в этой лекции мы рассмотрим уравнения динамики для трех частных
случаев движения твердого тела: вращения вокруг неподвижной оси, плоского
движения и, наконец, движения твердого тела, имеющего ось симметрии и
закрепленного в центре масс.
I. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.
В этом случае движение твердого тела определяется уравнением
|[pic] |
Здесь [pic]- это момент импульса относительно оси вращения, то есть
проекция на ось момента импульса, определенного относительно некоторой
точки, принадлежащей оси. [pic]- это момент внешних сил относительно оси
вращения, то есть проекция на ось результирующего момента внешних сил,
определенного относительно некоторой точки, принадлежащей оси, причем выбор
этой точки на оси, как и в случае с [pic]значения не имеет. Действительно
(рис. 3.4), [pic]где [pic]- составляющая силы, приложенной к твердому телу,
перпендикулярная оси вращения, [pic]- плечо силы [pic]относительно оси.
|[pic] |
|Рис. 3.4. |
Поскольку [pic]([pic] - момент инерции тела относительно оси вращения),
то вместо [pic]можно записать
|[pic] |(3.8) |
или
|[pic] |(3.9) |
поскольку в случае твердого тела [pic]
Уравнение (3.9) и есть основное уравнение динамики вращательного
движения твердого тела вокруг неподвижной оси. Его векторная. форма имеет
вид:
|[pic] |(3.10) |
Вектор [pic]всегда направлен вдоль оси вращения, а [pic]- это
составляющая вектора момента силы вдоль оси.
В случае [pic]получаем [pic]соответственно и момент импульса
относительно оси [pic]сохраняется. При этом сам вектор L, определенный
относительно какой-либо точки на оси вращения, может меняться. Пример
такого движения показан на рис. 3.5.
|[pic] |
|Рис. 3.5. |
Стержень АВ, шарнирно закрепленный в точке А, вращается по инерции
вокруг вертикальной оси таким образом, что угол [pic]между осью и стержнем
остается постоянным. Вектор момента импульса L, относительно точки А
движется по конический поверхности с углом полураствора [pic]однако
проекция L на вертикальную ось остается постоянной, поскольку момент силы
тяжести относительно этой оси равен нулю.
Кинетическая энергия вращающегося тела и работа внешних сил (ось
вращения неподвижна).
Скорость i -й частицы тела
|[pic] |(3.11) |
где [pic]- расстояние частицы до оси вращение Кинетическая энергия
|[pic] |(3.12) |
так как угловая скорость вращения для всех точек одинакова.
В соответствии с законом изменения механической энергии системы
элементарная работа всех внешних сил равна приращению кинетической энергии
тела:
|[pic] |(3.13) |
Работа внешних сил при повороте тела на конечный угол [pic]равна
|[pic] |(3.14) |
опустим, что диск точила вращается по инерции с угловое скоростью
[pic]и мы останавливаем его, прижимая какой-либо предмет к краю диска с
постоянным усилием. При этом на диск будет действовать постоянная по
величине сила [pic]направленная перпендикулярно его оси. Работа этой силы
|[pic] |
где [pic]- радиус диска, [pic]- угол его поворота. Число оборотов,
которое сделает диск до полной остановки,
|[pic] |
где [pic]- момент инерции диска точила вместе с якорем электромотора.
Замечание. Если силы таковы, что [pic]то работу они не производят.
Свободные оси. Устойчивость свободного вращения.
При вращении тела вокруг неподвижной оси эта ось удерживается в
неизменном положении подшипниками. При вращении несбалансированных частей
механизмов оси (валы) испытывают определенную динамическую нагрузку,
Возникают вибрации, тряска, и механизмы могут разрушиться.
Если твердое тело раскрутить вокруг произвольной оси, жестко связанной
с телом, и высвободить ось из подшипников, то ее направление в
пространстве, вообще говоря, будет меняться. Для того, чтобы произвольная
ось вращения тела сохраняла свое направление неизменным, к ней необходимо
приложить определенные силы. Возникающие при этом ситуации показаны на рис.
3.6.
|[pic] |
|Рис. 3.6. |
В качестве вращающегося тела здесь использован массивный однородный
стержень АВ, прикрепленный к достаточно эластичной оси (изображена двойными
штриховыми линиями). Эластичность оси позволяет визуализировать
испытываемые ею динамические нагрузки. Во всех случаях ось вращения
вертикальна, жестко связана со стержнем и укреплена в подшипниках; стержень
раскручен вокруг этой оси и предоставлен сам себе.
В случае, изображенном на рис. 3.6а, ось вращения является для точки В
стержня главной, но не центральной, [pic]Ось изгибается, со стороны оси на
стержень действует сила [pic]обеспечивающая его вращение (в НИСО, связанной
со стержнем, эта сила уравновешивает центробежную силу инерции). Со стороны
стержня на ось действует сила [pic]уравновешенная силами [pic]со стороны
подшипников.
