Расчетно-графическая работа

§1. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

1п. Общий вид нелинейного уравнения
F(x)=0
Нелинейные уравнения могут быть двух видов:
Алгебраические

anxn + an-1xn-1 +… + a0 = 0
Трансцендентные- это уравнения в которых х является аргументом
тригонометрической, логарифмической или показательной функции.


Значение х0 при котором существует равенство f(x0)=0 называется корнем
уравнения.
В общем случае для произвольной F(x) не существует аналитических формул
определения корней уравнения. Поэтому большое значение имеют методы,
которые позволяют определить значение корня с заданной точностью. Процесс
отыскания корней делиться на два этапа:
Отделение корней, т.е. определение отрезка содержащего один корень.
Уточнение корня с заданной точностью.
Для первого этапа нет формальных методов, отрезки определяются или
табуляцией или исходя из физического смысла или аналитическими методами.
Второй этап, уточнение корня выполняется различными итерационными методами,
суть которых в том, что строится числовая последовательность xi сходящихся
к корню x0
Выходом из итерационного процесса являются условия:
|f(xn)|??
|xn-xn-1|??
рассмотрим наиболее употребляемые на практике методы: дихотомии, итерации и
касательных.


2 п. Метод половинного деления.
Дана монотонная, непрерывная функция f(x), которая содержит корень на
отрезке [a,b], где b>a. Определить корень с точностью ?, если известно, что
f(a)*f(b)<0

Суть метода
Данный отрезок [a,b]  делится пополам, т.е. определяется x0=(a+b)/2,
получается два отрезка [a,x0] и [x0,b], далее выполняется проверка знака на
концах, полученных отрезков для отрезка, имеющего условия f(a)*f(x0)?0 или
f(x0)*f(b)?0 снова проводится деление пополам координатой х, снова
выделение нового отрезка и так продолжается процесс до тех пор
     пока |xn-xn-1|??



Приведем ГСА для данного метода



3п. Метод итерации.
Дана  непрерывная функция f(x), которая содержит единственный корень на
отрезке [a,b], где b>a. Определить корень с точностью ?.

Суть метода
Дано f(x)=0 (1)
Заменим уравнение (1) равносильным уравнением x=?(x) (2). Выберем грубое,
приближенное значение x0 , принадлежащее[a,b], подставим его в правую часть
уравнения (2), получим:
x1= ?(x0)  (3) , далее подставим х1 в правую часть уравнения (3) получим:

x2= ?(x1)  (4)

x3= ?(x2)  (5)
Проделаем данный процесс n раз получим  xn=?(xn-1)
Если эта последовательность является сходящейся т.е. существует предел
x* =lim xn , то данный алгоритм позволяет определить искомый корень.
Выражение (5) запишем как x*= ?(x*)  (6)

Выражение (6) является решением выражения (2), теперь необходимо
рассмотреть в каких случаях последовательность х1…хn является сходящейся.

Условием сходимости является если во всех токах x принадлежит [a,b]
выполняется условие:

Приведем ГСА для метода итерации:



4 п. Метод касательных (Ньютона).
Дана  непрерывная функция f(x), которая содержит единственный корень на
отрезке [a,b], где b>a при чем определены непрерывны и сохраняют знак f`(x)
f``(x). Определить корень с точностью ?.

Суть метода
Выбираем грубое приближение корня х0 (либо точку a, либо b)
Наити значение функции точке х0 и провести касательную до пересечения с
осью абсцисс, получим значение х1
Определить значение функции в точке х1, через эту точку провести
касательную получим точку х2
Повторим процесс n раз


Если процесс сходящийся то xn  можно принять за искомое значение корня

Условиями сходимости  являются:
|f(xn)|??
|xn-xn-1|??

