Решение уравнений, систем уравнений, неравенств графически
Работа из раздела: «
Математика»
Основная часть:
Применение графиков в решении уравнений.
I)Графическое решение квадратного уравнения:
Рассмотрим приведённое квадратное уравнение : x2+px+q=0;
Перепишем его так:x2=-px-q.(1)
Построим графики зависимостей:y=x2 и y=-px-q.
График первой зависимости нам известен, это есть парабола; вторая
зависимость- линейная; её график есть прямая линия. Из уравнения (1) видно,
что в том случае, когда х является его решением, рдинаты точек обоих
графиков равны между собой. Значит, данному значению х соответствует одна и
та же точка как на параболе, так и на прямой, то есть парабола и прямая
пересекаются в точке с абциссой х.
Отсюда следующий графический способ решения квадратного
уравнения:чертим параболу у=х2, чертим(по точкам) прямую у=-рх-q.
Если прямая и парабола пересекаются, то абциссы точек пересечения
являются корнями квадратного уравнения. Этот способ удобен, если не
требуется большой точности.
Примеры:
1.Решить уравнение:4x2-12x+7=0
Представим его в виде x2=3x-7/4.
Построим параболу y=x2 и прямую y=3x-7/4.
Рисунок 1.
Для построения прямой можно взять, например, точки(0;-7/4) и
(2;17/4).Парабола и прямая пересекаются в двух точках с абциссами x1=0.8 и
x2=2.2 (см. рисунок 1).
2.Решить уравнение : x2-x+1=0.
Запишем уравнение в виде: x2=x-1.
Построив параболу у=х2 и прямую у=х-1, увидим, что они не
пересекаются(рисунок 2), значит уравнение не имеет корней.
Рисунок 2.
Проверим это. Вычислим дискриминант:
D=(-1)2-4=-3<0,
А поэтому уравнение не имеет корней.
3. Решить уравнение: x2-2x+1=0
Рисунок 3.
Если аккуратно начертить параболу у=х2 и прямую у=2х-1, то увидим, что
они имеют одну общую точку(прямая касается параболы, см. рисунок 3), х=1,
у=1;уравнение имеет один корень х=1(обязательно проверить это вычислением).
II) Системы уравнений.
Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек
координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное
равенство. Графики уравнений с двумя переменными весьма разнообразны.
Например, графиком уравнения 2х+3у=15 является прямая, уравнения у=0.5х2 –2
–парабола, уравнения х2 +у2=4 – окружность, и т.д..
Степень целого уравнения с двумя переменными определяется так же, как и
степень целого уравнения с одной переменной. Если левая часть уравнения с
двумя переменными представляет собой многочлен стандартного вида, а правая
число 0, то степень уравнения считают равной степени многочлена. Для того
чтобы выяснить, какова степень какого-либо уравнения с двумя переменными,
его заменяют равносильным уравнением, левая часть которого – многочлен
стандартного вида, а правая- нуль. Рассмотрим графический способ решения.
Пример1:решить систему ? x2 +y2 =25 (1)
?y=-x2+2x+5 (2)
Построим в одной системе координат графики уравнений(Рисунок4):
Построим в одной системе координат графи)
х2 +у2=25 и у=-х2+2х+5
Координаты любой точки построенной окружности являются решением уравнения
1, а координаты любой точки параболы являются решением уравнения 2. Значит,
координаты каждой из точек пересечения окружности и параболы удовлетворяют
как первому уравнению системы, так и второму, т.е. являются решением
рассматриваемой системы. Используя рисунок, находим приближённые значения
координат точек пересечения графиков: А(-2,2; -4,5), В(0;5), С(2,2;4,5),
D(4;-3).Следовательно, система уравнений имеет четыре решения:
х1?-2,2 , у1?-4,5; х2?0, у2?5;
х3?2,2 , у3?4,5; х4?4, у4?-3.
Подставив найденные значения в уравнения системы, можно убедиться, что
второе и четвёртое из этих решений являются точными, а первое и третье –
приближёнными.
III)Тригонометрические уравнения:
Тригонометрические уравнения решают как аналитически, так и графически.
Рассмотрим графический способ решения на примере.
Рисунок5.
Пример1:sinx+cosx=1. Построим графики функций y=sinx u y=1-
cosx.(рисунок 5) Из графика видно, что уравнение имеет 2 решения: х=2?п,где
пЄZ и х=?/2+2?k,где kЄZ(Обязательно проверить это вычислениями). Рисунок
6.
Пример2:Решить уравнение:tg2x+tgx=0. Решать это уравнение будем по
принципу решения предыдущего. Сначала построим графики(См. рисунок
6)функций: y=tg2x u y=-tgx. По графику видно что уравнение имеет 2
решения: х=?п, пЄZ u x=2?k/3, где kЄZ.(Проверить это вычислениями)
Применение графиков в решении неравенств.
