Конспект по дискретной математики
Работа из раздела: «
Математика»
Дискретная математика
Введение
Общество 21в. – общество информационное. Центр тяжести в решении задач
переместился от задач вычислительной математики к задачам на дискретных
структурах. Математика нужна не как метод расчета, а как метод мышлению
средство формирования и организации…
Такое владение математикой богатой культуры, понимание важности точных
формулировок.
В дисциплине мало методов, но много определений и терминов. В основе
дискретной математике 4 раздела:
1. Язык дискретной математики;
2. Логические функции и автоматы;
3. Теория алгоритмов;
4. Графы и дискретные экстремальные задачи.
Теория алгоритмов и формальных систем является центральной в дисциплине. В
настоящие время от нее возникли ответвления, например, разработка
алгоритмических языков программирования.
Одной из важнейших проблем в дискретной математики является проблема
сложности вычислений.
Теория сложности вычислений помогает оценить расход времени и памяти при
решении задач на ЭВМ. Теория сложности позволяет выделить объективно
сложные задачи (задачи перебора) и неразрешимые задачи.
Мы будем заниматься решением задач реальной размерности с учетом
ограниченности временных и емкостных ресурсов ЭВМ.
Множества и операции над ними
Одно из основных понятий математики – множество.
Определение:
Множеством называется совокупность, набор предметов, объектов или
элементов.
Множество обозначают: M,N …..
m1, m2, mn – элементы множества.
Символика
A ( M – принадлежность элемента к множеству;
А ( М – непринадлежность элемента к множеству.
Примеры числовых множеств:
1,2,3,… множество натуральных чисел N;
…,-2,-1,0,1,2,… - множество целых чисел Z.
[pic] множество рациональных чисел а.
I – множество иррациональных чисел.
R – множество действительных чисел.
K – множество комплексных чисел.
Множество А называется подмножеством В, если всякий элемент А является
элементом В.
А ( В – А подмножество В (нестрогое включение)
Множества А и В равны, если их элементы совпадают.
A = B
Если А ( В и А ( В то А ( В (строгое включение).
Множества бывают конечные и бесконечные.
|М| - мощность множества (число его элементов).
Конечное множество имеет конечное количество элементов.
Пустое множество не содержит элементов: M = (.
Пример: пустое множество:
1) множество действительных корней уравнения x2+1=0 пустое: M = (.
2) множество (, сумма углов которого ( 1800 пустое: M = (.
Если дано множество Е и множество и мы рассматриваем все его подмножества,
то множество Е называется униварсельным.
Пример: Если за Е взять множество книг то его подмножества: художественные
книги, книги по математике, физики, физики …
Если универсальное множество состоит из n элементов, то число подмножеств
= 2n.
Если [pic], состоящее из элементов E, не принадлежащих А, называется
дополненным.
Множество можно задать:
1) Списком элементов {a,b,c,d,e};
2) Интервалом 1 очн. рефлексивное и матрица содержит на главной диагонали
единицу
если ни для какого а не … ==> отношение антирефлексивное
главная диагональ содержит нули
Пр. отношнний
( рефлексивное
< антирефлексивное
2. Если из aRb следует bRa, ==> отношение R симметричное. В матрице
отношения элементы
сумм Cij=Cji. Если из aRb и bRa следует a=b ==> отношение R –
антисимметричное.
Пр. Если а ( b и b ( a ==> a=b
3. Если дано ( a,b,c из aRb и aRc следует aRC ==> отношение называемое
транзитивным.
4. Отношение называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно,
симметрично и транзитивно.
Пр. отношение равенства E
5. Отношение называется отношением нестрогого порядка, если оно
рефлексивно,
антисимметрично и транзитивно. Отношение называется отношением
строгого порядка,
если оно антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно.
Пр. а) отношение ( u ( для чисел отношение нестрогого
б) отношение < u > для чисел отношение строгого
Лекция: Элементы общей алгебры
Р. Операции на множествах
Множество М вместе с заданной на нем совокупностью операций ( = {(1,…, (m},
т.е. система А = {М1;(1,…, (m} называется алгеброй. ( - сигнатура.
Если M1(M и если значения (( M1), т.е. замкнуто ==> A1={М1;(1,…, (m}
подалгебра A.
Пр. 1. Алгебра (R;+;*) – называется полем действительных чисел обе операции
бинарные и
поэтому тип этой алгебры (2;2)
2. B=(Б;(;() – булева алгебра. тип операций (2;2;1)
Р. Свойства бинарных алгебраических операций
запись a(b.
1. (a(b)(c=a((b(c) – ассоциативная операция
Пр. +,x – сложение и умножения чисел ассоциативно
2. a(b = b(a – коммутативная операция
Пр. +,x – коммутат.
–; : – некоммут.
умножение мат A(B ( B(A – некоммутативно.
3. a((b(c) = (a(b) ((a(c) –дистрибутивность слева
(a(b)(c) = (a(с) ((b(c) –дистрибутивность справа.
Пр. (ab)e=aebe – возведение в степень дистрибутивного отношения
произведения справа
но не abc ( abac
Р. Гомоморфизм и изоморфизм
Алгебры с разными членами имеют различные строения. Алгебры с одинаковыми
членами имеют сходство. Пусть даны две алгебры A=(K; (I) и B=(M; (I) –
одинакового типа.
Пусть отображение Г:K(M при условии Г((I)= (I(Г), (1) т.е. результат не
зависит от последовательности возможных операций: Или сначала вып. операции
(I b А и затем отображении Г, или сначала отображение Г, или сначала
отображение Г и затем отображение (I в В.
Тогда условие (1) называется Гомоморфизмом алгебры А в алгебру В.
Когда существует взаимооднозначный гомоморфизм его называют изоморфизмом.
В этом случае существует обратное отображение Г-1.
Мощности изоморфных алгебр равны.
Пр. Алгебры (QN; +) и (Q2; +) – отображение типа и условие (1)
запишется как 2(а+b)=2а+2b.
Отношение изоморфизма является отношением эквивалентности на множестве
алгебр, т.е вычисление рефлексивное, симметричности и транзитивности.
Изоморфизм важнейшее понятие в математике. Полученные соотношения в алгебре
А автоматически …. на изоморфные алгебры.
-----------------------
А
В
A
C
B
A
B
Объединение трех множеств:
AUB AUB
А
В
А
В
С
В
А
А
В
A
B
A \ B
а) взаимнооднозначное соответствеие (отображение)
а) не взаимнооднозначное соответствеие (отображение)
Мх
My
x=2 ( y=2
y=2 ( x=2..4
не взаимнооднозначное соответствие.
2
2 3 4
y
X
-(/2
(/2
1-ый элемент 1-го множества
1-ый элемент
2-го множества
}
1
1
С=
101
010
001