В случае рис. 3.6б ось вращения проходит через центр масс стержня и
является для него центральной, но не главной. Момент импульса относительно
центра масс О не сохраняется и описывает коническую поверхность. Ось
сложным образом деформируется (изламывается), со стороны оси на стержень
действуют силы [pic]и [pic]момент которых обеспечивает приращение [pic](В
НИСО, связанной со стержнем, момент упругих сил компенсирует момент
центробежных сил инерции, действующих на одну и другую половины стержня).
Со стороны стержня на ось действуют силы [pic]и [pic]направленные
противоположно силам [pic]и [pic]Момент сил [pic]и [pic]уравновешен
моментом сил [pic]и [pic]возникающих в подшипниках.
И только в том случае, когда ось вращения совпадает с главной
центральной осью инерции тела (рис.3.6в), раскрученный и предоставленный
сам себе стержень не оказывает на подшипники никакого воздействия. Такие
оси называют свободными осями, потому что, если убрать подшипники, они
будут сохранять свое направление в пространстве неизменным.
Иное дело, будет ли это вращение устойчивым по отношению к малым
возмущениям, всегда имеющим место в реальных условиях. Опыты показывают,
что вращение вокруг главных центральных осей с наибольшим и наименьшим
моментами инерции является устойчивым, а вращение вокруг оси с
промежуточным значением момента инерции - неустойчивым. В этом можно
убедиться, подбрасывая вверх тело в виде параллелепипеда, раскрученное
вокруг одной из трех взаимно перпендикулярных главных центральных осей
(рис. 3.7). Ось AA' соответствует наибольшему, ось BB' - среднему, а ось
CC' - наименьшему моменту инерции параллелепипеда. Если подбросить такое
тело, сообщив ему быстрое вращение вокруг оси AA' или вокруг оси CC', можно
убедиться в том, что это вращение является вполне устойчивым. Попытки
заставить тело вращаться вокруг оси BB' к успеху не приводят - тело
движется сложным образом, кувыркаясь в полете.
|[pic] |
|Рис. 3.7. |
В телах вращения устойчивой оказывается свободная ось, соответствующая
наибольшему моменту инерции. Так, если сплошной однородный диск подвесить к
быстровращающемуся валу электромотора (рис. 3.8, ось вращения вертикальна),
то диск довольно быстро займет горизонтальное положение, устойчиво вращаясь
вокруг центральной оси, перпендикулярной к плоскости диска.
|[pic] |
|Рис. 3.8. |
Центр удара.
Опыт показывает, что если тело, закрепленное на оси вращения,
испытывает удар, то действие удара в общем случае передается и на ось. При
этом величина и направление силы, приложенной к оси, зависят от того, в
какую точку тела нанесен удар.
Рассмотрим сплошной однородный стержень АВ, подвешенный в точке А на
горизонтальной, закрепленной в подшипниках оси OO' (рис. 3.9). Если удар
(короткодействующая сила F ( нанесен близко к оси вращения, то ось
прогибается в направлении действия силы F (рис. 3.9а). Если удар нанесен по
нижнему концу стержня, вблизи точки В, то ось прогибается в противоположном
направлении (рис. 3.9б). Наконец, если удар нанесен в строго определенную
точку стержня, называемую центром удара (рис. 3.9в, точка С), то ось не
испытывает никаких дополнительных нагрузок, связанных с ударом. Очевидно, в
этом случае скорость поступательного движения, приобретаемого точной А
вместе с центром масс O, будет компенсироваться линейной скоростью
вращательного движения вокруг центра масс О (оба эти движения инициируются
силой F и происходят одновременно).
|[pic] |
|Рис. 3.9. |
Вычислим, на каком расстоянии [pic]от точки подвеса стержня находится
центр удара. Уравнение моментов относительно оси вращения OO' дает
|[pic] |(3.15) |
Сил реакции со стороны оси, как предполагается, при ударе не возникает,
поэтому на основании теоремы о движении центра масс можно записать
|[pic] |(3.16) |
где [pic]- масса тела, [pic]- скорость центра масс. Если [pic]-
расстояние от оси до центра масс тела, то
|[pic] |(3.17) |
и в результате из уравнения моментов и уравнения движения центра масс
находим
|[pic] |(3.18) |
При этом точка C (центр удара) совпадает с так называемым центром
качания данного физического маятника - точкой, где надо сосредоточить всю
массу твердого тела, чтобы полученный математический маятник имел такой же
период колебаний, как и данный физический.
