Лекции по Математическому анализу

                   Непрерывность и арифметические операции

Пусть [pic] и [pic]непрерывна в т. х0 , тогда справедливо:
1. Сумма этих ф-ий непрерывна в т. х0 ;
[pic]- непрерывна в точке х0
2. Произведение этих ф-ий непрерывно в т. х0
[pic]- непрерывна в точке х0
3. Отношение этих функций непрерывно в тех  точках,  в  которых  знаменатель
отличен от нуля, т.е. если знаменатель (0.
[pic]

Доказательство: [pic]


                         Непрерывность сложной ф-ии.

Пусть:
|Ф-ия [pic]- непрерывна в т. y0 |                                            |
|.                              |(тогда сложная ф-ия [pic]- непрерывна в т.  |
|Ф-ия [pic]- непрерывна в т. х0 |х0 .                                        |
|.                              |                                            |
|[pic]                          |                                            |


Доказательство:
А). [pic]

Б).[pic]
[pic]
из А) и Б) следует:
[pic]

Sl. [pic]

                      Непрерывность ф-ии на множестве.
Df. Ф-ия непрерывна на множестве Х ,  если  она  непрервна  в  каждой  точке
этого меожества.
      Непрерывность обратной ф-ии:
Пусть  [pic]-  непрерывна  и  строго  монотонна  на  промежуте  Х  ,   тогда
справедливо:
1. *****
2. На промежутке Y существует непрерыная обратная ф-ия [pic].
3. Характер монотонности обратной ф-ии такой же как и прямой.
   Непрерывность элементарной ф-ии:
1. **********
2. Доказательство непрерывности  основной  элементарной  ф-ии  tg  и  ctg  ,
   следует из свойств непрерыности элементарных ф-ий.
3.  Непрерывность  log,  arcsin,  arccos,  arstg  следует   из   определения
   непрерывности обратной ф-ии.
Df Элементарные ф-ии, полученные из основных  элементарных  ф-ий  с  помощью
арифметических операций, взятых в конечном числе,********

                     Характеристика точек разрыва ф-ии.
1. Точка устранимого разрыва.
D(f) т. х0 называется точкой устранимого разрыва ф-ии  [pic],  если  она  не
определена в этой точке, но имеет конечный предел.

Ф-ию можно сделать непрерывной в этой точке, доопределив ей значение в  этой
точке равным пределом.
[pic]

2. Точка разрыва первого рода.
D(f)  х0  –  точка  разрыва   первого   рода,   если   существует   конечный
левосторонний и правосторонний предел не равные между собой.
[pic]
Разницу (b-a)называют скачком ф-ии в т. х0

3. Точка разрыва второго рода.
*********************************

                      Односторонняя непрерывность ф-ии.
1. Если в D(f)1 непрерывности предел  заменить  односторонним  пределом,  то
   получим определение односторонней непрерывности ф-ии.
2. Ф-ия называется  непрерывной  в  точке  х0  справа,  если  правосторонний
   предел совпадает со значением ф-ии.
3. Ф-ия называется непрерывной в точке х0 слева, есди  левосторонний  предел
   совпадает со значением ф-ии.
Например:
[pic]- исследуем предел ф-ии справа и слева:
[pic]ф-ия непрепывна в точке х=0.
Для непрерывности в  точке  х0  необходимо  и  достаточно,  чтобы  она  была
непрерывна слева и справа в этой точке.


                    Свойства ф-й, непрерывных на отрезке

Ф-ия называется  непрерывной  на  отрезке  [a,b],  если  она  непрерывна  на
интервале(a,b) и в т. а непрерывна справа а в т. b – слева.
Т1: Ф-ия [pic], непрерывная на [a,b], ограничена на этом отрезке.
[pic]- непрерывная на [a,b] [pic]
D(f) : число М называется наибольшим значением ф-ии на отрезке  [a,b],  если
существует такое число  [pic].
D(f) :точка называется наименьшим значекнием ф-ии на [a,b], если [pic]
Т2  :  ф-ия  [pic],  непрерывная  на  [a,b],имеет  на  [a,b]  наибольшее   и
наименьшее значения.
Т3 : *************

Sl1 : ((f) ф-ии, непрерывной на отрезке, является отрезок
Sl2 (Т3): ф-ия, непрерывная на отрезке [a,b],  имеющая  различные  по  знаку
значения, на его границах обязательно обращается в  ноль,  хотя-бы  в  одной
точке этого отрезка.