Приведем ГСА метода касательных:



5п. Задание для РГР
Вычислить корень уравнения

На отрезке [2,3] с точностью ?=10-4 методами половинного деления, итерации,
касательных.
6 п. Сравнение методов
Эффективность численных методов определяется их универсальностью, простотой
вычислительного процесса, скоростью сходимости.
Наиболее универсальным является метод половинного деления, он гарантирует
определение корня с заданной точностью для любой функции f(x), которая
меняет знак на [a,b]. Метод итерации и метод Ньютона  предъявляют к
функциям более жесткие требования, но они обладают высокой скоростью
сходимости.
Метод итерации имеет очень простой алгоритм вычисления, он применим для
пологих функций.

Метод касательных применим для функций с большой крутизной, а его
недостатком является определение производной на каждом шаге.



 ГСА головной программы, методы оформлены подпрограммами.



Программа по методам половинного деления, итерации и метода Ньютона.

CLS
  -
a = 2: b = 3: E = .0001

DEF FNZ (l) = 3 * SIN(SQR(l)) + .35 * l - 3.8

F1 = FNZ(a): F2 = FNZ(b)

IF F1 * F2 > 0 THEN PRINT 'УТОЧНИТЬ КОРНИ': END

GOSUB 1

x0 = a

IF ABS((-3 * COS(SQR(x))) / (.7 * SQR(x))) > 1 THEN PRINT 'НЕ СХОДИТСЯ'

DEF FNF (K) = -(3 * SIN(SQR(x)) - 3.8) / .35

GOSUB 2

x0 = b

F = FNZ(x0)

DEF FND (N) = (3 * COS(SQR(N)) / (2 * SQR(N))) + .35
  _

IF F * (-4.285 * (-SQR(x0) * SIN(SQR(x)) - COS(SQR(x))) / (2 * x * SQR(x)))
< then print “не сходится”:end
GOSUB 3

END

'=========Метод половинного деления========

1 x = (a + b) / 2: T = T + 1

F3 = FNZ(x)

IF ABS(F3) < E THEN 5

IF F1 * F3 < 0 THEN b = x ELSE a = x

IF ABS(b - a) > E THEN 1
  -
5 PRINT 'X='; x, 'T='; T

RETURN

'=========Метод итерации==========

2 x0 = a

12 X2 = FNF(x0): S = S + 1

IF ABS(X2 - x0) > E THEN x0 = X2: GOTO 12

PRINT 'X='; X2, 'S='; S

RETURN

'========Метод касательных=======

3 x0 = b

23 D = D + 1

  F = FNZ(x0): F1 = FND(x0)

X3 = x0 - F / F1

IF ABS(X3 - x0) < E THEN 100

IF ABS(F) > E THEN x0 = X3: GOTO 23

100 PRINT 'X='; X3, 'D='; D

RETURN
Ответ

x= 2,29834  T=11

x=2,29566   S=2

x=2,29754   D=2

где T,S,D-число итерации для метода половинного деления, итерации,
касательных соответственно.



-----------------------
Конец

Вывод x,F3

|b-a|>?

a=x1

b=x1

нет

да

F1* F3<0

да

да

нет

нет

|F3| ? ?

F3=f(x)

X=(a+b)/2

Конец

нет

да

F1*F2>0

F1=f(a); F2=f(b)

Ввод а,b,?

Начало

Уточнить a,b


[pic]

Конец

Вывод x1

да

нет

|x1|-|x0|>?

x1=?(x0)

Ввод x0,?

Начало

x0=x1

[pic]

[pic]

нет

да

|f(x)|>?

x0=x1

Конец

Вывод x1

да

нет

|x1-x0|0


F1 , F2

Ввод а,b,?

КОНЕЦ


Процедура метода касательных

нет

да

да

Fx*Fx``<0

Ввод х0

Процедура метода итерации

нет

FI1(x0)?1

?(x0)=FI, FI1=?`(x0)

F=f(x0), F1=f`(x0), F2=f``(x0)

ВВОД x0 ,?

Уточнить a,b

 Метод не сходится

НАЧАЛО