VII Соросовская олимпиада. Заочный тур Математика 9 класс

VII Соросовская олимпиада. Заочный тур Математика 9 класс

9-I-1. Изобразите на плоскости множество  точек,  координаты  (x;y)  которых
удовлетворяют уравнению x3 + y3 = x2y2 + xy.
9-I-2. Найдите a, b, c, d, при которых для  всех  x  имеет  место  равенство
||x| - 1| = a|x| + b|x - 1| + c|x + 1| + d .
9-I-3. Представьте 102 в виде  суммы  наибольшего  числа  различных  простых
чисел.
9-I-4. Расстояние между городами A и B равно 30 км.  Из  A  выехал  автобус,
который через каждые 5 км делает остановку продолжительностью 2  мин.  Между
остановками  автобус  движется  со  скоростью  80   км/ч.   Одновременно   с
отправлением автобуса  из  A  навстречу  ему  из  B  выезжает  велосипедист,
который едет со скоростью 27 км/ч. На каком расстоянии  от  A   велосипедист
встретится с автобусом?
9-I-5. При всех допустимых значениях a и b решите уравнение
 x3 / (x - a)(x - b) + a3 / (a - b)(a - x) + b3 / (b - x)(b - a) = x2 + a +
                                     b.
9-I-6. Две вершины прямоугольника расположены  на  стороне  BC  треугольника
ABC, а две другие на сторонах AB и AC. Известно, что середина  высоты  этого
треугольника, проведенной  к  стороне  BC,  лежит  на  одной  из  диагоналей
прямоугольника, а сторона прямоугольника, расположенная на BC,  в  три  раза
меньше BC. В каком отношении высота треугольника делит сторону BC?
9-I-7. Стороны AB и CD четырехугольника ABCD при продолжении пересекаются  в
точке E. На диагоналях AC и BD взяты соответственно точки M  и  N  так,  что
AM/AC  =  BN/BD  =  k.  Найдите  площадь  треугольника  EMN,  если   площадь
четырехугольника ABCD равна S.
9-I-8.  Дан  треугольник  ABC.  На  его  сторонах  BC,   CA   и   AB   взяты
соответственно точки A1, B1 и C1 так, что 2(B1A1C1 + (BAC =  180(,  2(A1C1B1
+ (ACB = 180(, 2(C1B1A1 + (CBA = 180(. Найдите геометрическое место  центров
окружностей,  описанных  около   треугольников    A1B1C1    (рассматриваются
всевозможные такие треугольники).