В случае сплошного однородного стержня длиной [pic]имеем:
|[pic] |
Замечание. Полученное выражение для [pic](3.18) справедливо и для
произвольного твердого тела. При этом надо только иметь в виду, что точка
подвеса тела А и центр масс О должны лежать на одной вертикали, а ось
вращения должна совпадать с одной из главных осей инерции тела, проходящих
через точку А.
Пример 1. При ударах палкой длиной [pic]по препятствию рука 'не
чувствует' удара (не испытывает отдачи) в том случае, если удар приходится
в точку, расположенную на расстоянии [pic]свободного конца палки.
Пример 2. При горизонтальном ударе кием по бильярдному шару (рис. 3.10)
шар начинает качение без проскальзывания в том случае, еcли удар нанесен в
точку, находящуюся на высоте
|[pic] |
от поверхности бильярда, то есть на [pic]выше центра шара. Если удар
будет нанесен ниже, качение будет сопровождаться скольжением в направлении
движении шара. Если удар нанесен выше, то шар в точке касания с бильярдным
столом будет проскальзывать назад.
|[pic] |
|Рис. 3.10. |
Рассмотренные примеры формально не относятся к вращению твердого тела
вокруг неподвижной оси, однако все приведенные выше соображения о центре
удара, очевидно, остаются в силе и в этих случаях.
II. Плоское движение твердого тела.
Напомним, что при плоском движении все точки тела движутся в
плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости, поэтому
достаточно рассмотреть движение одного из сечения тела, например, того, в
котором лежит центр масс. При разложении плоского движения на
поступательное и вращательное скорость поступательного движения определена
неоднозначно - она зависит от выбора оси вращения, однако угловая скорость
вращательного движения оказывается одной и той же.
Если в качестве оси вращения выбрать ось, проходящую через центр масс,
то уравнениями движения твердого тела будут:
1. Уравнение движения центра масс
|[pic] |(3.19) |
2. Уравнение моментов относительно оси, проходящей через центр масс
|[pic] |(3.20) |
Особенностью плоского движения является то, что ось вращения сохраняет
свою ориентацию в пространстве и остается перпендикулярной плоскости, в
которой движется центр масс. Еще раз подчеркнем, что уравнение моментов
(3.20) записано относительно, в общем случае, ускоренно движущегося центра
масс, однако, как было отмечено в начале лекции, оно имеет такой же вид,
как и уравнение моментов относительно неподвижной точки.
В качестве примера рассмотрим задачу о скатывании цилиндра с наклонное
плоскости. Приведем два способа решения этой задачи с использованием
уравнений динамики твердого тела.
Первый способ. Рассматривается вращение цилиндра относительно оси,
проходящее через центр масс (рис. 3.11).
|[pic] |
|Рис. 3.11. |
Система уравнений (3.19 - 3.20) имеет вид:
|[pic] |
К этой системе необходимо добавить уравнение кинематической связи
|[pic] |(3.23) |
Последнее уравнение получается из условия, что цилиндр скатывается без
проскальзывания, то есть скорость точки М цилиндра равна нулю.
Уравнение движения центра масс (3.1) запишем для проекций ускорения и
сил на ось x вдоль наклонной плоскости, а уравнение моментов (3.22) - для
проекций углового ускорения и момента силы трения на ось y , совпадающую с
осью цилиндра. Направления осей x и у выбраны согласованно, в том смысле,
что положительному линейному ускорению оси цилиндра соответствует
положительное же угловое ускорение вращения вокруг этой оси. В итоге
получим:
|[pic] |
откуда
|[pic] |(3.27) |
Следует подчеркнуть, что [pic]- сила трения сцепления - может принимать
любое значение в интервале от О до [pic](сила трения скольжения) в
зависимости от параметров задачи. Работу эта сила не совершает, но
обеспечивает ускоренное вращение цилиндра при его скатывании с наклонной
плоскости. В данном случае
|[pic] |(3.28) |
Если цилиндр сплошной, то
|[pic] |(3.29) |
Качение без проскальзывания определяется условием
|[pic] |(3.30) |
где [pic]- коэффициент трения скольжения, [pic]- сила реакции опоры.
Это условие сводится к следующему:
|[pic] |(3.31) |
или
|[pic] |(3.32) |
Второй способ. Рассматривается вращение цилиндра относительно
неподвижной оси, совпадающей в данный момент времени с мгновенной осью
вращения (рис. 3.12).
|[pic] |
|Рис. 3.12. |
Мгновенная ось вращения проходит через точку соприкосновения цилиндра и
плоскости (точку М). При таком подходе отпадает необходимость в уравнении
движении центра масс и уравнении кинематической связи. Уравнение моментов
относительно мгновенной оси имеет вид:
|[pic] |(3.33) |
Здесь
|[pic] |(3.34) |
В проекции на ось вращения (ось y)
|[pic] |(3.35) |
Ускорение центра масс выражается через угловое ускорение
|[pic] |(3.36) |
Кинетическая энергия при плоском движении.
