Динамическое представление данных
Работа из раздела: «
Программирование и комп-ры»
Р Е Ф Е Р А Т
на тему :
“ Динамическое представление сигналов “
Выполнил: Зазимко С.А.
Принял : Котоусов А.С.
МОСКВА
Динамическое представление сигналов.
Многие задачи радиотехники требуют специфической формы представления
сигналов. Для решения этих задач необходимо располагать не только
мгновенным значением сигнала, но и знать как он ведет себя во времени,
знать его поведение в “прошлом” и “будущем”.
ПРИНЦИП ДИНАМИЧЕСКОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ.
Данный способ получения моделей сигналов заключается в следующем:
Реальный сигнал представляется суммой некоторых элементарных
сигналов, возникающих в последовательные моменты времени. Теперь, если мы
устремим к нулю длительность отдельных элементарных сигналов, то в пределе
получим точное представление исходного сигнала. Такой способ описания
сигналов называется динамическим представлением , подчеркивая тем самым
развивающийся во времени характер процесса.
На практике широкое применение нашли два способа динамического
представления.
Первый способ в качестве элементарных сигналов использует ступенчатые
функции, которые возникают через равные промежутки времени ( . Высота
каждой ступеньки равна приращению сигнала на интервале времени (. В
результате сигнал может быть представлен как на рисунке 1.
[pic]
рис. 1
При втором способе элементарными сигналами служат прямоугольные
импульсы. Эти импульсы непосредственно примыкают друг к другу и образуют
последовательность, вписанную в кривую или описанную вокруг нее . В этом
случае исходный сигнал имеет вид как на рисунке 2.
[pic]
рис. 2
Теперь рассмотрим свойства элементарных сигналов. Для начала :
используемого для динамического представления по первому способу.
ФУНКЦИЯ ВКЛЮЧЕНИЯ.
Допустим имеется сигнал, математическая модель которого выражается
системой :
( 0, t < -(,
u(t) ( ( 0.5(t/(+1), -( ( t ( (, (1)
( 1, t > (.
Такая функция описывает процесс перехода некоторого физического
объекта из “нулевого” в “единичное” состояние.
[pic]
Переход совершается по линейному закону за время 2(. Теперь если параметр
( устремить к нулю, то в пределе переход из одного состояния в другое
будет происходить мгновенно. Такая математическая модель предельного
сигнала получила название функции включения или функции Хевисайда :
((((( ((((((((( t < ((
((t((((((((((((((( t ( ((
(2)
((((((((( t ( ((
В общем случае функция включения может быть смещена относительно
начала отсчета времени на величину t0. Запись смещенной функции такова :
((((( ((((((((( t < t0(
((t - t0(((( ((((((((( t ( t0(
(3)
((((((((( t ( t0(
ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО СИГНАЛА ПОСРЕДСТВОМ
ФУНКЦИЙ ВКЛЮЧЕНИЯ.
Рассмотрим некоторый сигнал S(t), причем для определенности скажем,
что S(t)=0 при t<0. Пусть {(,2(,3(,...} - последовательность моментов
времени и {S1,S2,S3,...} - отвечающая им последовательность значений
сигнала. Если начальное значение сигнала есть S0=S(0), то текущее значение
сигнала при любом t можно приближенно представить в виде суммы
ступенчатых функций :
(
s(t)(s0((t)+(s1-s0)((t-()+...=s0((t)+((sk-sk-1)((t-k().
k=1
. Если теперь шаг ( устремить к нулю. то дискретную переменную k( можно
заменить непрерывной переменной (. При этом малые приращения значения
сигнала превращаются в дифференциалы ds=(ds/d()d( , и мы получаем
формулу динамического представления произвольного сигнала посредством
функций Хевисайда
(
( ds
S(t)=s0 ((t) + ( ((t-() d( (4)
( d(
0
Переходя ко второму способу динамического представления сигнала ,
когда элементами разложения служат короткие импульсы, следует ввести новое
важное понятие - понятие дельта-функции.
ДЕЛЬТА - ФУНКЦИЯ .
Рассмотрим импульсный сигнал прямоугольной формы, заданный следующим
образом :
1 ( ( (
(
u(t;() = ----- ( ( (t + ---- ) - ( (t - ---- ) (
(5)
( ( 2 2 (
[pic]
При любом выборе параметра ( площадь этого импульса
равна единице :
(
П = ( u dt = 1
- (
Например, если u - напряжение, то П = 1 В*с.
