Справочник по геометрии (7-9 класс)
Работа из раздела: «
Математика»
[pic]
Выполнил:
ученик 9А класса
средней школы № 135
Матвеев Евгений.
Руководитель проекта:
Очеретина Т.В.
Казань 2004 г.
7 класс.
Глава I.
Точки, прямые, отрезки.
Через любые две точки Если две прямые
имеют общую
можно провести прямую, точку, то они
пересекаются.
и притом только одну.
[pic] [pic]
Прямая а и точки А и В.
Прямая а и b пересекаются в точке О.
Две прямые либо имеют только одну общую точку,
либо не имеют общих точек.
Угол.
Угол – это геометрическая фигура, Угол называется
развёрнутым, которая состоит из точки и двух лучей, если обе его
стороны
исходящих из этой точки. лежат на одной
прямой.
[pic] [pic]
Угол с вершиной О и сторонами h и k. Развёрнутый
угол с вершиной С
и сторонами p и q.
Развёрнутый угол = 180є; Неразвёрнутый угол
< 180є .
Луч, исходящий из вершины угла и Два угла, у которых одна
общая
делящий его на два равных угла, сторона общая, а две
другие
называется биссектриса угла. являются продолжениями
одна
другой, называются смежными.
Два угла, называются вертикальными,
если стороны одного угла являются Сумма смежных углов = 180є.
продолжениями сторон другого.
Две пересекающиеся прямые
Вертикальные углы равны. называются
перпендикулярными,
если они образуют 4 прямых угла.
Глава I I.
Треугольники.
Треугольник – геометрическая фигура, РАВС = АВ+ВС+СА.
кот-ая состоит из 3 точек, не лежа-
щих на 1 прямой, соединённых отрезками.
[pic] В равных треугольниках против
Треугольник с вершинами А, В, С и соответственно равных
сторон
Сторонами а, b, c. лежат
равные углы, также против
соответственно равных равных
углов лежат равные стороны.
Теорема: Если 2 стороны и угол Теорема: Из точки, не лежа-
между ними 1-го треугольника щей на прямой, можно провести
соответственно равны 2 сторонам перпендикуляр к этой, и притом
и углу между ними другого только один.
треугольника, то треугольники равны.
Отрезок, соединяющий вершину треуг- Отрезок бисс-сы угла треуг-ка,
ка с серединой противоположной сто- соединяющий вершину треуг-ка
роны, называется медианой треуг-ка. с точкой противоположной сторо-
ны, называется бисс-
сой треуг-ка.
Перпендикуляр, проведённый из верши-
ны треуг-ка к прямой, содержащей Треуг-к, у кот-го 2 стороны
равны,
противоположную сторону, называ- называется равнобедренным.
ется высотой треуг-ка.
[pic] Теорема: В равнобедренном
треуг-ке
ВН - высота треуг-ка АВС. углы при основании
равны.
Теорема: В равнобедренном Высота равнобедренного треуг-ка, про-
треуг-ке бисс-са, проведённая ведённая к основанию, является
медианой
к основа-нию, является и бисс-сой.
медианой и высотой.
Медиана,
проведённая к основанию, явля-
ется высотой и
бисс-сой.
Теорема: Если сторона и 2 Теорема: Если три стороны 1го
прилежащих к ней угла 1го треуг-ка соответственно равны
3ём
треуг-ка соответственно рав- сторонам другого треуг-ка, то такие
ны стороне и 2 прилежащим к треуг-ки равны.
ней углам другого треуг-ка, то
такие треуг-ки равны.
Определение: Окружность называется геометр-ая фигура, состоя-щая из всех
точек, располож-ых на заданном расс-нии от данной точки.
Глава I I I.
Параллельные прямые.
Определение: Две прямые Теорема: Если при пересечении 2 пря-
на плоскости параллельны, мых секущей накрест лежащие углы рав-
если они не пересекаются. ны, то прямые параллельны.
[pic] Теорема: Если при пересечении 2 пря-
Накрест лежащие – 3 и 5, 4 и 6. мых секущей
соответственные углы рав-
Односторонние – 4 и 5, 3 и 6. ны, то прямые
параллельны.