Кинетическая энергия твердого тела представляет собой сумму
кинетических энергий отдельных частиц:
|[pic] |(3.37) |
где [pic]- скорость центра масс тела, [pic]- скорость i-й частицы
относительно системы координат, связанной с центром масс и совершающей
поступательное движение вместе с ним. Возводя сумму скоростей в квадрат,
получим:
|[pic] |(3.38) |
так как [pic](суммарный импульс частиц в системе центра масс равен
нулю).
Таким образом, кинетическая энергия при плоском движении равна сумме
кинетических энергий поступательного и вращательного движений (теорема
Кенига). Если рассматривать плоское движение как вращение вокруг мгновенной
оси, то кинетическая энергия тела есть энергия вращательного движения.
В этой связи задачу о скатывании цилиндра с наклонной плоскости можно
решить, используя закон сохранения механической энергии (напомним, что сила
трения при качении без проскальзывания работу не совершает).
Приращение кинетической энергии цилиндра равно убыли его потенциальное
энергии:
|[pic] |(3.39) |
Здесь [pic]- длина наклонной плоскости, [pic]- момент инерции цилиндра
относительно мгновенной оси вращения.
Поскольку скорость оси цилиндра [pic]то
|[pic] |(3.40) |
Дифференцируя обе части этого уравнения по времени, получим
|[pic] |(3.41) |
откуда для линейного ускорения [pic]оси цилиндра будем иметь то же
выражение, что и при чисто динамическом способе решения (см. (3.27, 3.36)).
Замечание. Если цилиндр катится с проскальзыванием, то изменение его
кинетической энергии будет определяться также и работой сил трения.
Последняя, в отличие от случая, когда тело скользит по шероховатой
поверхности, не вращаясь, определяется, в соответствии с (3.14), полным
углом поворота цилиндра, а не расстоянием, на которое переместилась его
ось.
Заключение
Динамика твердого тела на данном этапе используется для тел, движущихся
в сплошной среде.
В задаче о полете тела с тремя несущими поверхностями при наличии
динамической асимметрии определены условия, при которых проявляются
синхронизмы 1:3. С увеличением угловой скорости вращения тела около
продольной оси даже на поверхности рассеивания заметно ослабление этого
эффекта.
Разработана программа имитационного моделирования комплекса задач по
динамике полета противоградовых ракет. С ее помощью построены таблицы
введения поправок на установочные углы запуска ракет для наилучшей
компенсации вредного влияния ветра.
Создана механико-математическая модель полета бумеранга. Открыта
лаборатория навигации и управления.
Разработан и внедрен на аэродинамической трубе А-8 комплекс
механического оборудования и сопутствующей измерительной аппаратуры для
проведения динамических испытаний моделей. Определены коэффициенты
демпфирования поперечных колебаний осесимметричных оперенных тел различного
удлинения при раскрутке вокруг собственной оси в до- и сверхзвуковом
потоках.
На основе численного решения задачи о плоских движениях
аэродинамического маятника (с несущей поверхностью в виде прямоугольной
пластины) в несжимаемой жидкости с учетом динамики вихрей определены
области существования всех типов движения маятника, включая режимы
автоколебаний и авторотации. Открыта лаборатория сверхзвуковой
аэродинамики.
Также в институте компьютерных исследований проводят значимые
исследования по динамике твердого тела.
Это направление исследований института связано с анализом движения
твердого тела с широким применением компьютерных методов.
Компьютерные исследования в динамике твердого тела относятся к
отдельной области науки - компьютерной динамике, которая устанавливает
общие закономерности движения систем при помощи различных численных методов
и алгоритмов.
В сочетании с аналитическими методами, достижениями топологии, анализа,
теории устойчивости и других методов компьютерная динамика применяется,
главным образом, в исследовании интегрируемых задач, в частности,
динамических проблем теории волчков. Такой подход позволяет получить
достаточно полное представление о движении, разобраться во всем его
многообразии и наглядно представить себе каждое конкретное движение и его
особенности.
Помимо анализа интегрируемых ситуаций в институте начато исследование
случаев хаотического поведения в динамике твердого тела. Эти исследования,
которые ранее почти не проводились, основаны на широком применении
высокоточного компьютерного моделирования. Ожидается, что изучение этой
области динамики твердого тела позволит получить в перспективе много новых
интересных результатов.
Кроме того, в институте проводятся исследования с использованием
методов пуассоновой динамики и геометрии, теории групп и алгебр Ли -
методов, которые во многом возникли из задач динамики твердого тела.