*******************************************


                         Дифференциальное счисление.
Ф-ия одной переменной.
1. Задачи, приводящие к понятию производной.
3.1. Задача о вычислении скорости точки, движущейся вдоль прямой.
Пусть точка движется вдоль прямой х.
****************************************** -  l-единичный  вектор,  задающий
направление вдоль прямой.
[pic]
[pic]
[pic]      [pic]
3.2 Построение касательной к кривой с уравнением [pic] в т. х0 .
********************      [pic]
Задачи, различные по смыслу, из разных областей науки, свелись к  вычислению
одного и того же предела. В таких случаях  в  математике  абстрагируются  от
крнкретных задач и изучают отдельно предел ф-й.

                    Определение призводной ф-ии в точке.
Обозначение: [pic]
Df1 Производной ф-ии [pic]в т. х называют предел отношения  приращения  ф-ии
в этой т. к приращению аргумента, при стремлении последнего к нулю.
[pic]

Пример: [pic]
[pic]
[pic]- непрерывная.
[pic]


                  Степень ф-ии с вещественным показателем.
Справка: [pic].
[pic]
                      Геометрический смысл производной.
Из второй задачи следует, что поизводная ф-ии [pic] в т. х0  =тангенсу  угла
наклона касательной, проведенной к графику ф-ии в этой точке.
Sl1 : Уравнение касательной к кривой. Его можно написать, зная точку,  через
которую она проходит, и угловой коэффициент [pic]
[pic]где x и y – координаты т. на касательной.
Sl2 : Уравнение нормали. Его можно написать, зная точку, через  которую  она
проходит и угловой коэффициент [pic]
[pic], x и y – точки на нормали.

                       Механический смысл производной.
************

                          Дифференцируемость ф-ии.
Df : Ф-ия [pic] дифференцируема в точке х0 , если приращение  ф-ии  в  точке
сможет быть представлено в виде:
[pic], А – const.
Dh: Для дифференцирования ф-ии в т. х0 , необходимо и  достаточно,  чтобы  в
этой точке существовала производная.
Доказательство: (необходимость)
[pic]
(достаточность): [pic]

                 Производная суммы, произведения, частного.
Dh:Пусть ф-ия [pic] и [pic]дифференцируемы в точке х0 , тогда в  этой  точке
дифференцируемы  их  сумма,  произведение  и  частное,  причем   выполняются
формулы:
1. [pic]
2. [pic]
3. [pic], если [pic]
Лемма: Ф-ия, дифференцируема в точке х0 , непрерывнна в этой точке.
[pic]- дифф. в т. х0 [pic]
                       обратное утверждение неверно!!!

                        Производная от const ф-ии =0.
Если [pic]
Доказательство:
[pic]
Zm1:  При  вычислении  производной,  константу  можно   выносить   за   знак
производной.
[pic]
Zm2: Данные  формулы  можно  рассматривать  на  большее  число  слагаемых  и
сомножителей.

Df: Линейным колебанем системы из т. ф-ий[pic] называется сумма  призведения
этих ф-ий на производную и постоянную.
[pic]

Zm: Свойство линейности производной.
Из доказанных свойств, следует, что производная от линейных колебаний ф-й  =
линейные комбинации призводных.
[pic]
                        Производная от обратной ф-ии.
Dh: Пусть [pic] в точке х0 имеет:
1. [pic]
2. на промежутке, содержащем х0 , обратную ф-ию [pic]
3. [pic]
тогда в точке х0 существует [pic], равная [pic]