Преобразование Фурье
Работа из раздела: «
Математика»
Kalmiik-forever
Глава I
Преобразование Фурье.
§1. Класс Шварца.
Преобразование Фурье отображает класс Шварца на себя.
Определение. Следующее множество комплекснозначных функций
действительного переменного называется классом Шварца.
[pic].
Класс Шварца иногда называют классом быстро убывающих функций.
Операции обычного сложения и умножения функции на число превращают
класс Шварца в линейное векторное пространство:
((,((S(R), a, b(К выполнено a(+b((S(R).
Отметим несколько простых свойств функций из класса Шварца.
1) Если ((x)(S(R),то [pic]
2) Если ((x)(S(R),то ((x) ограничена на R.
3) Если ((x)(S(R),то ((x)=x((x)(S.
4) Если ((x)(S(R) и P(x) – многочлен, то P(x)((x)(S.
5) Если ((x)(S(R),то [pic].
Доказательство. Первые два свойства сразу следуют из неравенств
[pic].
Докажем свойство 3). Во первых, (=x((C?(R). Далее,
[pic].
Свойство 4) получается из 3) последовательным применением. В самом деле,
если P(x)=a0+a1x+…+anxn, то по свойству 3) имеем xi((S(R), потому функция
P(x)((x)=a0(+a1(x()+a2(x2()+…+an(xn() принадлежит классу Шварца ввиду его
линейности.
Свойство 5) доказывается аналогично свойству 3).
§2. Одномерное преобразование Фурье.
Определение. Функция
[pic] (1)
называется преобразованием Фурье функции ((x) и обозначается F[(]. Ясно,
что не для всякой функции ((x) интеграл (1) сходится, и потому не для
всякой функции определено преобразование Фурье.
Если [pic] (интеграл Лебега), то будем говорить, что ( принадлежит
пространству L1(R).
Предложение 1. Преобразование Фурье функции ((x) из L1(R) определено
и ограничено по модулю на действительной оси.
Доказательство следует из равенства [pic] и (1):
[pic]
Следствие. Преобразование Фурье определено для функций ((S(R).
Доказательство. Достаточно доказать, что S(R)(L1(R). Заметим, что
если ((S(R), то по свойству 4) функция (1+x2)((S(R) и, следовательно,
ограничена, а (1+x2)-1(L1(R). Поэтому функция (1+x2)((1+x2)-1(L1(R).
§3. Свойства преобразований Фурье функций из S(R).
1) [pic]
Доказательство получается дифференцированием в (1) под знаком
интеграла. Это законно, так как интеграл, полученный после
дифференцирования, мажорируется интегралом
[pic]
сходимость которого вытекает из свойства 3): x((x)(S(R)(L1(R).
2) Если ((S(R), то F[(](C((R).
Так как -ix((S, то доказательство немедленно вытекает из 1).
3) [pic]
Доказательство. Очевидно
[pic]
теперь можно интегрировать по частям
[pic]
Это и доказывает свойство 3).
Предложение 2. Преобразование Фурье функции из класса Шварца есть
снова функция из класса Шварца.
Доказательство. Многократно применяя свойства 1) и 3), устанавливаем
[pic]
По свойствам 4) и 5) класса Шварца функция
[pic]
лежит в классе Шварца S(L1 , и тогда, по предложению пункта 2, функция
[pic] ограничена некоторой постоянной, которую мы обозначим Cn,m.
Предложение доказано.
§4. Обратное преобразование Фурье.
Определение. Функция
[pic]
называется обратным преобразованием Фурье функции ((y) и обозначается F-
1[(].
Нетрудно проверить, что обратное преобразование Фурье функций из S(R)
обладает свойствами, аналогичными прямому:
1) [pic]
2) [pic]
3) [pic]
Докажем, что F-1[F[(]]=( для любой функции ((S. Для этого потребуется
Лемма. Пусть непрерывная функция h(y)(L1(R) имеет почти всюду
ограниченную производную. Пусть
[pic]
такой набор точек, что на интервалах (yi,yi+1) функция h класса C2,
i=1,2,…,n. Тогда для всех x, отличных от yi, i=1,2,…,n+1, справедливо
соотношение
[pic]
Доказательство. Так как h(y)(L1 , то для всякого (>0 найдется такое
А, что
[pic]
при всех t>0. Заметим, что
[pic] (3)
Тогда
[pic]
Второе слагаемое в (4) заменой z= t(x - y) приводится к виду
[pic]
и, следовательно, стремится к нулю при [pic] в силу сходимости интеграла
(3). Для доказательства леммы осталось показать, что первое слагаемое в (4)
также стремится [pic].
Введем обозначение
[pic]
Если h класса C2 в окрестности точки x, то из равенства
[pic]
следует дифференцируемость функции g(y) в точке y = x. Итак, g(y) – кусочно-
диференцируемая функция. Интегрируя по частям, устанавливаем
[pic]
при [pic] Лемма доказана.
Предложение 3. F-1[F[(]]=( для любого ((S(R).
Доказательство.
[pic]
Внутренний интеграл сходится равномерно по y([-n, n], поэтому возможна
замена порядка интегрирования.
[pic]
Теперь утверждение следует из леммы.
