Приближенное решение уравнений

     Управление образования администрации г. Норильска средняя школа №36



                        Научная работа по математике


            тема : 'Приближенное вычисление корней в уравнениях'.



                                              Выполнили: Мамедалиева Ирада и
                                                              Павлова Галина
                                                        ученицы 11'А' класса
                                                           средней школы №36

                                                       Научный руководитель:
                                                          учитель математики
                                                          средней школы № 36
                                                               Крайняя В.В..



                              Норильск 2000 г.



                                 Содержание.

   1. Введение.
   2. Приближённое решение уравнений :
  2.1 Способ хорд (или способ линейной интерполяции).
     2. Способ касательных (или способ Ньютона).
     3. Комбинированный способ (комбинированное применение способов хорд и
        касательных).
   3. Заключение.
   4. Список литературы.
   5. Приложение :
      а) рисунок № 1
      б) рисунок № 2
      в) рисунок № 3
      г) рисунок № 4
      д) рисунок № 5
      е) рисунок № 6
      ж) рисунок № 7



                       Приближённое решение уравнений.


 Если квадратные уравнения решали уже  древние  греки,  то  способы  решения
алгебраических уравнений третьей и четвёртой степени  были  открыты  лишь  в
XVI веке. Эти классические способы дают точные значения  корней  и  выражают
их через коэффициенты уравнения при  помощи  радикалов  различных  степеней.
Однако эти способы приводят к громоздким вычислениям и поэтому  имеют  малую
практическую ценность.


В отношении алгебраических уравнений пятой и высших степеней  доказано,  что
в общем случае их  решения  не  выражаются  через  коэффициенты  при  помощи
радикалов. Не выражаются в радикалах, например, корни  уже  такого  простого
по виду уравнения, как:


х^5-4х-2=0


Сказанное, однако, не означает отсутствия в науке методов решения  уравнения
высших степеней. Имеется много способов приближенного  решения  уравнений  -
алгебраических и неалгебраических (или, как их  называют,  трансцендентных),
позволяющих вычислять их корни с любой, заранее заданной степенью  точности,
что для практических целей вполне достаточно.


На простейших из таких способов мы и остановимся, причём речь будет  идти  о
вычислении действительных корней.


Пусть нужно решить уравнение:


                                                                      f(x)=0
                                        (1)


Если обратиться к рисунку,  то  каждый  корень  уравнения  (1)  представляет
собой абсциссу точки пересечения графика функции y=f(х)

C осью Ох (рисунок №1)
С помощью графика функции или  каким-нибудь  иным  способом  обычно  удаётся
установить приблизительные значения корней. Это позволяет для каждого  корня
получить грубые приближения по недостатку и по избытку. Такого  рода  грубых
приближений во многих случаях оказывается достаточно, чтобы, отправляясь  от
них, получить все значения корня с требуемой точностью.  Об  этом  и  пойдёт
речь.
Итак, пусть корень Е уравнения (1) 'зажат' между двумя его  приближениями  а
и b по недостатку и по избытку а< E0, f``(х)>0  (рисунок  №3),  -  в
остальных случаях рассуждение вполне аналогично. В  этом  первом  случае  x1
лежит между a и Е. С отрезком [x1, b] поступаем так же, как мы  поступаем  с
отрезком [a, b] (рисунок №4). При этом  для  нового  приближённого  значения
корня получаем:


 x1 = x2-(b- x1)*f(x1)/f(b)-f(x1)


( в формуле (2) заменяем x1  на x2, а на  x1  );  значение  x2   оказывается
между x1 и Е. Рассматриваем отрезок [x2, b]  и  находим  новое  приближённое
x3,  заключённое  между  x2  и   Е   и.   т.   д.   В   результате   получим
последовательность  а0
Найдём первое приближённое значение корня по формуле (2):
х1=1-91,7-1)* f(1)/ f(1,7)- f(1)=1,588;
так как f(1,588)=-0,817<0, то, применяя вторично способ хорд  к   промежутку
(1,588; 1,7), найдём второе приближённое значение корня:
 х2= 1,588-(1,7-1,588) f(1,588)/ f(1,7)- f(1,588)=1,639;
f(1,639)=-0,051<0.
Теперь найдём третье приближённое значение:
х3=1,639-(1,7-1,639) f(1,639)/ f(1,7)- f(1,639)=1,642;
f(1,642)=-0,016<0.
Теперь найдём четвёртое приближённое значение:
х4=1,642-(1,7-1,642) f(1,642)/ f(1,7)- f(1,642)=1,643;
f(1,643)=0,004>0
Следовательно, искомый корень с точностью до 0,01 равен 1,64.