Соответственные – 1 и 5, 4 и 8,2 и 6, 3 и 7.
Теорема: Если при пересече- Теорема: Если две параллельные пря-
нии 2 прямых секущей сумма мые пересечены секущей, то накрест
односторонних углов равна лежащие углы равны.
180є, то прямые параллельны.
Теорема: Если
две прямые пересечены
Теорема: Если две парал- секущей, то сумма односторонних углов
лельные прямые пересечены равна 180є.
секущей, то соответствен-
ные углы равны.
Глава IV.
Соотношения между сторонами
и углами треугольника.
Теорема: Сумма углов Внешний угол треуг-ка = сумме двух углов тре-
треуг-ка = 180є. уг-ка, не смежных с ним.
В любом треугольнике либо Теорема: В треуг-ке против большей сто-
все углы острые, либо два роны лежит больший угол, против большего
два угла острые, а третий угла лежит большая сторона.
тупой или прямой.
В прямоугольном треуг- ке гипотенуза Если два угла треуг-ка равны, то
больше катета. треуг-к –
равнобедренный.
Теорема: Каждая сторона Для любых 3 точек А,В,С, не лежащих на
треугольника меньше суммы одной прямой, справедливы неравенства:
2 других сторон. АВ радиуса, то пря- ности перпендикулярна к r, прове-
мая и окружность не имеют общих дённому в точку касания.
точек.
Теорема: Если прямая проходит
Отрезки касательных к окружнос- через конец r, лежащий на окруж-
ти, проведённые из 1ой точки, рав- ности, и перпендикулярна к этому
ны и составляют равные углы с r, то она является касательной.
прямой, проходящей через эту точ-
ку и центр окружности. Дуга является
полуокружностью.
Угол с вершиной в центре окруж- Если дуга АВ окружности с центром
ности — её центральный угол. О < полуокружности или является
полуокружностью, то её градусная
Сумма градусных мер 2ух дуг ок- мера считается равной градусной
ружности с общими концами = мере центрального угла АОВ. Если же
= 360°. дуга АВ >
полуокружности, то её
градусная
мера считается =
Угол, вершина кот-го лежит на = 360°–<АОВ.
окружности, а стороны пересе-
кают окружность, называется Теорема: Вписанный угол измеряя-
вписанным углом. ется Ѕ дуги, на кот-ую
он опирается.
Луч ВО совпадает с 1ой из сто- Луч ВО делит угол АВС на 2 угла,
если
рон угла АВС. луч ВО пересекает
дугу АС.
Луч ВО не делит угол АВС на 2 Вписанные углы, опирающиеся на 1 и
ту
угла и не совпадает со сторона- же дугу, равны.
ми этого угла, если луч ВО не
пересекает дугу АС. Вписанный угол, опирающийся
на полу-
окружность,
-- прямой.
Теорема: Если 2 хорды ок- Теорема: Каждая точка бисс-сы
ружности пересекаются, то неразвёрнутого угла равноудалена
произведение отрезков 1ой от его сторон. Каждая точка, ле-
хорды = произведению отрез- жащая внутри угла и равноудалённая
ков другой хорды. от сторон угла, лежит на
его бисс-се.
Бисс-сы 3-угольника пересека- Серединным перпендикуляром к
отрезку
ются в 1ой точке. называется прямая,
проходящая через
середину
отрезка и перпендикулярная
Теорема: Каждая точка се- к нему.
рединного перпендикуляра к
отрезку равноудалена от концов Серединные перпендикуляры к сторо-
этого отрезка. Каждая точка, нам 3-угольника пересекаются в 1ой
равноудалённая отконцов отрез- точке.
ка, лежит на серединном перпен-
дикуляре. Теорема: в любой 3-
угольник мож-
но вписать
окружность.
Теорема: Высоты 3-угольника
(или их продолжения) пересека- В 3-угольник можно вписать только 1у
ются в 1ой точке. окружность.
Теорема: Около любого треу- В любом вписанном 4-угольнике сумма
гольника можно онисать окруж- противоположных углов = 180°.
ность.