1)Неравенства с модулем.
Пример1.
Решить неравенство |x-1|+|x+1|<4.
На интеграле(-1;-?) по определению модуля имеем |х-1|=-
х+1,|х+1|=-х-1, и, следовательно, на этом интеграле неравенство равносиьно
линейному неравенству –2х<4,которое справедливо при х>-2. Таким образом, в
множество решений входит интеграл(-2;-1).На отрезке [-1,1] исходное
неравенство равносильно верному числовому неравенству 2<4.Поэтому все
значения переменной, принадлежащие этому отрезку, входят в множество
решний.
На интеграле (1;+?) опять получаем линейное неравенство 2х<4,
справедливое при х<2. Поэтому интеграл (1;2) также входит в множество
решений. Объединяя полученные результаты, делаем вывод: неравенству
удовлетворяют все значения переменной из интеграла (-2;2) и только они.
Однако тот же самый результат можно получить из наглядных и в то же
время строгих геометрических соображений. На рисунке 7 построены графики
функций: y=f(x)=|x-1|+|x+1| и y=4.
Рисунок 7.
На интеграле (-2;2) график функции y=f(x) расположен под графиком
функции у=4, а это означает, что неравенство f(x)<4 справедливо.
Ответ:(-2;2)
II)Неравенства с параметрами.
Решение неравенств с одним или несколькими параметрами представляет
собой, как правило, задачу более сложную по сравнению с задачей, в которой
параметры отсутствуют.
Например, неравенство?а+х+?а-х>4, содержащее параметр а, естественно,
требует, для своего решения гораздо больше усилий, чем неравенство ?1+х +
?1-х>1.
Что значит решить первое из этих неравенств? Это, по существу, означает
решить не одно неравенство, а целый класс, целое множество неравенств,
которые получаются, если придавать параметру а конкретные числовые
значения. Второе же из выписанных неравенств является частным случаем
первого, так как получается из него при значении а=1.
Таким образом, решить неравенство, содержащее параметры, это значит
определить, при каких значениях параметров неравенство имеет решения и для
всех таких значений параметров найти все решения.
Пример1:
Решить неравенство|х-а|+|х+а|0.
Для решения данного неравенства с двумя параметрами a u b воспользуемся
геометрическими соображениями. На рисунке 8 и 9 построены графики функций.
Y=f(x)=|x-a|+|x+a| u y=b.
Очевидно, что при b<=2|a| прямая y=b проходит не выше горизонтального
отрезка кривой y=|x-a|+|x+a| и, следовательно, неравенство в этом случае не
имеет решений (рисунок 8). Если же b>2|a|, то прямая y=b пересекает график
функции y=f(x) в двух точках (-b/2;b) u (b/2;b)(рисунок 6) и неравенство в
этом случае справедливо при –b/22|a|, то x €(-b/2;b/2).
III) Тригонометрические неравенства:
При решении неравенств с тригонометрическими функциями существенно
используется периодичность этих функций и их монотонность на
соответствующих промежутках. Простейшие тригонометрические неравенства.
Функция sin x имеет положительный период 2?. Поэтому неравенства вида: sin
x>a, sin x>=a,
sin x-1/2.(рисунок 10)
Сначала решим это неравенство на отрезке[-?/2;3?/2]. Рассмотрим его
левую часть – отрезок [-?/2;3?/2].Здесь уравнение sin x=-1/2 имеет одно
решение х=-?/6; а функция sin x монотонно возрастает. Значит, если
–?/2<=x<= -?/6, то sin x<=sin(-?/6)=-1/2, т.е. эти значения х решениями
неравенства не являются. Если же –?/6<х<=?/2 то sin x>sin(-?/6) = –1/2. Все
эти значения х не являются решениями неравенства.
На оставшемся отрезке [?/2;3?/2] функция sin x монотонно убывает и
уравнение sin x = -1/2 имеет одно решение х=7?/6. Следовательно, если
?/2<=x<7?/, то sin x>sin(7?/6)=-1/2, т.е. все эти значения х являются
решениями неравенства. Для x Є[7?/6;3?/2] имеем sin x<= sin(7?/6)=-1/2,
эти значения х решениями не являются . Таким образом, множество всех
решений данного неравенства на отрезке [-?/2;3?/2] есть интеграл (-
?/6;7?/6).
В силу периодичности функции sin x с периодом 2? значения х из любого
интеграла вида: (-?/6+2?n;7?/6 +2?n),nЄZ, также являются решениями
неравенства. Никакие другие значения х решениями этого неравенства не
являются .
Ответ: -?/6+2?n