Преобразования плоскости, движение

                          Преобразования плоскости

                        Отображение плоскости на себя

  Отображенем плосости на себя называется такое преоброзование, что  каждой
точке исходной плоскости сопоставляется какая-то точка  этой  же  плоскости,
причем любая любая точка плоскости оказывается сопоставленой  другой  точке.
Если при отображении плоскости на себя фигура F преобразовывается  в  фигуру
F', то говорят, что фигура F' - образ  фигуры  F,  а  фигура  F  -  прообраз
фигуры F'. Если одним отображением фигура  F  переводится  в  фигуру  F',  а
затем фигура F' переводится в фигуру F'', то отображение,  переводящее  F  в
F'' называется композицией двух отображений. Неподвижной точкой  отображения
называется такая точка A которая этим отображением переводится сама в  себя.
Отображение,  все  точки  которого  неподвижные   называется   тождественным
отображением.   Если   при   данном   отображении   разным   точкам   фигуры
соответствуют  разные  образы,  то  такое  отображение  называется   взаимно
однозначным. Пусть фигура  F'  получена  из  фигуры  F  взаимно  однозначным
отображением f, то можно задать отображение обратное отображению f,  которое
определяется так:  композиция  отображения  f  и  отображения,  обратного  f
является тождественным отображением. Существует множество видов  отображения
плоскости на себя, рассмотрим некоторые из них:

Движения
 . Параллельный перенос
 . Осевая симметрия
 . Поворот вокруг точки
 . Центральная симметрия
Подобие
 . Гомотетия

                                  Движение

  Движением  называется  отображение  плоскости  на   себя   при   которром
сохранаяются  все  расстояния  между  точками.  Движение  имеет  ряд  важных
свойств:

Три точки, лежащие на одной прямой, при  движении  переходят  в  три  точки,
лежащие на одной прямой, и три точки, не лежащие на одной прямой,  переходят
в три точки, не лежащие на одной прямой.

  Докозательство: пусть движение переводит точки A, B, C в  точки  A',  B',
C'. Тогда выполняются равенства
                A'B'=AB ,  A'C'=AC ,  B'C'=BC            (1)
  Если точки A, B, C лежат на одной прямой, то одна из них, например  точка
B лежит между двумя другими.  В этом случае  AB+BC=AC,  и  из  равенств  (1)
следует, что A'C'+B'C'=A'C'. А из этого следует, что точка  B'  лежит  между
точками A' и C'. Первое утверждение  доказано.  Второе  утверждение  докажем
методом от противного: Предположим, что точки A',  B',  C'  лежат  на  одной
прямой даже в том случае, если точки A, B, C не лежат на  одной  прямой,  то
есть являются вершинами треугольника. Тогда  должны  выполнятся  неравенства
треугольника:
                                  AB0  называется  отображение  плоскости,  при
котором любым двумя точкам X и Y соответсвуют  такие  точки  X'  и  Y',  что
X'Y'=kXY.
  Отметим, что при k=1 подобие является движением, то  есть  движение  есть
частный случай подобия.
  Фигура F называется подобной фигуре F' с коэффициентом k, если существует
подобие с коэффициентом k, переводящее F в F'.
  Простейшим, но важным примером подобия является гомотетия



                                  Гомотетия

  Гомотетией с центром  в  точке  O  и  коэффициентом  k  называется  такое
отображение плоскости, при  котором  каждой  точке  X  сопоставляется  такая
точка X', что OX' = kOX, причем не ислючается и возможность k<0.
  При k =(1 получается центральная симметрия с центром в точке O, при k  =1
получается тождественное преобразование.

  Основное свойство гомотетии
  При  гомотетии  с  коэфффициентом  k  каждый  вектор  умножается  на   (.
Подробнее: если точки ( и ( при гомотетии  с  коэффффициентом  (  перешли  в
точки (' и (', то
                                 ('(' = (((
  Доказательство.
  Пусть точка ( ( центр гомотетии. Тогда ((' = (((, ((' = (((. Поэтому ('('
= ((' ( ((' = ((( ( ((( = (((( ( (() = (((.
  Из равнетсва ('(' = ((( следует, что A'B' = |k|AB, то  есть  гомотетия  с
коэффициентом k является подобием с коэфффициентом |k|.
  Отметим, что любое подобие с коэффициентом (  можно  представить  в  виде
композиции гомотетии с коэффициентом ( и движения.
  Некоторые свойства гомотетии
Гомотетия отрезок переводит в отрезок.
Гомотетия сохраняет величину углов.
.
Композиция двух гомотетий с общим центром и коэффициентами k1  и  k2  ,будет
гомотетией  с  тем  же  центром  и  коэффициентом  Преобразование,  обратное
гомотетии  с  коэффициентом  (  будет  гомотетией  с  тем   же   центром   и
коэффициентом 1/k.

                              Свойства подобия.

Подобие отрезок переводит в отрезок.
Подобие сохраняет величину углов.
Подобие треугольник переводит в  треугольник.  Соответсвенные  стороны  этих
треугольников пропорциональны, а соответсвенные углы равны
В результате подобия с коэффициентом ( площади фигур умножаются на (2.
Композиция подобий с коэффициентами k1 и k2  есть  подобие  с  коэффициентом
k1k2.
Подобие обратимо. Отображение,  обратное  подобию  с  коэффициентом  (  есть
подобие с коэффициентом 1/(.