Если сумма противоположных углов 4-угольника = 180°, то около него можно
описать окружность.
Глава IX.
Векторы.
Физические величины, характери- Определение: Отрезок, для кот-
зуещиеся направлением в прост- го указано, какой из его концов счи-
ранстве – векторные. тается началом, а какой –
концом,
называется
вектором.
Длина (модуль) – длина АВ.
Длина
нулевого вектора = 0.
Нулевые векторы называются
коллинеарными, если они лежат Если 2 вектора направлены одинаково,
либо на одной прямой, либо на то эти векторы – сонаправлены.
параллельных прямых; нулевой
вектор считается коллинеар- Если 2 вектора направлены противопо-
ным любому вектору. ложно, то они противоположно
напра-
влены.
Определение: Векторы,
называются равными, если От любой точки М можно отложить
они сонаправлены и их дли- вектор, равный данному вектору г, и
ны равны. притом только один.
Теорема: для любых векторов ?, ? и ? справедливы равенства:
1. ? + ? = ? + ? (переместительный закон);
2. ( ? + ? )+ ? = ? +( ? + ? ).
Теорема: Для любых векто- Произведение любого вектора на число
ров ? и ? справедливо равенство: 0 есть нулевой вектор.
? – ? = ? + ( - ? ).
Для любого числа k и любого векто- ( kl )?=k( l? ) (сочетательный
закон);
ра ? векторы ? и k? коллинеарны. ( k+ l )?=k?+l?(1ый рспред-ный
закон);
k(?+?
)=k?+k?.
Теорема: Средняя линия тра-
пеции параллельна основаниям
и = их полусумме.
9 класс.
Глава X.
Метод координат.
Лемма: Если векторы ? и ? Теорема: Любой вектор можно раз-
коллинеарны и ?=0, то сущес- ложить по 2ум данным неколлинеар-
твует такое число k, что ?=k?. ным векторам, причём коэффициен-
ты
разложения определяются един-
Каждая координата суммы 2ух ственным образом.
векторов = сумме соответству-
ющих координат этих векторов. Каждая координата произведения век-
тора на
число = произведению соот-
Каждая координата разности ветствующей координаты вектора
2ух векторов = разности соот- на это число.
ветствующих координат век-
тора на это число. Координаты точки М =
соответству-
ющим
координатам её радиус-вектора.
Каждая координата вектора =
разности соответствующих ко- Каждая координата середины отрезка
ординат его конца и начала. равна полусумме соответствующих ко-
ординат его
концов.
Глава XI.
Соотношения между сторонами
и углами 3-угольника.
Скалярное произведение
векторов.
Для любого угла ? из промежут- tg угла ?(?=90°) называется отношение
ка 0° <180° sin угла ? называ- sin?/cos?.
ется ордината у точки М, а cos
угла ? – абсцисса х угла ?. sin(90°-- ?)= cos ?
Теорема: S 3-угольника = Ѕ Теорема: Стороны 3-угольника про-
произведения 2ух его сторон на порциональны sin противолежащих
sin угла между ними. углов.
Теорема: Квадрат стороны 3-угольника = сумме квадратов 2ух других сторон –
удвоенное произведение этих сторон на cos угла между ними.
а2=b2+с2-2bс cos ?.
Скалярным произведением 2ух Скалярный квадрат вектора = квадра-
векторов называется произве- ту его длины.
дение их длин на cos угла между
ними.
Теорема: Скалярное произведение векторов а( х1; у1) и b( х2; у2 )
выражается формулой:
ab=х1 х2 +у1 у2.
Нулевые векторы а( х1; у1) и cos угла а между нулевыми векторами
b( х2; у2 )перпендикулярны а( х1; у1) и b( х1; у1) выражается
формулой:
тогда и только тогда, ког- cos ?= х1 х2 +у1 у2 / х1+у1 х2 + у2.
да х1 х2 + у1 у2 = 0.
Для любых векторов а, b, с и любого числа k справедливы соотношения:
а2>0, причём а2>0 при а=0.
аb=bа (переместительный закон).
( а+ b )с=ас+ bс (распределительный закон).
( kа )b=k( ab) (сочетательный закон).