Способ определения живучести связи (вероятности связности)
Работа из раздела: «
Радиоэлектроника»
СПОСОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЖИВУЧЕСТИ.
Определению живучести связи (вероятности связности) между двумя
конкретными узлами сети i и j посвящен целый ряд работ [1-5]. Однако расчет
точного ее назначения сопряжен с большими вычислительными трудностями.
Представляет интерес найти простой способ определения вероятности связности
сети, который позволял бы оперативно и вручную проводить на стадии
проектирования оценку различных вариантов их построения.
Рассмотрим сеть той же мостиковой структуры, что и в [1] (рис.1). Для
простоты будем полагать вероятности исправного функционирования всех ребер
сети одинаковыми и равными р , а неисправного функционирования - равными
q=1-p. Для оценки живучести воспользуемся методом прямого перебора
состояний элементов сети связи [5]. На основании биноминального закона
вероятность пребывания сети связи в состоянии, когда i любых ребер сети
отказали,[pic], где [pic]- биноминальный коэффициент; N – число ребер сети.
Например, для сети, изображенной на рис. 1, живучесть связи р13
зависит от следующей
совокупности независимых событий: исправного состояния сети в целом –
вероятность этого события равна р3; повреждения любого одного ребра сети –
вероятность [pic] одновременного повреждения любых двух ребер сети, за
исключением двух случаев, когда оба ребра подходят к узлу 1 или к узлу 3 –
вероятность[pic] одновременного повреждения трех ребер сети, подходящих к
узлу 2 или 4 – вероятность 2р2q3.
Суммируя все вероятности независимых событий, получаем искомое
выражение :
[pic]
что полностью совпадает полученными результатами в [1].
Аналагично для всех остальных пар узлов сети рис. № 1.
[pic]
[pic]
Из анализа видно, что
[pic]
Связанной сетью являются сеть, в которой любой из узлов соединен с
остальными узлами сети. Вероятность связанности сети рис. № 1
[pic]
так как эта сеть допускает все одиночные повреждения ребер и восемь двойных
повреждений ребер. Вероятность связности сети меньше или равна живучести
связи между любой парой узлов сети, в данном случае рс<р13.
С точки зрения характеристики сети интерес представляют вероятность
рс, минимальная рмин и максимальная рмакс живучести связи между любой
парой узлов сети и соотношения между ними. Для сети рис №1: рс < рмин = р13
< р12 = р14 = р23 = р34 < р24 =рмакс.
Аналогично можно найти выражения для вероятности связности
полносвязных сетей. Для сети с тремя вершинами (n=3)
[pic] (1)
для n=4;
[pic] (2)
для n=5;
[pic] (3)
для n=6;
[pic] (4)
Для рс при n=7….10 расчетные формулы не приводятся из-за
громоздкости.
Вероятность связности для кольцевых сетей связи, т.е. сетей, у
которых степень для каждой вершины равна 2 (степенью вершины d называются
число граней графа сети, инцидентных данной вершине [6]),
[pic]
На рис 2 определена зависимость рс от р для кольцевых сетей при
различных n. Из ее анализа видно, что вероятность связности кольцевых сетей
падает с увеличением числа узлов сети при одних и тех же значениях р.
Рис № 2.
На практике довольно редко встречаются полносвязные сети. Обычно
бывают сети с небольшими степенями вершин. Имеется большое семейство графов
(так называемых равнопрочных) , в которых степень вершины d, число вершин n
и общее число граней m связаны следующим соотношением: d=2m/n (при n>2).
Например для шестиугольника (n=6) без резервирования связей можно
построить четыре различных графа с d=2, 3, 4, 5. Вероятности связности этих
графов определяется следующими выражениями:
При d=2 (рис. 3,а)
[pic] (5)
при d=3 (рис. 3,б)
[pic] (6)
при d=4 (рис. 3,в)
[pic] (7)
При n=8 можно построить шесть различных графов с d=2…..7; вероятность
связности этих графов определится следующими выражениями:
d=2 (рис. 4,а)
[pic] (8)
d=3 (рис. 4,б)
[pic] (9)
d=4 (рис. 4,в)
[pic](10)
Расчетные формулы для рс при d=5 и 6 из-за громоздкости не
приводятся.
На рис 5 и 6 представлены зависимости вероятности связности сети с
n=6, 8 соответственно при различных d (сплошные линии), построенные по
формулам (5) – (10). Из рисунков видно, что увеличение вероятности
связности сети с увеличением d при неизменном p объясняется тем , что с
увеличением d возрастает разветвленность сети связи.
К сожалению, ловольно трудно получить аналитическое выражение для
вероятности связности сети рассматренного семейство графов при различных d
и n, за исключением полносвязных сетей с d = n – 1 [см.выражение (1) –
(4)]. По этому целесобразно определять верхнюю груницу вероятности
связности графов. Если граф связный, то в нем не может быть изолированных
вершин. В этом случае каждой вершине должна быть инцидента по крайней мере
одна ветвь.
Пусть Ai – событие, когда не существует неповрежденных ветвей,
инцидентных вершине i, p(Ai) – вероятность этого события; 1 – p(Ai) –
вероятность дополнительного события, когда существует по крайней мере одна
целая ветвь, инцидентная вершине i, Поэтому вероятность того, что у всех
вершин есть по крайне мере одна целая ветвь, т.е. есть связана, ограничена
неравенством:
[pic] (11)
На рис. 5,6 представлены зависимости (11) для n=6, и d=2…..7
(штриховые линии). Сравнение кривых показывает, что верхнюю границу
вероятности связности сети, особенно при больших d.
Таким образом, полученная простая верхняя оценка вероятности
связности равнопрочных сетей связи дает шорошее приближение к точному
значению вероятности связности сети при больших значениях d.
-----------------------
1
2
3
4 Рис № 1.
n=3
4
5
7
10
p
0 0,2 0,4 0,6 0,8
1
0,8
0,6
0,4
0,2
рс
а) б)
в)
Рис 3
а) б)
в)
Рис 4
рс
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
p
Рис. 5
5
4
3
d=2
Рис. 6
рс
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0 0,2 0,4 0,6 0,8 ?†??????????????
1
p
5
4
3
d=2
6
7