                            2.2  Способ касательных (или способ Ньютона).

В том из концов дуги  АВ  (рисунок  №5),  в  котором  знаки  f(х)  и  f``(х)
совпадают, проводим касательную и  за  первое  приближённое  значение  корня
принимаем абсциссу х1` точки Д  пересечения  этой  касательной  с  осью  Ох.
Обратимся вновь  к  первому  случаю,  соответствующему  первому  рисунку  №2
(f`(x)>0,  f``(x)>0),  -   в   остальных   случаях   рассуждают   опять-таки
аналогично. Уравнение интересующей нас касательной имеет вид:
y-f(b)=f`(b)(x-b),
и поэтому в точке Д:
-f(b)=f`(b)(x1`-b),
откуда:
  x1`=b-f(b)/f`(b).
Из рисунка видно, что x1` лежит между Е и b. С отрезком [a,  x1`]  поступаем
так же, как с отрезком [a, b] ( рисунок  №5),  и  в  результате  для  нового
приближённого значения корня получим:
х2` = x1`- f( x1`)/ f`( x1`).
Значение х2` оказывается между Е и x1`. Рассматриваем  отрезок  [a,  х2`]  и
находим   новое   приближение   х3`   и   т.   д.   В   результате   получим
последовательность:
b> x1`> х2`> х3`>…>xn`>…>E (7)
все более точных приближённых значений корня, причём:
xn+1`= xn`- f(xn`)/ f`( xn`) (8)
Эта формула справедлива для всех четырёх случаев,  изображённых  на  рисунке
32.  Для   оценки   погрешностей    полученных   приближений   можно   опять
воспользоваться формулой (5), как и в первом случае,  легко  устанавливается
сходимость последовальности x1`, х2`, х3`,…,xn`,… к значению Е
Пример №2. Методом касательных найдём положительный  корень уравнения
x^4-2x-4=0
с точностью до 0,01.
Решение:
В этом уравнении f(х)=х^4-2x-4, f`(х)=4х^3-2,а f``(х)=12x^2.Так как  f(х)  и
f``(х) при х0 = 1,7 имеют один и тот же знак, а именно:
 f(1,7)=0,952>0 и f``(1,7)>0, то применяем формулу:
x1`= х0- f(х0)/ f`( х0), где f`(1,7)=4*1,7^3-2=17,652. Тогда
x1=1,7- 0,952/17,652=1,646.
Применяем второй раз способ касательных:
х2= x1- f(x1)/ f` (x1),  где f(x1)= f(1,646)=0,048,  f` (1,646) =15,838;
x^2=1,646-0,048/15,838=1,643;
f(1,643)=0,004, f` (1,643)=15,740;
х3=1,643-0,004/15,740=1,6427.
Следовательно, искомый корень с точностью до 0,01 равен 1,64.

                         2.3 Комбинированный способ

          (комбинированное применение способов хорд и касательных).
Этот  способ  состоит  в  одновременном  использовании   способов   хорд   и
касательных. Остановим своё внимание опять  на  случае,  отвечающем  первому
рисунку №2. Значения  x1  и  x1`,  вычисляем  по  прежним  формулам,  т.  е.
принимаем:
x1=a-(b-a)f(a)/f(b)-f(a),
                            (10)
x1`=b-f(b)/f`(b), причём: x10  изображён  на  рисунке
№7. Из этого рисунка видно, что уравнение имеет  положительный  единственный
корень, лежащий на отрезке 10,f``(x)>0  т.   е.   знак
производных сохраняется. Применяем комбинированный способ:
f(a)=f(1)=-0,2, f(b)=f(1,1)=0,31051, f`(b)=f`(1,1)=6,3205.
Формулы (10) дают:
 x1=1+0,1*0,2/0,51051=1,039,
x1`=1,1-0,31051/6,3205=1,051
При этом x1`- x1=0,012, т. е. точность недостаточна. Совершаем второй шаг:
f(1,039)=-0,0282;f(1,051)=0,0313,f`(1,051)=5,1005.
 По формулам(11):
х2=1,039=0,012*0,0282/0,0595=1,04469,х2`=1,051-0,0313/5,1005=1,04487.
При этом х2`- х2=0,00018, т. е. точность достаточна. Таким образом:
1,04469