Теперь устремим величину ( к нулю. Импульс, сокращаясь по
длительности, сохраняет свою площадь, поэтому его высота должна
неограниченно возрастать. Предел последовательности таких функций при ( (
0 носит название дельта-функции , или функции Дирака[1] :
((t) = lim u (t;()
((0
Дельта функция - интересный математический объект. Будучи равной
нулю всюдю, кроме как в точке t = 0 [2] дельта-функция тем не менее
обладает единичным интегралом. А вот так выглядит символическое
изображение дельта-функции :
[pic]
ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛА ПОСРЕДСТВОМ ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЙ.
Теперь вернемся к задаче описания аналогового сигнала суммой
примыкающих друг к другу прямоугольных импульсов (рис. 2) . С помощью
дельта-функции u (t) представимо в виде совокупности примыкающих импульсов.
Если Sk - значение сигнала на k - ом отсчете, то элементарный импульс
с номером k представляется как :
(k(t) = Sk [ ((t - tk) - ((t - tk - () ] (6)
В соответствии с принципом динамического представления исходный
сигнал S (t) должен рассматриваться как сумма таких элементарных слагаемых
:
(
S(t) = ( ( (t) (7)
k= - ( k
В этой сумме отличным от нуля будет только один член, а именно тот,
что удовлетворяет условию для t :
tk < t < tk+1
Теперь, если произвести подстановку формулы (6) в (7)
предварительно разделив и умножив на величину шага (, то
( 1
S(t) = ( Sk --- [ ((t - tk) - ((t - tk - () ] (
k=- ( (
Переходя к пределу при ( ( 0 , необходимо суммирование заменить
интегрированием по формальной переменной (, дифференциал которой d( ,будет
отвечать величине ( .
Поскольку
1
lim [ ((t - tk) - ((t - tk - () ] ---
(((
(
получим искомую формулу динамического представления сигнала
(
S (t) = ( s (() ((t - () d(
- (
Итак, если непрерывную функцию умножить на дельта-функцию и
произведение проинтегрировать по времени, то результат будет равен
значению непрерывной функции в той точке, где сосредоточен ( - импульс.
Принято говорить, что в этом состоит фильтрующее свойство дельта-
функции.[3]
[pic]
Из определения дельта-функции следует (3) . Следовательно,
интеграл дельта-функции от - ( до t есть единичный скачок , и
дельта-функцию можно рассматривать как производную единичного скачка :
((t) = 1’ (t) ;
((t-t0) = 1’ (t-t0) .
Обобщенные функции как математические модели сигналов.
В классической математике полагают, что функция S(t) должна
принемать какие-то значения в каждой точке оси t . Однако рассмотренная
функция ((t) не вписывается в эти рамки - ее значение при t = 0 не
определено вообще, хотя эта функция и имеет единичный интеграл. Возникает
необходимость расширить понятие функции как математической модели сигнала.
Для этого в математике была введено принципиально новое понятие обобщенной
функции.
В основе идеи обобщенной функции лежит простое интуитивное
соображение. Когда мы держим в руках какой-нибудь предмет , то стараемся
изучить его со всех сторон, как бы получить проекции этого предмета на
всевозможные плоскости. Аналогом проекции исследуемой функции ((t) может
служить, например, значение интеграла
(
( ((t) ((t) dt
(8)
- (
при известной функции ((t) , которую называют пробной функцией.
Каждой функции ((t) отвечает, в свою очередь, некоторое конкретное
числовое значение. Поэтому говорят, что формула (8) задает некоторый
функционал на множестве пробных функций ((t). Непосредственно видно, что
данный функционал линеен, то есть
((, ((((((((2) = a((,(() + (((,(2).
Если этот функционал к тому же еще и непрерывен, то говорят, что на
множестве пробных функций ((t) задана обобщенная функция ((t) [4].
Следует сказать, что данную функцию надо понимать формально-аксиоматически,
а не как предел соответствующих интегральных сумм.
Обобщенные фнкции , даже не заданные явными выражениями, обладают
многими свойствами классических функкций. Так, обобщенные функции можно
дифференцировать.
И в заключение следует сказать, что в настоящее время теория
обобщенных функций получила широкое развитие и многочисленные применения.
На ее основе созданы математические методы изучения процессов, для которых
средства классического анализа оказываются недостаточными.
Литература :
1. А. Л. Зиновьев, Л. И. Филипов ВВЕДЕНИЕ В
ТЕОРИЮ СИГНАЛОВ И ЦЕПЕЙ.
2. С. И. Баскаков РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
И СИГНАЛЫ.
-----------------------
[1] Также эту функцию называют единичной импульсной функцией,
[2] Говорят, что дельта-функция сосредоточена в этой точке.
[3] Отсюда вытекает структурная схема систем, осуществляющей измерение
мгновенных значений аналогового сигнала S(t). Система состоит из двух
звеньев : перемножителя и интегратора.
[4] Обобщенные функции иногда называют также распределениями.
