Преобразования фигур

                      Малоязовская башкирская гимназия



                                  Геометрия



                                   Реферат

                                  на тему:
                           “Преобразования фигур”



                                                Выполнил: ученик 10 Б класса
                                                              Халиуллин А.Н.
                                                  Проверила: Исрафилова Р.Х.



                               Малояз 2003 год



План:

 I. Преобразование.
II. Виды преобразований
     1. Гомотетия
     2. Подобие
     3. Движение
III. Виды движения
      1. Симметрия относительно точки
      2. Симметрия относительно прямой
      3. Симметрия относительно плоскости
      4. Поворот
      5. Параллельный перенос в пространстве



I.    Преобразование - смещение  каждой  точки  данной  фигуры  каким-нибудь
образом, и получение новой фигуры.

II.   Виды преобразования в пространстве: подобие, гомотетия, движение.


      Подобие


      Преобразование фигуры F называется преобразованием подобия,  если  при
этом преобразовании расстояния между точками  изменяются  в  одно  и  то  же
число раз, т.е. для любых точек X и Y фигуры F и точек X’,  Y’ фигуры F’,  в
которые он переходят, X’Y’ = k * XY.

      Свойства подобия: 1. Подобие переводит прямые в прямые,  полупрямые  –
в полупрямые, отрезки – в отрезки.
      2. Подобие сохраняет углы между полупрямыми
   3. Подобие переводит плоскости в плоскости.
Две фигуры  называются  подобными,  если  они  переводятся   одна  в  другую
преобразованием подобия.

      Гомотетия
      Гомотетия  –  простейшее  преобразование   относительно  центра  O   с
коэффициентом   гомотетии   k.   Это   преобразование,   которое   переводит
произвольную точку X’ луча OX, такую, что OX’ = k*OX.
      Свойство  гомотетии:  1.  Преобразованием  гомотетии  переводит  любую
плоскость, не проходящую через центр  гомотетии,  в  параллельную  плоскость
(или в себя при k=1).
      Доказательство. Действительно, пусть O – центр гомотетии и (  -  любая
плоскость, не проходящая через точку O. Возьмем любую прямую AB в  плоскости
(. Преобразование гомотетии  переводит точку A в точку  A’  на  луче  OA,  а
точку B в точку B’ на луче OB, причем OA’/OA =  k,  OB’/OB  =  k,  где  k  –
коэффициент гомотетии. Отсюда следует подобие треугольников AOB и A’OB’.  Из
подобия треугольников следует равенство соответственных углов OAB  и  OA’B’,
а значит, параллельность прямых AB и A’B’. Возьмем теперь другую  прямую  AC
в плоскости (. Она при гомотетии перейдет а параллельную  прямую  A’C’.  При
рассматриваемой гомотетии плоскость (перейдет  в  плоскость  (’,  проходящую
через прямые A’B’, A’C’. Так как A’B’||AB и A’C’||AC, то по теореме  о  двух
пересекающихся  прямых  одной  плоскости  соответственно  параллельными    с
пересекающимися прямыми другой плоскости,  плоскости  (  и  (’  параллельны,
что и требовалось доказать.

      Движение
      Движением - преобразование одной фигуры в другую  если  оно  сохраняет
расстояние между точками, т.е. переводит любые две точки X и Y одной  фигуры
в точки X , Y другой фигуры так, что XY = X Y
       Свойства  движения:  1.  Точки,  лежащие  на  прямой,  при   движении
переходят в точки, лежащие на прямой, и  сохраняется  порядок  их  взаимного
расположения. Это значит, что если A, B, C, лежащие на прямой,  переходят  в
точки A1,B1,C1. То эти точки также лежат  на  прямой;  если  точка  B  лежит
между точками A и C, то точка B1 лежит между точками A1 и C1.

      Доказательство. Пусть точка B прямой AC лежит между  точками  A  и  C.
Докажем, что точки A1,B1,C1 лежат на одной прямой.
      Если точка  A1,B1,C1 не лежат на прямой,  то  они  являются  вершинами
треугольника. Поэтому A1C1 < A1B1 + B1C1.  По  определению  движения  отсюда
следует, что AC