Из доказанного предложения вытекает, что преобразование Фурье взаимно-
однозначно отображает класс Шварца в себя. Покажем что это отображение
“на”. Определим оператор J переводящий функцию ((x) в функцию ((-x). Тогда
очевидно равенство F=2(JF-1, откуда, умножая справа на FJ/2( и используясь
равенством JJ=1, будем иметь [pic], где 1 справа надо понимать как
тождественное отображение в S(R). Последнее равенство означает, что любая
функция из S(R) есть преобразование Фурье некоторой функции.
§5. Класс Шварца в многомерном случае.
Мультииндексом (=((1,…,(n) будем называть набор из неотрицательных
целых чисел. Порядком мультииндекса будем называть число [pic]
Глава II
Задача Коши для уравнения теплопроводности.
§1. Постановка задачи коши для уравнения теплопроводности.
Требуется найти функцию u(x,t), непрерывную при t[pic]0 и x[pic]R и
класса C2 при t>0, удовлетворяющую уравнению
[pic] (1)
при t>0, x[pic]R и начальному условию
u(x,0)=((x). (2)
Задача (1),(2) имеет, вообще говоря, много решений. Поэтому обычно
накладывают дополнительное условие, которому должно удовлетворять решение.
Теорема (Тихонова). Пусть u(x,t) – решение задачи (1),(2) с функцией
((x)(0. Пусть ((>0 существует постоянная C>0 такая, что
[pic]
при всех x(R и t(0. Тогда u(0.
Из этой теоремы следует, что при среди функций, растущих, грубо
говоря, медленнее чем [pic] при любом (>0, не может найтись более одного
решения задачи (1),(2).
Эту теорему мы приводим без доказательства, но ниже докажем теорему
единственности при более сильных ограничениях.
§2. Формальный поиск решения.
Применим преобразование Фурье
[pic][pic] (3)
Выкладки этого пункта будем проделывать, не заботясь об обосновании.
Дифференцируя (3) по t, устанавливаем:
[pic]
Кроме того, по свойству 3) преобразования Фурье
[pic]
Учитывая (1), имеем
[pic] (4)
Решая это обыкновенное дифференциальное уравнение с параметром y, находим
[pic][pic]
Где g(y) – произвольная функция. Используя (2), определяем g(y):
[pic]
§3. Решение задачи Коши с начальной функцией из класса Шварца.
Теорема 2. Если ((S(R), то формула
[pic] (5)
дает решение задачи (1), (2), бесконечно дифференцируемое при t(0.
Доказательство. Так как [pic], то [pic] при любом t(0 и обратное
преобразование Фурье в формуле (5) определено. Дифференцируя (5) по t,
имеем
[pic] (6)
так как [pic], то интеграл (6) сходится равномерно при t(0, и
дифференцирование законно. Совершенно так же доказывается бесконечная
дифференцируемость функции u(x,t) по t и x.
Дифференцируя (5) дважды по x, устанавливаем:
[pic] (7)
Из формул (6),(7) вытекает, что функция u(x,t) удовлетворяет уравнению (1).
Справедливость условия (2) очевидна. Теорема доказана.
§4. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности.
Преобразуем формулу (5) к более удобному ”явному” виду. Для этого
запишем ее в интегралах
[pic]
меняем порядок интегрирования
[pic] (8)
В формуле (8) внутренний интеграл есть преобразование Фурье от функции
[pic] при значении аргумента –(x-z), поэтому из (9.2) имеем
[pic]
Подставляя это в (8), получим
[pic] (9)
Функцию
[pic]
называют фундаментальным решением уравнения теплопроводности. Легко
проверяются следующие свойства этой функции:
[pic]
§5. Решение задачи с непрерывной ограниченной начальной функцией.
Теорема 3. Пусть ((z) ограничена и непрерывна на вещественной оси.
Тогда формула (9) дает решение задачи (1),(2).
Доказательство. Продифференцируем (9) под знаком интеграла
[pic] (10)
Чтобы обосновать законность такого дифференцирования, достаточно показать
равномерную сходимость по x интеграла (10), для чего произведем замену
[pic]
[pic]
Из ограниченности функции ( следует равномерная сходимость интеграла
как по x(R, так и по t>(.
Совершенно так же доказывается бесконечная дифференцируемость функции
u(x, t) по x и t при t>0. Из свойства 3) фундаментального решения следует,
что u есть решение уравнения (1).
Для доказательства (2) снова сделаем замену переменной интегрирования
в (9):
[pic]
Так как последний интеграл сходится равномерно по x и t, то возможен
предельный переход под знаком интеграла
[pic]
Теорема доказана.
§6. Единственность решения в классе ограниченных функций.
Теорема 4. Пусть ограниченная функция u(x, t) является решением
задачи (1), (2) с начальной функцией ((0. Тогда u(x, t)(0.
Доказательство. Рассмотрим функцию
((x, t)=((x2+3a2t)+(u(x, t),
где (>0, ( - любого знака. Легко проверить, что
[pic] (11)
Так как функция u ограничена, то функция v(x, y) в области t>0 достигает
минимума в некоторой точке (x0, t0). Покажем, что v(x0, t0)(0. Пусть,
напротив v(x0, t0)<0. Тогда, очевидно, t0>0, так как v(x, 0)(0. Как
необходимые условия минимума имеем соотношения
[pic]
которые противоречат (11).
Итак, v(x, t)(0 при всех x и t(0. При фиксированных x и t,переходя к
пределу при ((0 в неравенстве
((x2+3a2t)+(u(x, t)(0,
получаем (u(x, y)(0. Ввиду произвольности знака ( отсюда следует
u=0.Теорема доказана
